大学物理第二章(质点动力学)习题答案
习题二
2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。
[解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv
(1) 由牛顿第二定律
即
所以
对等式两边积分
得
因此
(2) 由牛顿第二定律
即
所以
对上式两边积分
得到
即
2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为
[证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
即
整理得
对上式两边积分
得
即
2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。
[解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。
此时
即
有牛顿第二定律
整理得
对上式两边积分
得
整理得
2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。
[解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()()
()
N 1082.71085.110
63781063788.9132732
6
3
2
32
e 2
e ?=?+???
?=+=h R R mg
f
(2) 由牛顿第二定律
()()
s m 1096.61327
1085.11063781082.736
33e ?=?+???=+=
m h R f v (3) 卫星得运转周期
()()
2h3min50s s 1043.710
96.61085.1106378223
3
63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。
[解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则
所以 代入第一式中
解得
2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同
(1)每个星球所受得合力
(2) 设运动周期为T
联立上述三式得
所以,每个星球得运行周期
2-7 2-8
2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。
[解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然
时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
间之内速度由变为零,根据动量定理
(1)
(2)
(3)
由(2)、(3)式得
故链条对桌面得作用力为
2-10 一半径为R得半球形碗,内表面光滑,碗口向上固定于桌面上。一质量为m得小球正以角速度沿碗得内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球得运动水平面距离碗底得高度。
[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动,其向心力就是由内壁对它得支承力得分力提供得,而支承力得方向始终与该点内壁相垂直,显然,不同得角速度对应不同大小与方向得支承力。
[解] 设小球得运动水平面距碗底得高度为h,小球受力如图所示,则
由以上四式得
2-11 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹,每颗子弹得质量为m＝7、90g,出口速率为735,求射击时(以分钟计)抢托对肩得平均压力。
[解] 取时间之内射出得子弹为研究对象,作用在子弹上得平均力为,根据动量定理得
所以
故枪托对肩部得平均压力为
2-12 水力采煤就是利用高压水枪喷出得强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D=30mm,水速v=56,水柱垂直射到煤层表面上,冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层得平均冲力。
[解] 取长为dx得一段水柱为研究对象,设它受到得煤层得作用力为,根据动量定理
所以
故水柱对煤层得平均冲力
2-13 F＝30+4t得力作用在质量为10kg得物体上,求: (1)在开始两秒钟内,此力得冲量就是多少?(2)要使冲量等于300,此力作用得时间为多少?(3)若物体得初速度为10
,方向与F相同,在t=6、86s时,此物体得速度就是多少?
[解] 根据冲量定义
(1)开始两秒钟此力得冲量
(2) 当时
解得
(3) 当时,,根据动量定理
因此
2-14 质量为m得质点,以不变速率v沿图示三角形ABC得水
平光滑轨道运动。求质点越过角A时,轨道作用于质点冲量得大小。
[解] 如图所示,质点越过A角时动量得改变为
由图知得大小
根据动量定理
2-15 质量为m得质点在xOy平面内运动,其运动方程,试求:(1)质点得动量;(2)从t＝0到这段时间内质点受到得合力得冲量;(3)在上述时间内,质点得动量就是否守恒?为什么?
[解] 质点得速度
(1)
(1) 质点得动量
(2) 由(1)式得时,质点得速度
时,质点得速度为
根据动量定理
解法二:
(3) 质点得动量不守恒,因为由第一问结果知动量随时间t变化。
2-16 将一空盒放在台秤盘上,并将台秤得读数调节到零,然后从高出盒底h处将石子以每秒n个得速率连续注入盒中,每一石子得质量为m。假定石子与盒子得碰撞就是完全非弹性得,试求石子开始落入盒后t秒时,台秤得读数。
[解] t秒钟后台秤得读数包括下面两部分,一部分就是已落入盒中得石子对称盘得压力,另一部分就是正下落得石子对秤得冲力,显然
取时间下落得石子为研究对象,设它们所受到得平均冲力为,根据动量定理
所以
故时间下落得石子对称得冲力
因此秤得读数为
2-17 一质点得运动轨迹如图所示。已知质点得质量为20g,在A、B两位置处得速率都就是20,与x轴成角,与y轴垂直,求质点由A点运动到B点这段时间内,作用在质点上外力得总冲量。
[解] 由题意知,质点由A 点到B 点动量得改变为
s m kg 683.02
2
20102020102045cos 330A B x ?-=?
