机械振动习题集与答案

《机械振动噪声学》习题集

1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。

(a) 振动；(b) 周期振动和周期；

(c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。

1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。

1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。

1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即：

A cos ωn t +

B cos (ωn t + φ) =

C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？

1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。其中ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。

1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：

(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2

(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]

2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知周期的变化?τ＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。

2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。

2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。

图2－1 图2－2 图2－3

2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。

2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。

图2－4 图2－5

2－6 图2－6所示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微

分方程。

2－7 求图2－7所示系统的振动微分方程。

2－8 试用能量法确定图2－8所示系统的振动微分方程。(假定m 2 > m 1，图示位置是系统的静平衡位置。)

图2－6 图2－7 图2－8

2－9 试确定图2－9所示弹簧系统的等效刚度。

2－10 求跨度为L 的均匀简支梁在离支承点L 3 处的等效刚度系数。

2－11 求图2－11所示系统对于广义坐标x 的等效刚度。

2－12 一质量为m、长度为L 的均匀刚性杆，在距左端O为n L 处设一支承点，如图2－12所示。求杆对O点的等效质量。

图2－9 图2－11 图2－12

2－13 如图2－13所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。

2－14 图2－14是固定滑车力学模型。起吊物品质量为m，滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。

2－15 用视察法建立图2－15所示链式系统的振动微分方程。

2－16 如图2－16所示，绳索上有两个质量m1和m2 ( m1 = 2 m2 )，各段绳索中的张力均为T，用柔度法建立系统作微振动的微分方程。

图2－13 图2－14 图2－15 图2－16

2－17 如图2－17所示，系统中k1=k2=k3=k，m1=m2=m，r1=r2=r，J1=J2=J。求

系统的振动微分方程。

2－18 图2－18为行车载重小车运动的力学模型，小车质量m1，受到两根刚度为k弹簧的约束，悬挂物品质量为m2，悬挂长度为L，摆角θ很小，求系统的振动微分方程。

图2－17 图2－18 图3－1

3－1 如图3－1所示，杆a与弹簧k1和k2相连，弹簧k3置于杆a 的中央，杆b 与弹簧k3和k4相连，质量m置于杆b的中央。设杆 a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m 上、下振动的固有频率。

3－2 如图3－2所示，一薄长板条被弯成半圆形，在水平面上摇摆。用能量法求它摇摆的周期。

3－3 如图3－3所示，一长度为L、质量为m 的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 系统的无阻尼固有频率；(c) 系统的临界阻尼。

3－4 系统参数和几何尺寸如图3－4所示，刚性杆质量可忽略。求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 临界阻尼系数；(c) 有阻尼固有频率。

3－5 如图3－5所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为m2的重物从高度为h 处自由降落到m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。

图3－2 图3－3 图3－4 图3－5 3－6 弹簧－质量－粘性阻尼器系统中，质量m = 10 kg·s2/m，弹簧刚度k= 1000

kg/m，初始条件为x0 = 0.01 m, &x0= 0。求：系统的阻尼比分别为ζ＝0、0.2和1.0三

种情况下系统对初始条件的响应，并给出概略简图。

3－7 图3－7所示带有库仑阻尼的系统中，质量m= 9 kg，弹簧

刚度k= 7 kN/m，摩擦系数μ= 0.15，初始条件是

x x

00

250

==

mm,&。求：(a) 位移振幅每周衰

减；(b) 最大速度；(c) 速度振幅每周衰减；(d)

物体m 停止的位置。

3－8 对只有库仑阻尼的弹簧－质量系统，用能量观点证明：对于自由振动，每周期振幅

图3－7

衰减为4F /k 。( F 是摩擦力 )

3－9 求图3－9所示系统的固有频率和主振型。( 杆为刚性，不计质量。)

3－10 选图3－10所示均质杆的质心C 点向下移动的位移 x 及杆顺时针方向转角θ 为广义

坐标，求系统的固有圆频率和主振型。

图3－9 图3－10

3－11 图3-11所示扭转振动系统中， k 1 = k 2 = k ，J 1 = 2 J 2 = 2 J 。 (a) 求系统的固有频率

和主振型；(b) 设：)0(1θ = 1 rad ，)0(2θ = 2 rad ，0)0()0(2

1==θθ&&，求系统对初始条件的响应。

3－12 求图3-10所示系统的振型矩阵 [u ]、正则化振型矩阵[]u 和主坐标。

3－13 求图3－13所示系统的振型矩阵 [u ]、正则化振型矩阵[]u 和主坐标。

3－14 设图3-14所示系统中， 轴的抗弯刚度为 EI ，它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量 J

= mR 2/4，R = L /4，静平衡时轴在水平位置。求系统的固有频率。

图3－11 图3－13 图3－14 3－15 用 Rayleigh 法和 Dunkerley 公式估算图2－16所示系统中质点在铅垂平面中作垂

直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。

4－1 如图4－1所示，一质量为 m 的油缸与刚度为 k 的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的

