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数列中的奇偶项问题

例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数

为数

*n N ∈，设21n n b a -=.

（1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+

（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)

1,20,2,22

n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.

②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=?-=?-即，则1

2211321n n n a a --=+=?-，

因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21

(322)(321)(328)k k k -?-=?-?+，令2=k t ，

得2

(32)(1)(38)2t t t ?-=-+，解得2

t =

或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和

为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设??

?=为偶数为奇数

n b n a c n

n n ，求数列{}n c 的前n 项和n P ．

解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=??

+=?，得14

,44

n a a n d =?∴=?=?． …………3分

230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，

112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥

数列{}n b 为等比数列，1

32n n b -∴=?． …………7分

（Ⅱ）1

4 32n n n

n c n -?=?

??为奇数为偶数

．当n 为偶数时，

13124()()

n n n P a a a b b b -=+++++++L L

12(444)6(14)2222

n n n n ++-?

-+=+--． ……………10分

当n 为奇数时，

（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221

n n n n n n -+=+--+=++-

……………13分

点评:根据结论1退而求之.

（法二）132241()()

n n n n P a a a a b b b --=++++++++L L

21(44)6(14)2221214

n n n n n n -++?

+=++-- ． ……………13分

12222,221n n n

n n P n n n +?+-∴=?++-?为偶数

，为奇数

……………14分

点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。点评:

1、数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是

新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；

2、数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问

题的考查。 3、常用知识点：

(1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。（2）项数为奇数21n -的等差数列有：

s n

s n =

-奇偶； n s s a a -==奇偶中； 21(21)n n s n a -=-=a ?中项数（3）项数为偶数2n 的等差数列有：

n n s a

s a +=奇偶；s s nd -=偶奇； 21()n n n s n a a +=+ (4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是2

q 。

练习：

1. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝?????

a n 2?a n 为偶数?，

a n －2n ?a n 为奇数?.若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．

解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a 2为偶数时，a 3＝1

2a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)；当a 1为偶数时，a 2＝1

2a 1＝5，a 1＝10 或a 2＝1

2a 1＝2，a 1＝4. 综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,10

2. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝2

2n ，则这个数列的前2m 项的和是________．

解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，

S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m ?m －1?2×10＋a 2?1－2m ?

1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m －1) ＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.

参考题目：

1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )

A ．10

B ．20

C ．30

D ．40

解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.

2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（C ）

（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10

3、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.

解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋

1，∴a n ＋2＝2a n .

又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.

4、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7

a 3

＝( )

A ．2

B ．4

C ．5 D.5

解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋

12n ＝2，即a n ＋2

a n

＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首

项、2为公比的等比数列，因此a 7

a 3

＝4.

5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )

A ．22 014－1

B ．3×21 007－3

C ．3×21 007－1

D ．3×21 007－2

解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n ＝a n ＋2a n

＝2n ＋

2n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公

比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2?1－21 007?

1－2

＝3×21 007－3.

对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，

6. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.

解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .

∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋...＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋...＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋ (100)

＝50＋?100＋2?×502

＝2 600. 点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

＝2n －1＋2n －

2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2

＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋

11－2

＝2n ＋1

－2.

7、(2013·天津高考)已知首项为3

2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)证明S n ＋1S n

≤13

6(n ∈N *)．

[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．

[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即

S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3

＝－1

又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×???

?－12n －1＝(－1)n －1·3

2n . (2)证明：S n ＝1－???

?－12n ， S n ＋1S n ＝1－????－12n ＋11－???

?－12

＝?????

2＋1

?2n ＋1?，n 为奇数，2＋1

?2n

－1?，n 为偶数.

当n 为奇数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n

≤S 1＋1S 1

＝13

当n 为偶数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1S n

≤S 2＋1S 2

＝25

12.

故对于n ∈N *，有S n ＋1S n

≤13

变式：(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.

①求数列{a n }的通项公式；

②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．

解析：①设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.

由题意得?

????

S 2－S 4＝S 3－S 2，

a 2＋a 3＋a 4＝－18，

即????? －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q ?1＋q ＋q 2?＝－18，解得?????

a 1＝3，

q ＝－2.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －

②由①有S n ＝3×[1－?－2?n ]

1－?－2?

＝1－(－2)n .

若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.

当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.

综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。