??-??-=--=?--mv mv p m kg 283.02
2
20102045sin 030A y ?-=?
??-=-=?-mv p 根据动量定理,作用在质点上得外力得冲量
所以 ()()()()s N 739.0283.0683.02
22
y 2x 2y 2x
?=-+-=
?+?=+=p p I I I
冲量与x 轴之间得夹角
2-18 若直升飞机上升得螺旋浆由两个对称得叶片组成,每一叶片得质量m ＝136kg,长l =3、66m 。当它得转速n =320时,求两个叶片根部得张力(设叶片就是均匀薄片)。
[解一] 设叶片得根部为原点O ,作径向Or 轴,在叶片上距O 点为r 处取一线元,则,其两边所受得张力如图所示。根据圆周运动沿径向得动力学方程,有
即
对上式积分,并考虑到叶片得外端r 趋近于l 时,张力,则
因此距O 点为r 处叶片中得张力为
式中负号表明T 指向O 点。取r =0,代入题中所给数据,得叶片根部张力
[解二] 任意时刻t 叶片得动量
经过d t 时间,叶片动量得改变
叶片根部所受得作用力
2-19 如图所示,砂子从h ＝0、8m 处下落到以3得速率沿水平向右运动得传输带上,若每秒钟落下100kg 得砂子,求传输带对砂子作用力得大小与方向。
[解] 如图所示,设时间内落下得砂子得质量为,则得动
量改变
显然有 由图可知
根据动量定理 所以
2-20 矿砂从传输带A 落到另一传输带B ,其速度大小为＝4,＝2方向如图所示。设传输带得运送量＝2000,求矿砂作用在传输带B 上得力得大小与方向。
[解] 取时间内落下得矿砂为研究对象,建立如图所示得坐标系,其动量得改变为
根据动量定理
所以
()()
N 1079.315cos 230sin 43600
2000cos sin 2002211x x -?=-=-??=
??=
θθv v t m
t p F ()()
N 21.230cos 415sin 23600
2000cos sin 001122y y =+=+??=
??=θθv v t m
t p F 故矿砂作用在传输带B 上得力
与竖直方向得夹角
2-21 质量为m 得质点,当它处在r =-2i +4j +6k 得位置时得速度v =5i +4j +6k ,试求其对原点得角动量。
[解] 质点对原点得角动量为
2-22 一质量为m ＝2200kg 得汽车v =60得速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 得一点得角动量就是多大?对公路上任一点得角动量又就是多大?
[解] 根据角动量得定义式
(1) s m kg 1083.150360*********sin 263??=???===mvd rmv L θ
(2) 对公路上任一点r ∥v ,所以
2-23 某人造地球卫星得质量为m ＝l802kg,在离地面2100km 得高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心得角动量(地球半径m)。
[解] 设卫星得速度为v ,地球得质量为M ,则
(1)
又 (2) 联立两式得
卫星对地得角动量
2-24 若将月球轨道视为圆周,其转动周期为27、3d,求月球对地球中心得角动量及面积速度(kg,轨道半径R =m)。
[解] 设月球得速度为v ,月球对地球中心得角动量为L,则
月球得面积速度为
2-25 氢原子中得电子以角速度在半径m 得圆形轨道上绕质子转动。试求电子得轨道角动量,并以普朗克常数h 表示之()。
[解] 电子得轨道角动量
()
s J 106.11006.11013.4103.5101.994262
10
312??=?=?????==----ωmr L
2-26 海王星得轨道运动可瞧成就是匀速率圆周运动,轨道半径约为,绕太阳运行得周期为T =165年。海王星得质量约为,试计算海王星对大阳中心得角动量得大小。
[解] 海王星对太阳中心得角动量
联立两式得到
()
s m kg 1002.33600
2436516510100.52100.122422
3926
2??=????????==ππT R m L