粘性阻尼器以运动规律 y = A sin ω t 的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。

4－2 试导出图4－2所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。

4－3 求图4－3所示弹簧－质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F 0 sin ω t 作用下的振幅。

在什么条件下运动能继续？

图4－1 图4－2 图4－3

4－4 一重物悬挂在刚度 k = 3 kN/m 的弹簧下，测得系统振动的准周期为 1 s ，系统阻尼

比为0.2，当外力F = 20 cos 3t(N) 作用于系统上时，求系统稳态振动的振幅和相位。

4－5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式k= k0e i 2 β表示。求系统在简谐激励下的响应。

4－6 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求加速度幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－7 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求速度幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－8 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求位移幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－9 如图4－9所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系，并确定最不利的运行速度。

4－10 图4－10所示系统中，集中质量m = 20 kg，弹簧刚度k = 3.5 kN/m，阻尼器的粘性阻尼系数为c = 0.2 kN ? s /m，凸轮的转速为60 rpm，行程为0.01 m。试求系统的稳态响应x (t)。

4－11 如图4－11所示，一个弹簧－质量系统从倾斜角为30?的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。

图4－9 图4－10 图4－11

4－12 一弹簧－质量系统，从t= 0时，突加一个F 0力，以后该力保持不变。试用Duhamel 积分求系统的响应，并概略图示之。（图4－12）

4－13 一弹簧－质量系统，从t= 0开始作用一不变的F 0力，作用时间为t0(图4－13)。求系统在tt0两种情况下的响应，并找出t>t0时最大位移与t0 / τ的关系。如果t0与系统自振周期τ相比很小，最大位移为多少? 请与脉冲响应函数比较。

4－14 一单自由度无阻尼弹簧－质量系统，受到图4－14所示力的激励，请用Duhamel积分求系统在t < t1和t > t1两种情况下的响应，并概略图示之。

4－15 求弹簧－质量系统在图4－15所示激励下的响应。

图4－12 图4－13 图4－14 图4－15

4－16 对弹簧－质量系统，从t = 0开始施加按直线变化的力，即f (t) = a t ( a = const )。请

用Duhamel积分求系统的响应，并概略图示之。

4－17 试用拉普拉斯变换方法解题4－12。

4－18 试用拉普拉斯变换方法解题4－13。

4－19 求图4－19所示系统的稳态响应。

4－20 转动惯量为J的飞轮通过四个刚度为k的弹簧与转动惯量为J d并能在轴上自由转动的扭转减振器相联，见图4－20。试建立系统作扭转振动的微分方程。若在飞轮上作用一简谐变化的扭矩T sin ωt，求：(a)系统的稳态响应；(b)飞轮不动时J d的固有频率；(c)J d / J 的比值，使联接减振器后系统的固有频率为激振频率ω的 1.2 倍。

4－21 求图4－21所示系统的稳态响应。

图4－19 图4－20 图4－21

5－1 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。如果每一循环振幅减小5 %，那么系统所具有的等效粘性阻尼系数占临界阻尼系数的百分之几？

5－2 一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5 kg，弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数 c = 0.70 N s/cm。求：(a) 阻尼比ζ；(b) 有阻尼固有频率；(c) 对数衰减率；(d) 任意二相临振幅比值。

5－3 某单自由度系统中，等效质量m = 1 kg, 等效k = 5 kN/m,在振动5 周后振幅降为初始振幅的25%。求系统的等效粘性阻尼系数c。

5－4 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5 kg，等效刚度k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为1 :0.98，求：(a)系统的有阻尼固有频率；(b)对数衰减率；(c)阻尼系数c；(d) 阻尼比ζ．

5－5 机器质量为453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08 mm，若机器的旋转失衡为0.2308 kg ?m。求：(a) 在1200 rpm 时传给地面的力；(b) 在同一速度下的动振幅(假定阻尼可以忽略)。

5－6 如果题5－5的机器安装在质量为1136 kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度使弹簧静变形为5.08 mm，则动振幅将是多少？

5－7 质量为113 kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20 Hz、振幅为15.24 cm/s2加速度激励，设橡皮衬垫具有如下参数：k = 2802 N/cm，ζ= 0.10，问：传给精密仪器的加速度是多少？

5－8 图5－8所示的惯性激振器用来测定一重180 N结构振动特性。当激振器的转速为900 rpm 时，闪光测频仪显示激振器的偏心质量在正上方，而结构正好通过静平衡位置向上移动，此时振幅为0.01 m，若每个激振器的偏心质量矩为0.01 kg ? m (共2个)，求：(a) 结构的固有频率；(b) 结构的阻尼比；(c) 当转速为1200 rpm 时的振幅。

5－9 如图5－9所示，机器重2500 kN，弹簧刚度k = 800 kN/m，阻尼比ζ= 0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：(a)在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；(b)传递力为激振力20 %时的转速是多大？

5－10 一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 到2200 rpm 范围实现振动隔离，若要隔离

