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【高三】高三一轮复习平面向量复习教案

【关键字】高三

平面向量

第一课时平面向量的概念

【重要知识】

知识点一：向量的概念

既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

知识点二：向量的表示法

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；

③用有向线段的起点与终点字母：；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

知识点三：有向线段

（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

（2）向量与有向线段的区别：

①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

知识点四：两个特殊的向量

（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作. 的方向是任意的.

注意与0的含义与书写区别.

（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量

（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定与任一向量平行.

（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;

②向量平行，记作∥∥

③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

知识点六：相等向量

（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

（2）向量与相等，记作；

（3）零向量与零向量相等；

（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

【典型例题】

1．下列命题正确的是（）

A ．向量与是两平行向量

B ．若都是单位向量,则

C ．若=,则A 、B 、C 、

D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

2．若都是单位向量，则的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（0，2） C ．［1，2］ D ．［0，2］ 3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则等于（） A ． B. C D

4. 如图，在△ABC 中，= , = ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量．

5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是

6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，，若，则四边形ABCD 的形状为。

【同步练习】

1．在四边形ABCD 中，=a+2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则

四边形ABCD 为（）

A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

2.已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)

B.λ(AB +BC ),λ∈(0,2

) C.λ(－),λ∈(0,1)

D.λ(BC AB -),λ∈(0,2

)

3.已知两点()3,2M ，()5,5N -- 1

MP MN =

，则P 点坐标是（） 4.已知△ABC 中，===,,，若?=?=?，求证：△ABC 为正三角形.

5.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证

OE OD OC OB OA 4=+++.

第二课时平面向量的线性运算

【重要知识】

知识点一：向量的加法

（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝＋BC ＝AC ．

求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三

角形法则．

说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.

②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则

以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作

OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就

是,a b 的和，记作a b +=OC 。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.

②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．

③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，

（3）特殊位置关系的两向量的和

①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，

③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.

（4）向量加法的运算律

①向量加法的交换律：a +b =b +a

②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法

（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。（2）①向量a 和-a 互为相反向量，即 –(-a ). ②零向量的相反向量仍是零向量．

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a ＋(-a )＝(-a )＋a ＝0．

④如果向量,a b 互为相反向量，那么a ＝-b ，b ＝-a ，a ＋b ＝0．

（3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与b 的差. 即： a - b = a + (- b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. （4）向量减法的几何作法

在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量

b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．

说明：①表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数

②用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (- b )，显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 知识点三：向量数乘的定义

（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

⑴|λa |＝|λ||a |

⑵当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反．当0λ=时，λa ＝0 （2）向量数乘的运算律

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数，那么

知识点四：向量共线的条件

向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ．

【典型例题】

1. 下列各式正确的是（）

A ．若a ，b 同向，则|+|=||+||

B ．a b +与||+||表示的意义是相同的

C ．若a ，b 不共线，则|a +b |＞|a |+|b |

D ．

a a b

<+永远成立

2．AO OB OC CA BO ++++等于（） A ．

B ． 0

C ．

D ．

3．下列命题

①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同。 ②△ABC 中，必有0

③若

0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。

④若a ，b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量

等于（）

A ．a b c ++

B ．a b c -+

C ．a b c +-

D ．a b c -- 5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则等于（）

A ． a b c -+

B ．()b a c -+

C ．a b c ++

D ．b a c -+

6．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A ．a 与b 的长度必相等 B ．a ∥b

C ．a 与b 一定不相等

D ．a 是b 的相反向量

7．AC可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）

A．①②B．②③C．③④D．①④

8.如图所示，在ABCD中，已知

AB a DB b

==，用a与b表示向量AD、。

【同步练习】

1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（）

①|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；

②任一非零向量的方向都是惟一的；

③|a-b|＜|a|+|b|④若|a-b|=|a|+|b|，则0

b=；

⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0。

A．1B．2C．3D．4

2．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a b

+（）A．向东南走km B．向东北走km

C．向东南走km D．向东北走km

3．若，则BC

的取值范围是（）

A．B．（3，8）C．D．（3，13）

4．设ABCDEF为一正六边形，

AB m AE n

==，则

5．化简：

第三课时平面向量的基本定理【重要知识】

知识点一：平面向量基本定理

⑴平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数

12,λλ使a = 1122e e λλ+。我们把不共线向量1e ，2e 叫

做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)运用定理时需注意：①1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量。 ②该平面内的任一向量都可用1e ，2e 线性表示，且这种表示是唯一的。 ③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直

（1）定义：已知两个非零向量,a b ，作,OA a OB b ==,则∠AOB=θ叫做向量a b 与的夹

角。

（2）如果a b 与的夹角是90°，就说a b 与垂直，记作a b ⊥。

（3）注意：向量a b 与的夹角的范围是0180θ?≤≤?，当0θ=?时，a b 与同向；当90θ=?时，a b ⊥；当180θ=?，a b 与反向。知识点三：平面向量的坐标表示

（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi y j =+…………○

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x . 特别地，(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===，

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a 唯一确定.

设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯

一表示.

（2）平面向量的坐标运算

① 若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b +),(2121y y x x ++=，a b - ),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ② 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. （3）若(,)a x y =和实数λ，则.(,)a x y λλλ=

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点四：平面向量共线的坐标表示

（1）设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，当且仅当12210x y x y -=时，向量a b 与共线。

（2）注意:①遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。

②运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。学习结论

（1）在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。

（2）向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b （b 0≠）

01221=-=?

y x y x λ

（3）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?。

【典型例题】

1. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这

四点构成平行四边形四个顶点.

2．已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的

坐标.

3．若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x

4．已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？

【同步练习】

基础练习

1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A.