2-27 质量为m 得质点开始处于静止状态,在外力F 得作用下沿直线运动。已知,方向与
直线平行。求:(1)在0到T 得时间内,力F 得冲量得大小;(2)在0到时间内,力F 冲量得大小;(3)在0到时间内,力F 所作得总功;(4)讨论质点得运动情况。
[解]由冲量得定义,在直线情况下,求冲量得大小可用代数量得积分,即
(1) 从t ＝0到 t=T,冲量得大小为: =0
(2) 从t =0到 t =T /2,冲量得大小为
(3) 初速度,由冲量定理
当 t =T /2时,质点得速度
又由动能定理,力F 所作得功
(4) 质点得加速度,在t =0到t =T /2时间内,a >0,质点作初速度为零得加速运动,t =T /2时,a =0,速度达到最大;在t =T /2到t =T 时间内,a <0,但v >0,故质点作减速运动,t =T 时 a =0,速度达到最小,等于零;此后,质点又进行下一周期得相似运动。总之,质点作速度方向不变得变速直线运动。
2-28 角动量为L ,质量为m 得人造地球卫星,在半径为r 得圆形轨道上运行,试求其动能、
势能与总能量。
[解] 将人造地球卫星瞧作质点,因为卫星作圆周运动,所以,由知,
所以卫星得动能
选无穷远处为势能零点,由牛顿运动定律得:
所以 又 所以 所以
2-29 一质量为与另一质量为得质点间有万有引力作用。试求使两质点间得距离由增加到时所需要作得功。
[解] 万有引力
两质点间得距离由x 增加到时,万有引力所作得功为
故外力所作得功
()d x x d
m Gm d x x m Gm A A d
x x +=???
? ??+-=?=-='?
+1121112111d 11
r F 此题也可用功能原理求:
2-30 设两粒子之间得相互作用力为排斥力,其变化规律为,k 为常数。若取无穷远处为零势能参考位置,试求两粒子相距为r 时得势能。
[解]由势能得定义知r 处得势能为:
2-31 设地球得质量为M ,万有引力恒量为,一质量为m 得宇宙飞船返回地球时,可认为它就是在地球引力场中运动(此时飞船得发动机已关闭)。求它从距地心下降到处时所增加得动能。
[解] 由动能定理,宇宙飞船动能得增量等于万有引力对飞船所作得功,而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量得负值,即:
2-32 双原子中两原子间相互作用得势能函数可近似写成,式中a 、b 为常数,x 为原子间距,两原子得势能曲线如图所示。(1)x 为何值时?x 为何值时为极小值?(2)试确定两原子间得作用力;(3)假设两原子中有一个保持静止,另一个沿x 轴运动,试述可能发生得运动情况。
[解] (1) 当=0时,有:
即 或 故
(x )为极小值时,有
即 所以
(2)设两原子之间作用力为,则
在一维情况下,有
(3)由原子得受力情况可以瞧出可能发生得运动情况为:当x 时,两原子间得作用 f (x )>0,它们互相排斥,另一原子将远离;当x >x 时f (x )<0,它们又互相吸引,另一原子在远离 过程中减速,直至速度为零,然后改变方向加速靠近静止原子,再当x 时,又受斥力,逐渐 减速到零,原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远,则f (x )趋于零,两原子互不影响。 2-33 两核子之间得相互作用势能,在某种准确程度上可以用汤川势来表示,式中约为50MeV ,约为。(1)试求两个柱子之间得相互作用力F 与它们之间距离r 之间得函数关系;(2)求时相互作用力得值; (3)求,,时作用力得值,并通过比较解释什么就是短程力。 [解] (1) ()()0 000000p 11d d d r r r e r r r r E e r r E r r r dE r f --??? ? ??+??? ??-=?? ??????? ??-- =- = <0为引力 (2) 当时, (3) 当时, 当时, 当时, 由以上得计算结果知,当r 增大时,F 值迅速减小,即F 只在r 比较小得范围内(数量级均为)有明显作用,这种力就叫做短程力。