85％，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？

5－11 如图5－11所示，悬挂系统的固有频率为 0.5 Hz ，箱子从 0.5 m 高处落下，求所需

的振荡空间。

5－12 某筛煤机的筛子以 600 rpm 的频率作往复运动，机器重 500 kN ，基频为 400

rpm 。若装上一个重 125 kN 的吸振器以限制机架的振动，求吸振器的弹簧刚度 k 2 及该系统的两个固有频率。(图5-12)

图5－8 图5－9 图5－11 图5－12

5－13 为了消除某管道在机器转速为 232 rpm 的强烈振动，在管道上安装弹簧－质量系

统吸振器。某次试验用调谐于 232 rpm 的质量为 2kg ，吸振器使系统产生了 198 rpm 和272 rpm 两个固有频率。若要使该系统的固有频率在160 ～ 320 rpm 之外，问吸振器的弹簧刚度应为多少？ 6－1 一根长度为 L 的均匀棒一端固定，另一端自由。证明标准纵向振动的频率是 f = ( n

+ 1/2 )C / 2L , 式中C ＝Eg / ρ 是棒内纵向波的速度，n = 0，1，2，…。

6－2 确定一根长度为L 、中央夹牢、两端自由的均匀杆扭转振动时的固有频率表达式。 6－3 转动惯矩为 J 的均匀轴，两端各带一个转动惯量为 J 的圆盘，组成扭转振动系

统。确定系统的固有频率。把均匀轴化成带有终端质量的扭转弹簧后校核系统的基频。

6－4 确定一根两端自由的均质杆横向振动时固有频率的表达式。

6－5 50?50?300 mm 的混凝土试验梁支撑在离端部 0.224 L 的两点上，发现1690 Hz 时共

振。若混凝土的密度是 1530 kg / m ，试确定试验梁的弹性模量，假设梁是细长的。 7－1 在 20 ℃ 的空气里，求频率为 1000 Hz 、声压级为 0 dB 的平面声波的质点速度幅

值、声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为 120 dB ，上述各量又为多少？为使空气质点速度达到与声速相同的数值，需要多大的声压级？

7－2 在 20℃ 的空气里有一列平面声波，已知其声压级为 74 dB ，试求其有效声压、平

均声能量密度与声强。

7－3 若在水中与空气中具有同样大小的平面波质点速度幅值，问水中声强将是空气中声

强的多少倍？

7－4 欲在声级为120 dB 的噪声环境中通话，假定耳机在加一定声功率时在耳腔中能产生

110 dB 的声压，如果在耳机外加上耳罩能隔掉 20 dB 噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？

7－5 已知两声压幅值之比为 2，5，10，100，求它们声压级之差。已知两声压级之差为

1，3，6，10dB ，求它们声压幅值之比。 7－6 20 ℃ 时空气和水的特性阻抗分别为 415 及 610481?.瑞利，计算平面声波由空气

垂直入射到水面上时声压反射系数、透射系数, 以及由水面垂直入射到空气时的声压反射系数和透射系数。

7－7 某测试环境本底噪声声压级为 40 分贝, 若被测声源在某位置上产生声压级 70

dB ，试问置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如果本底噪声也为 70 dB ，则总声压级又为多少？

7－8 房间内有 n 个人各自无关地在说话，假如每个人单独说话在某位置产生L j dB 的声音, 那么 n 个人同时说话在该位置上总声压级应为多少？

7－9 如果测试环境的本底噪声级比信号声压级低 n dB ,证明由本底噪声引起的测试误差

（即指本底噪声加信号的总声压级比信号声压级高出的分贝数）为

)10

1(lg 1010n

L -

+=? (dB)

若 n = 0, 即噪声声压级与信号声压级相等，此时L ?＝？为了使L ?< 1dB ，n 至

少要多大？为了使L ?< 0 . 1dB ，n 至少要多大？ 7－10 在信号与噪声共存的声场中，总声压级为L ，已知本底噪声声压级为2L ，它们的声

压级差为22L L L -=?,证明这时信号声压级1L 比总声压级L 低

)

10

1(lg 1010

12

L L ??-

--= (dB)

8－1 已知单极子球源半径为0.01m ，向空气中辐射频率为1000Hz 的声波，设表面振速幅

值为0.05m/s ，求距球心50m 处的有效声压和声压级为多少？该源的辐射功率为多少? 8－2 空气中有一半径为 0.01 m 的单极子球源，辐射频率为 1000 Hz 的声波，欲在距球

心1 m 处得到 74 dB 声压级，问球源表面振速幅值应为多少？辐射功率应为多大？ 8－3 设一演讲者在演讲时辐射声功率m W ＝ 10-3 瓦，如果人耳听音时感到满意的最小

有效声压为 e p ＝ 0.1 帕，求在无限空间中听众离开演讲者可能的最大距离。 8－4 半径为0.005 m 的单极子球源向空气中辐射 f = 100 Hz 的声波。球源表面振速幅值

为 0.008 m/s ，求辐射声功率。若两个这样的单极子球源组成的中心相距l = 15 cm 的偶极子源（即两小球源振动相位相反），求总辐射功率。由此计算说明什么问题？

