文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 > 高中数学联赛

高中数学联赛

高中数学联赛

第一场:九月上旬,广东省内自行举办的“内战”。题目覆盖面是整个高中,并且比高考略有提高,介乎复赛的一试与二试之间。“内战”优胜者晋级下一轮。

第二场:十月中旬的第一个星期天。“内战”优胜者将要在此时参加两次考试。这两次考试属于“全国高中数学联赛”,将评选出省一等奖、二等奖和三等奖。考试形式如下:

一试:

内容为一张没有微积分和概率的比较难的高考试卷。考试时间为上午8:00-9:20,共80分钟。试题分填空题和解答题两部分,满分120分。其中填空题8道,每题8分;解答题3道,分别为16分、20分、20分。二试:

时间为9:40—12:10,内容覆盖面比较广,包含代数(一元n次方程、复数、韦达定理、函数)、几何(三角形、圆、圆锥曲线、立体、向量以及一些常见的特殊定理)、初等数论、集合、微积分(极值、面积、体积)、排列组合(直线型、环型、抽屉原理、容斥原理、图论)、不等式(调和-几何-算术-平方平均不等式、柯西不等式以及常见的不等式证明方法)、、统计和概率等等,着重于证明而不是实际计算,所以不允许带计算器。满分180分。

心态:个人认为,面对数学不应该以竞赛的心态,而是以感受数学之美的心态的面对。也许在高中阶段大家面对的都是枯燥的数学计算和证明,一点都感受到数学有什么美可言。但是在后续的共同交流中,我将企图让大家进一步领略数学之美,学会数学研究的思想和方法,学会创新,然后Fall in love with mathematics !

另外,请不要认为追求兴趣和高考应试是矛盾的。正如大家都看过的《三傻》中谈到:“追求卓越,成功会不经意地找上门来。”而《功夫熊猫2》中的胖熊猫也能够“用功夫打败能够毁灭功夫的武器”,为什么?太极哲理所在:以不变应万变!你的基础扎实了,“功力”深厚了,还用得着整天题海吗?而我也自信,这些东西无法从题海中获得。

同时,也只有以这样的心态,我们的数学探讨才能一直延续下去,甚至是竞赛过后也不会放弃。

废话说多了。大家自己看着办……总之,尽管发挥出你们在数学方面那敏锐的洞察力和敏捷的思维能力吧。

参考网址:

http://www.math15.com

http://www.aoshoo.com/bbs1/

http://www.matrix67.com/blog/

2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上. 1.方程2

log sin 2x x π+=在区间(0,

]2

π

上的实根个数为_________________.

2.设数列1

18()

3

n -??

?-???

?

的前n 项和为n S ,则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________. 3.已知n (n N ∈,2n ≥)是常数,且1x ,2x , ,n x 是区间0,

2π??

????

内任意实数,则函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++ 的最大值等于_________________.

4.圆周上给定10个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有_________________个交点.

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.

6.设O 是平面上一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足||||

AC AB

OP OA AC AB λλ-=+ ,其中[0,)λ∈+∞,则点P 的轨迹为_________________.

7.对给定的整数m ,符号()m ?表示{}1,2,3中使()m m ?+能被3整除的唯一值,那么

201020102010(21)(22)(23)???-+-+-=_________________.

8.分别以直角三角形的两条直角边a ,b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为a V ,

b V ,

c V ,则22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.

二、解答题:本大题共3小题,共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分16分)

是否存在实数a ,使直线1y ax =+和双曲线2

2

31x y -=相交于两点A 、B ,且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点?

2.(本小题满分20分)

求证:不存在这样的函数{}:1,2,3f Z →,满足对任意的整数x ,y ,若{}||2,3,5x y -∈

,则()()f x f y ≠.

3.(本小题满分20分)

设非负实数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求证:1

9(19)4

abc ab bc ca abc ≤++≤

+

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题(本题满分64分,每小题8分) 1. 函数x x x f 3245)(---=

的值域是 .