12(0,0),(1,2)e e ==- B . 12(5,7),(1,2)e e ==-

C. 1

2(3,5),(6,10)e e == D 1213

(2,3),(,)

24e e =-=-

2. .已知a =(2，3），b =(－1，2），则2a －3b 等于 A.（5，1） B.（5，－3） C.（7，0）

D.（－7，0）

3.已知a =（－1，3），b =（x,－1），且a ∥b ,则x 等于（） A.3

B.31

C.－3

D.－31

4.下列各组向量是相互平行的是（） A.a=(－2，3），b=(3，5） B.a=（3，2），b=（2，3） C.a=（2，－1），b=（1，4） D.a=（－2，1），b=(4，－2）

5.已知A （x ，2），B （5，y －2)，若AB =（4，6），则x 、y 的值为（） A.x=－1，y=0 B.x=1，y=10 C.x=1，y=－10 D.x=－1，y=－10

6.已知M （3，－2），N （－5，－1），MP =21

MN ，则P 点的坐标为（）

A.（－8，1）

B.（－1，－23

）

C.（1，23

）

D.（8，－1）

7..若a －2

b =（1，2），a +b =(4，－10），则a 等于（）

A.（－2，－2）

B.（2，2）

C.（－2，2）

D.（2，－2）

8. 已知a 21=，b 22=，(a －b )·a =0，则a 与b 的夹角是（） A ．60? B ．90? C ．45? D ．30? 提高练习

1. 已知向量(3,2),(2,1),(7,4)a b c =-=-=-，试用,a b 来表示c 。

2. 向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线。

3. 已知

中A(7,8),B(3,5),C(4,3)，M 、N 是AB 、CD 的中点，D 是BC 的中点，MN 与

AD 交于F 。求

4. 已知点及

AC AB DA BA

==-

。求点C、D 和的坐标。

第四课时平面向量的数量积

【重要知识】

知识点一：平面向量的数量积

（1）定义：：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos θ叫a与b的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）

（2）.并规定0与任何向量的数量积为0.

（3）投影：“投影”的概念：作图

①定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.

②投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；

当θ为直角时投影为0；当θ = 0?时投影为 |b|；当θ = 180?时投影为-|b|.

（4）两个向量的数量积与向量同实数积的区别

①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.当0°≤θ＜

90°时，a?b＞0；当θ=90°时，a?b=0；当90°＜θ≤180°时，a?b＜0.

②两个向量的数量积称为内积，写成a?b；.符号“·”在向量运算中不是乘号，既

不能省略，也不能用“×”代替.

③在实数中，若a≠0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若0

a≠，且a?b =0，不能推出0

b =.因为其中cosθ有可能为0.

（5）平面向量的数量积的几何意义：

数量积a?b 等于a 的长度与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积.

注意：b在a 方向上投影可以写成a b a ?

（6）平面向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

①a⊥b?a?b = 0

② 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或a a a

③

a b a b

?≤

④cos θ =

a b

?，利用这一关系，可求两个向量的夹角。

（7）平面向量数量积的运算律 ①．交换律：a b b a ?=?

②．数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) ③．分配律：(a +b )?c = a ?c + b ?c

说明：①一般地，(a ·b )·c ≠a ·（b ·c ） ②a ·c ＝b ·c ，c ≠0

a ＝b

③有如下常用性质：2

a a =

（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d 知识点二：平面两向量数量积的坐标表示（1）已知两个非零向量

1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b 2121y y x x +=，即两个向量

的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示 ①设(,)a x y =，则

2222

,a x y a x y =+=+即.

②如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么

21212121(,),()()a x x y y a x x y y =--=-+-

（3）注

意

：

若

),(11y x 、

B ),(22y x ，则

21212121(,),()()AB x x y y AB x x y y =--=-+-,所以

的实质是A,B 的

两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。

（4）两个向量垂直的条件设

1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ⊥b ? 1212

0x x y y +=

（5）两向量夹角的余弦公式（6）设两个非零向量

1122(,),(,)a x y b x y ==，θ是a 与b 的夹角，则有

cos θ=

a b

1212

22221122x x y y x y x y +++ 学习结论

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.

（2）数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。

【典型例题】

1. 已知a 与b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求

a 与

b 的夹角.

2. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

3. 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?，求点B 和向量AB 的

坐标.

4. 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.

【同步练习】

1.已知平面向量)3,(),1,3(-==t b a , 且b a ⊥, 则=t （） A ．－1 B ．1 C ． 3 D ．－3

2．已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（）

A ．13

B ．513

C ．5

65 D ．65

3．给定两个向量a =(3,4), b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（）

A ．23

B ．223

C ．323

D ．4

4．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =?=?

（）

A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5．已知向量)1,(-=a a OA 的模为5，则实数a 的值是（）

A ．－１

B ．2

C ．－１或2

D ．１或－2

6．已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）

A ．)54,53(或)5

,54(

B ．)54,53(或)54,53(--

C ．)54,53(-或)5

3,54(- D ．)54,53(-或)5

4,53(-

7．已知(,2)a λ=，(3,5b =-)且,a b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）

A ．λ＞3

10 B ．λ≥310 C ．λ＜310 D ．λ≤3

8.在

中，若,,BC a CA b AB c ===，且a b a c b c ?=?=?，则

ABC 的形状是

（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．ABC 均不正确 9.若

为

所在平面内一点，且满足

，则

的

形状为（）

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．A 、B 、C 均不是 10.已知a 、b 都是非零向量，且a + 3 b 与7 a - 5 b 垂直，a - 4 b 与7 a - 2 b 垂直，则a 与b 的夹角为

（）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

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