8－5 有一3

m 4710??=??z y x l l l 的矩形房间，已知室内的平均吸声系数α ＝ 0.2，求

该房间的平均自由程 d ，房间常数 R 和混响时间 60T （忽略空气吸收）。

8－6 设一点声源的声功率级为 100 dB ，放置在房间常数为 200 2m 的房间中心,求离

声源为2m 处对应于直达声场、混响声场以及总声场的声压级，其中总声级用两种方法求之, 并证明它们相等。

8－7 将一产生噪声的机器放在体积为V 的混响室中，测得室内的混响时间为T 60，以及在

离机器较远处的混响声压有效值为p e ，试证明该机器的平均辐射功率为

W p V T e

=?-104260

8－8 有一噪声很高的车间测得室内混响时间为 T 60，后来经过声学处理，在墙壁上铺上

吸声材料，室内的混响时间就降为 T 60'

。证明此车间内在声学处理前后的稳态混响

声压级差为

?L T T p =1060

60

lg()

'

8－9 有一体积为 l l l x y z ??=??301573

m 的大厅，要求它在空场时的混响时间为 2 s 。

（1）试求室内的平均吸声系数。

（2）如果希望在该大厅中达到80dB 的稳态混响声压级，试问要求声源辐射多少平

均声功率（假设声源为无指向性）？

（3）若大厅中坐满400个听众，已知每个听众的吸声量为S j α=0.5m 2

, 这时室内

的混响时间为多少？

（4）若声源的平均辐射功率维持不变，则该时室内的稳态混响声压级变为多少？ （5）此时离开声源中心3m 和10m 处的总声压级为多少？

8－10 在一房间常数为 50 m 2

的大房间中，有 102 个人分成 51 对无规则地分布在室

内（每对两人，相距为 1 m ）。开始时只有一对人在对话，双方听到对方的谈话声压级为 60 dB 。后来其余各对也进行了以相同的辐射功率的对话。这样，原先的两个对话者的对话声就被室内的语噪声所干扰，（假定谈话声源近似为无指向性的点声源）。试问： （1）此时在原先一对谈话者的地方，语噪声要比对话声高出多少分贝？

（2）为了使各自的谈话声能使对方听见，所有对话者都提高嗓门把辐射声功率提高

一倍。试问这样以后对话声与语噪声的声压级能变化吗？为什么？

（3）若对话者都互相移近在0.1m 处对话，这时对话声压级将提高多少分贝？而对话

声与语噪声的声压级差将变为多少？

9－1 一吸声材料层，要求频率在250Hz 以上时吸声系数达到 0.45 以上。如果采用容重为

20 kg m /3

的超细玻璃棉，求材料层所需的厚度。（计算时查表9－1，p. 170）。

9－2 一般壁面抹灰的房间，平均吸声系数为 0.04。如果作了吸声处理后，使平均吸声系

数提高为 0.3，计算相应的最大减噪效果。如果进一步把平均吸声系数提高为 0.5，最大降噪情况又如何？

9－3 房间墙壁厚度为 20 cm ，面密度为 ρ=20002

kg /m ，求 100 Hz 和 1000 Hz 声波的隔声量。若墙的厚度增加一倍，100Hz 声波的隔声量为多少？

9－4 设1000Hz 时，隔墙的隔声量 TL 1 为 40 dB ，窗的隔声量 TL 2 为 25 dB ，窗的面积占总面积的 10％，计算这种带窗隔墙的总隔声量 T L 。

9－5 一隔声罩以 0.4 mm 的钢板制成，内壁粘贴平均吸声系数为 0.2 的吸声层，计算隔

声罩的插入损失。设频率为 1000 Hz ，钢板密度 ρ=75003

kg /m 。

《动力机械振动与噪声》习题答案(部分)

1－4 m 07270max

.=x , 2

max s m 14287.=x &&, t = 0.1 s

1－5 0=? 0='? B A c +=

２π=? A

B tan arc ='? 22B A c +=

π=? )(0B A >='? B A c -= )(B A <='π? A B c -= 1－8 (a) 3

i e 2π

, (f) 4561i e 10。, (h) 64

0i e

5。

2－2 02323=+θθθl

g m k ＋&& 2－4 x 为弹簧与圆柱连接点的水平位移

0)(22322=+x a R R k x m ＋&& 2－5 0)2

(=+

x k x M

m ＋&&, 2－6 θθ&

&&c L L L m L m L m 232433222211])([++++ 0)(22243=-++θθgL m k L L

2－7 设圆盘盘心水平方向的位移x 为广义坐标，x 向右为正。

0)/()(2222222121122=++++x r k b a r k x r m r m I && 2－10 )4(2433L I E

2－11 22221e cos b k a k k +=α

2－12 m m n n

)1(131e 2-+= 2－14 ??????=??????????????+--+???????????

?00)(0

0212111

0θθx k k R k R k R k x J m

&&&& 2－15 ???

?????????--+???????????

?2111112121

00x x c c c c x x m m &&&&&&

?

?

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???=??????????

?

?+--+++0021433

33

21x x k k k k k k k

2－16 ?

?????=????????????--+

????????????002112100221221x x L m T x

x &&&&

2－17设两个圆盘的转角1θ和2θ为广义坐标，顺时针为正。

?

??

???=????????????+???????????

?0022002122222121

θθθθr k r

k r k r k J J &&&&

2－18 ?

?????=????????????+????????????+00002222222

1θθx gl m k

x l m l

m l m m m &&&&

3－1

)1

14141(

4

214

321n

k k k k m f

+++=π

3－3 0332

2

=++θθθml ka m c &&&, 2

2

n 321l

m a k f π

=

k m l

a

C 332c =

3－5

t m m k

k g m t m m k k

m m h g m t x 2

1221212

cos sin

)(2)(+-++=

3－7 mm 5674.=? , s /mm 5644max

.=x & ,

s /mm 8210., mm 461.=x

3－9 设质量为m 和2m 的集中质量上下位移x 1和x 2为广义坐标，向上为正。系统静平衡时位

移为零。

m k 81.01=ω，m

k 62.22=ω

[]??

?

?

??-=46.0086.111

u 3－10 m

k 8972321

-=ω ,

m

k 8972322

+=

ω

[]???

????

?-=L L

u 42.842

.111

3－11J

k 2222

1-=

ω

,

J k 22222

+=

ω

, []??????-=2211

u ,

??????-??????-=?

??

???t t 2121cos 207.0cos 207.12211

ωωθθ 3－12

[]??

???

????

??

?-=L m L

m m m u 908.6424.8168.1424.1908.61168.11

{}[]{}???

?????????-==-θx L L x u y 101.0146.0101.0855.01

3－13 []?

?

????-=1111u , []??????-=111121m u ,

??

????????-+=??????)()(2121212121x x x x y y

3－15 L m T 322R =ω, )1492R

L

m T ='ω, L m T 221≈ω

)(Dunkerley 21

21

2R 2R ω

ωωω

>>'>

4－1 2

22)()(ωωωc m k cA X +-=

, 2

1

tan 2

ω

ω?Φm k c --=-π

4－2 t s a kA a

mgL k c a mL ωθθθco )(222

=-++&&&, 2

222

)2()1()(cos )(ωζωΦωθ+---=t mgL ka a A k n ωωω=,L

g mL k a -

=

2

2n ω )

(222mgL ka m L c

a -=

ζ, 2

12arctan ω

ωζΦ-=

4－5 t F x k x m ωβi 02i e e =+&&,

2

22)(i 0)1(2cos e )(ηωβ

Φω+-=

-k F t x t

2

1arctan

ωηΦ-=, ()m k βω

ω2cos =

4－9 W

kg L

v π

2= 4－10 设质量m 的位移x 为广义坐标。当x 0＝0且系统静平衡时质量m 的位置x 为零，方向向

上为正。

2

2

1)

2()

1()(sin 124i i i i i t i

a a x ωξωΦωπ

+---

=∑∞

=

2

i 12arctan

i i ωωξΦ-=k m i i 22τ

π

ω=

n

2ω

ξm c

=

4－11设质量m 沿斜面运动的位移为广义坐标x ，质量m 与弹簧接触时广义位移为零，向下为

正。

方程：?=+30sin g m x k x m &&

)cos 1(2sin )(n

n n

t k

g

m t s

g t x ωωω

-+

=

??

????

+-

=π)4(arctan 21g m s k k m t 4－12 k t F x )/cos 1(n 0ω-= m k =n ω

4－17 k t F x )/cos 1(n 0ω-= m k =n ω 4－19 ?

????

?---=

?

???

??T J k T k k J k t

)(2)(2sin 2

2222

1ω

ωωθ

4－21 []?

??

? ????????=??????-t F Z x x ωi 0121e 0Re ???

?????+--+----++-+=ωωωωωω)i(i i )i(3222322222212121c c m k k c k c k c c m k k Z 5－2 1.0=ζ, rad/s 9.19d =ω, 63.0=δ,

88.11

=+n n x x

5－402020.=δ,0032150.=ζ, rad/s 7244d .=ω Ns/m 441.=c

5－5 mm 580., N 4506T .=F

5－7 3.166 cm/s

2

5－9 (a) n < 20.7 rpm ；(b) n = 37.6 rpm 5－10 2 . 68 mm

5－12 N/m 10572?=k

rad/s 51.73rad/s;79.352

1==ω

ω

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机械振动试题(参考答案)

机械振动基础试卷 一、填空题（本题15分，每空1分） 1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。 2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（），（）元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。 4、叠加原理是分析（ ）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（ ）运动。 二、简答题（本题40分，每小题10分） 1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。 （10分） 2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动简述其能量集聚过程 （10分） 3、 简述刚度矩阵[K]中元素k ij 的意义。 （10分） 4、 简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。 （10分） 三、计算题（45分） 、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2 无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r 1、m 1、I 1和m 2、I 2。轮2的轮缘上连接一刚度为k 的弹簧，轮1悬挂质量为m 的物体，求： 1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I 1＝I 2，扭转刚度K r1＝K r2。 1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分） 、（15分）根据如图所示微振系统， 1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5 分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分） 参考答案及评分细则： 填空题（本题15分，每空1分） 1、线性振动；随机振动；自由振动； 2、势能；动能；阻尼 图2 图3

《机械振动》单元测试题(含答案)

《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动 选择题 1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t ＝t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 2．如图所示，在一条张紧的绳子上悬挂A 、B 、C 三个单摆，摆长分别为L 1、L 2、L 3，且L 1＜L 2＜L 3，现将A 拉起一较小角度后释放，已知当地重力加速度为g ，对释放A 之后较短时间内的运动，以下说法正确的是（ ） A ．C 的振幅比 B 的大 B ．B 和 C 的振幅相等 C ．B 的周期为2π 2 L g D ．C 的周期为2π 1 L g 3．如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b 发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半．则碰撞后 A 56 T

B ．摆动的周期为 65 T C ．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D ．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 5．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（ ） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 6．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212()x x g L π- B ． 212()2x x g L π- C ． 212()4x x g L π- D ． 212()8x x g L π-

大学 机械振动 课后习题和答案

试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?

设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++

求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+

两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&

(完整版)机械振动习题答案

机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而 系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类， 振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势 能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无 关。 二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=

三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。

北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题 自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。

五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。

机械振动课程期终考试卷-答案

一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）

15机械振动习题解答

第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )

机械振动基础试卷3答案

（共计15分） 故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共 计15分） 解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系 统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ） k m 1 m 2 . k . m, m 2 3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设 I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分） 解：取1, 2为系 统的广义坐标， 系统的动能为 E T I 1 12 212 22 11 （ 12 22） 振动分析与实验基础课程考试 3答案 1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂, 且k 2 2k 〔 ， k g k 〔 o 解: 等效刚度二一1— 1 1 (-—) k 1 k 2 k 3 永1 5k 1 k m 3m 解得 x x 0cos n t —°sin n t n T 乙2 n

2). 1 2 1 2 1 2 U 尹i (r J 2 步(「! r 2)2 尹(「2)2 系统的特征方程为: 在频率比/ n = , 2时，恒有X A 2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在 / n > 2 , X/A 随 E 增大而增大 (共计15分) 证明：1).因—<1 (2 / n )2|H() A^ 1 故当 / n = 2 时， |H(W )| .—. V 1 (2 J 2)2 所以，X 1 (2 2 )2 1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A A ；1 (2 厨 (2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2 / n )2 (1 ( / n )2)2 (2 / n )2'2 系统的势能为 从而可得 k 1r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 3r 2 2kr 2 kr 2 kr 2 4kr 2 得 W 12 (3 .2)牛 (3 其振型分别为：U 1 u 2 4. H( )| 1 (2 / n )2, |H( )| 1/ . 1-( / n ) 2 2 (2 / n )2 证明: 1).无论阻尼比E 取何值,

6.机械振动习题及答案

一、 选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ） 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] （A ）;4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体， 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1

5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分， 且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 [ C ] （A ） 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ） 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ） 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ） 物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ B ］

05 机械振动 作业及参考答案 2015

一. 选择题: 【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15 所示。则振动系统的频率为 ： (A) m k 32π1． (B) m k 2π1 ． (C) m k 32π1． (D) m k 62π1． 提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k . 【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为1 3 π，对应的时间为T/6. [ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) π2 3． (B) π． (C) π2 1． (D) 0． 提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为： (A) m k k v 212+=π． (B) m k k v 2 121 +=π ． (C) 212121k mk k k v +=π ． (D) ) (21 212 1k k m k k v +=π ． 提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹 A/ -图13-15

机械振动学习题解答大全

机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???

机械振动基础试卷

机械振动基础试卷 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

振动分析与实验基础课程考试试卷 1 1. 设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图1所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为： 2）它们串联时的总刚度eq k 为： (共计15分) 2. 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静 伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 (共计15分) 3. 求如图2所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘， 质量分别为1m ,2m 。(共计15分) 4. 试证明：对数衰减率也可用下式表示 n n x x l n 01=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。 并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。(共计15分) 5. 如图3所示的扭振系统，设, 221I I =12t t K K = 1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。 2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 (共计15分) 6. 证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商 满足221)(n x R ωω≤≤

这里[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(共计15分) 7. 求整流正弦波 T tπ A x(t) 2 sin =的均值，均方值和方差。(共计10分)

机械振动机械波试题(附答案全解)

专题十九、机械振动机械波 1.如图，t=0时刻，波源在坐标原点从平衡位置沿y轴正方向开始振动，振动周期为0.4s，在同一均匀介质中形成沿x轴正、负两方向传播的简谐横波。下图中能够正确表示t=0.6时波形的图是 答案：C 解析：波源振动在同一均匀介质中形成沿x轴正、负两方向传播的简谐横波。t=0.6时沿x轴正、负两方向各传播1.5个波长，能够正确表示t=0.6时波形的图是C。2．做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是 (A)位移(B)速度(C)加速度(D)回复力 答案：B 解析：做简谐振动的物体，当它每次经过同一位置时，位移相同，加速度相同，位移相同，可能不同的物理量是速度，选项B正确。 3．一列横波沿水平绳传播，绳的一端在t＝0时开始做周期为T的简谐运动，经过时间t(3 4 T ＜t＜T)，绳上某点位于平衡位置上方的最大位移处。则在2t时，该点位于平衡位置的 (A)上方，且向上运动(B)上方，且向下运动 (C)下方，且向上运动(D)下方，且向下运动 答案：B 解析：由于再经过T时间，该点才能位于平衡位置上方的最大位移处，所以在2t时，该点位于平衡位置的上方，且向上运动，选项B正确。 4．在学校运动场上50 m直跑道的两端，分别安装了由同一信号发生器带动的两个相同的扬声器。两个扬声器连续发出波长为5 m的声波。一同学从该跑道的中点出发，向某一端点缓慢行进10 m。在此过程中，他听到扬声器声音由强变弱的次数为（）A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：向某一端点每缓慢行进2.5m，他距离两波源的路程差为5m，听到扬声器声音强，缓慢行进10 m，他听到扬声器声音由强变弱的次数为4次，选项B正确。 5. 如图，a. b, c. d是均匀媒质中x轴上的四个质点.相邻两点的间距依次为2m、4m和6m 一列简谐横波以2m/s的波速沿x轴正向传播，在t=0时刻到达质点a处，质点a由平衡位置开始竖直向下运动，t=3s时a第一次到达最高点。下列说法正确的是 (填正确答

机械振动习题及答案

机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB

()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动

机械振动习题及答案

第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动

5、 什么就是线性振动？什么就是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？ 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π=

机械振动课程学习体会

机械振动课程学习心得体会 机械振动作为一门专业基础课程，其涉及的学科、专业面广，需要学员具备数学、力学、计算机技术及实验技术等基础理论知识。其主要目的与任务是培养学生学习和掌握机械振动的基本理论，初步具有把机械系统振动、噪声等实际问题抽象为理论模型，并利用所学到的理论知识和方法来分析和解决实际机械系统振动噪声问题的能力，学会机械振动噪声的测试分析及实验方法和技能。培养学生对机械系统动态问题的认识和分析能力，并且提高学生在学校和将来解决实际工程问题的能力。 通过该网络课程学习，我主要从如下方面对该课程进行了系统性学习： 1、再一次深入了解了机械振动的基础知识，如振动研究的基本内容和方法、振动的分类、振动的运动学分析基础知识、频谱分析知识及相应的力学模型建立等基础知识； 2、深入学习了单自由度的自由振动的分析方式和方法。在单自由度系统中，学习了无阻尼自由振动、能量法、等效质量与等效刚度概念，并对其计算进行了相关学习； 3、单自由度的强迫振动学习。理解并掌握了单自由度系统强迫振动的基础知识，结合工程实例例如带有集中载荷的悬臂梁系统，通过在自由端施加力的激励下引起强迫振动的振动频率特性分析，通过该课程学习的知识，利用频率特性曲线，可以很好的求出系统固有频率及阻尼常数；学习到了某种机械系统受到外在激励作用下的分析方法和可采用的实验手段；如稳态受迫振动的主要特性：①在简谐激振力下，单自由度系统稳态受迫振动亦为简谐振动。 ②稳态受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。③稳态受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的 固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 4、学习了二自由度系统。在双自由度系统的学习中，掌握了二自由度无阻尼自由振动基本知识，并对在一个系统中受到谐振激励条件下的稳态响应进行了较为详细的学习，并能很好的运用到工程实际问题中；除此之外，对动力吸振器的原理进行了学习，通过该原理学习，给实际工厂中工件在车削中发颤引起的噪音问题提出了较为合理的解决方案； 连续系统的定义：系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的振动系统叫连续系统；工程振动测试的主要参数：位移、速度、加速度、激振力、激振频率和振幅。 5、在多自由度系统中，运动方程如何建立、固有频率与振型的分析方法如：振型截断法、状态空间法等，还了解了计算基频的近似方法。通过这些方法的学习，无论是给工程实际问题，还是对以后该课程及相关课程的教学上面都提供了比较好的素材和知识面，以便能更好的完成教学和科研工作； 6、连续弹性体振动及有限元法：弹性连续体振动问题都只是在简单的特殊边界情况下才能得到精确解，而对于复杂弹性连续体的振动，通常无法得到精确解。因此，只能采用近似解，近似解方法很多，其要旨在于将无限自由度系统（连续体）变换成为有限多自由度系统（离散系统）来处理。有限元的基本思想是将一个复杂结构（连续系统）看成是有限个基本元素（单元）在有限个结点彼此相联结的组合结构。每个单元都是一个弹性体。有限元法通常是采用位移法，即以结点处的位移作为基本未知量，单元的位移是用结点位移的插值函数表示，单元以至整个结构的一切参数包括位移、应变、应力等都通过结点位移表示出来。从振动问题来看，最后是将一个连续体的振动问题变成了一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。有限单元法分析过程基本上可分为结构离散化、单元分析、整体分析三个步骤。

《机械振动》单元测试题(含答案)

《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A．甲的最大速度大于乙的最大速度 B．甲的最大速度小于乙的最大速度 C．甲的振幅大于乙的振幅 D．甲的振幅小于乙的振幅 3．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 4．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2GM l B．T=2 l GM

C ．T = 2πGM r l D ．T =2πl r GM 5．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212 ()x x g L π- B ． 212 ()2x x g L π- C ． 212 ()4x x g L π- D ． 212 ()8x x g L π- 6．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 B ．甲球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 C ．甲球最先到达 D 点，丙球最后到达D 点 D ．甲球最先到达D 点，无法判断哪个球最后到达D 点 7．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A ，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（ ） A ．1t 时刻钢球处于超重状态

《机械振动》测试题(含答案)(1)

《机械振动》测试题(含答案)(1) 一、机械振动 选择题 1．如图所示，物块M 与m 叠放在一起，以O 为平衡位置，在ab 之间做简谐振动，两者始终保持相对静止，取向右为正方向，其振动的位移x 随时间t 的变化图像如图，则下列说法正确的是（ ） A ．在1~ 2 T t 时间内，物块m 的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大 B ．从1t 时刻开始计时，接下来4 T 内，两物块通过的路程为A C ．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小 D ．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走m ，则M 的振幅不变 2．下列说法中 不正确 的是( ) A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大 B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍 C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变 D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变 3．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 4．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A ．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B ．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3

C ．t b 时刻甲、乙两摆球的速度相同 D ．t a 时刻甲、乙两单摆的摆角不等 5．下列叙述中符合物理学史实的是（ ） A ．伽利略发现了单摆的周期公式 B ．奥斯特发现了电流的磁效应 C ．库仑通过扭秤实验得出了万有引力定律 D ．牛顿通过斜面理想实验得出了维持运动不需要力的结论 6．如图所示，质量为m 的物块放置在质量为M 的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，周期为T ，振动过程中m 、M 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k 、物块和木板之间滑动摩擦因数为μ， A ．若t 时刻和()t t +?时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则t ?一定等于2 T 的整数倍 B ．若2 T t ?= ，则在t 时刻和()t t +?时刻弹簧的长度一定相同 C ．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D ．当整体离开平衡位置的位移为x 时，物块与木板间的摩擦力大小等于 m kx m M + 7．如图所示，弹簧的一端固定，另一端与质量为2m 的物体B 相连，质量为1m 的物体A 放在B 上，212m m =．A 、B 两物体一起在光滑水平面上的N 、N '之间做简谐运动，运动过程中A 、B 之间无相对运动，O 是平衡位置．已知当两物体运动到N '时，弹簧的弹性势能为p E ，则它们由N '运动到O 的过程中，摩擦力对A 所做的功等于（ ） A ．p E B ． 12 p E C ．13 p E D ． 14 p E 8．质点做简谐运动，其x —t 关系如图，以x 轴正向为速度v 的正方向，该质点的v —t 关系是( )

《机械振动》测试题(含答案)

《机械振动》测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．如图所示，PQ为—竖直弹簧振子振动路径上的两点，振子经过P点时的加速度大小为6m/s2，方向指向Q点；当振子经过Q点时，加速度的大小为8m/s2，方向指向P点，若PQ之间的距离为14cm，已知振子的质量为lkg，则以下说法正确的是（） A．振子经过P点时所受的合力比经过Q点时所受的合力大 B．该弹簧振子的平衡位置在P点正下方7cm处 C．振子经过P点时的速度比经过Q点时的速度大 D．该弹簧振子的振幅一定为8cm 2．某同学用单摆测当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图(a)所示．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像如图(b)所示．由此种方法得到的重力加速度值与测实际摆长得到的重力加速度值相比会（） A．偏大B．偏小C．一样D．都有可能 3．下列说法中不正确的是( ) A．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大 B．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变 D．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变 4．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m的A、B两物体，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，则下列说法中正确的是（）

A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 5．如图所示，质量为m 的物块放置在质量为M 的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，周期为T ，振动过程中m 、M 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k 、物块和木板之间滑动摩擦因数为μ， A ．若t 时刻和()t t +?时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则t ?一定等于2 T 的整数倍 B ．若2 T t ?= ，则在t 时刻和()t t +?时刻弹簧的长度一定相同 C ．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D ．当整体离开平衡位置的位移为x 时，物块与木板间的摩擦力大小等于 m kx m M + 6．如图所示，弹簧的一端固定，另一端与质量为2m 的物体B 相连，质量为1m 的物体A 放在B 上，212m m =．A 、B 两物体一起在光滑水平面上的N 、N '之间做简谐运动，运动过程中A 、B 之间无相对运动，O 是平衡位置．已知当两物体运动到N '时，弹簧的弹性势能为p E ，则它们由N '运动到O 的过程中，摩擦力对A 所做的功等于（ ） A ．p E B ． 12 p E C ．13 p E D ． 14 p E 7．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点