2. 已知函数x x a y sin )3cos (2

-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是

3. 双曲线12

2

=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)

的个数是

4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列,}{n b 是等比数列,其中3522113,,1,3b a b a b a ====,且存在常

数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ,则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a

x f x x

在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值

是 .

6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.

先投掷人的获胜概率是 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角α=--11B P A B ,则

=αsin .

8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(x ,y ,z )的个数是 . 二、解答题(本题满分56分)

9.(本小题满分16分)已知函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时,

1)(≤'x f ,试求a 的最大值.

10.(本小题满分20分)已知抛物线x y 62

=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ?面积的最大值.

11.(本小题满分20分)数列{}n a 满足),2,1(1

,31

2

211 =+-==+n a a a a a n n n n . 求证:

n n n a a a 22123

1

2131211-<+++<-- . (1)

2010年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、(本题满分40分)

高中数学联赛

如图,锐角三角形ABC 的外心为O ,K 是边BC 上一点(不是边BC 的中点),D 是线段AK 延长线上一点,直线BD 与AC 交于点N ,直线CD 与AB 交于点M .求证:若OK ⊥MN ,则A ,B ,D ,C 四点共圆. 二、(本题满分40分)

设m 和n 是大于1的整数,求证:

11111112(1)().1m m n m

m

m

k k j

j m m k j i n n C n C i m -+===??+++=+-??+??

∑∑∑

三、(本题满分50分)

设,,x y z 为非负实数, 求证:

22232222223()()()()()32

xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤.

四、(本题满分50分)

设k 是给定的正整数,12

r k =+

.记(1)()()f r f r r r ==????,()

()l f r = (1)(()),2l f f r l -≥.证明:存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里,x ????表示不小于实数x 的最小

整数,例如:112

??=????

,11=????.

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题:本大题共8小题,每小题7分,共56分.把答案填在横线上.

1.若函数(

)f x =

,且()()

[[()]]n n f

x f f f f x =

高中数学联赛

,则()(99)1f = . 2.已知直线L :90x y +-=和圆M :2

2

228810x y x y +---=,点A 在直线L 上,B 、C 为圆M 上两点,在△ABC 中,45BAC ∠=?,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围

为 .

3.在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为:02y y x y x ≥??

≤??≤-?

N 是随t 变化的区域,它由不等式1t x t ≤≤+所

确定,t 的取值范围是01t ≤≤,设M 和N 的公共面积是函数()f t ,则()f t = . 4.使不等式

1111200712213

a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 .

5.椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)上任意两点P ,Q ,若OP OQ ⊥,则乘积OP OQ ?的最小值

为 .

6.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .

7.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示).

8.某车站每天8∶00—9∶00,9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为

到站时刻 8∶10 9∶10

8∶30 9∶30

8∶50 9∶50

概率

16 12 13

一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).

二、解答题:本大题共3小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.(本小题满分14分)设直线l :y kx m =+(其中k ,m 为整数)与椭圆

22

11612

x y +=交于不同两点A ,B ,

与双曲线22

1412

x y -=交于不同两点C ,D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD += ,若存在,指出这

样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

2.(本小题满分15分)已知p ,q (0q ≠)是实数,方程2

0x px q -+=有两个实根α,β,数列{}n a 满

足1a p =,2

2a p q =-,12n n n a pa qa --=-(n =3,4,…). (I )求数列{}n a 的通项公式(用α,β表示); (II )若1p =,1

4

q =,求{}n a 的前n 项和.

3.(本小题满分15分)求函数y =

高中数学联赛

高中数学联赛

高中数学联赛

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)

(考试时间:10月11日上午9∶40—12∶10)

一、如图,M ,N 分别为锐角三角形△ABC (A B ∠<∠)的外接圆Γ上弧 BC

、 AC 的中点.过点C 作PC //MN 交圆Γ于P 点,I 为△ABC 的内心,连接PI 并延长交圆Γ于T .

(I )求证:当MP MT NP NT ?=?;

高中数学联赛

(II )在弧 AB (不含点C )上任取一点Q (Q A ≠,T ,B ),记△AQC ,△QCB 的内心分别为1I ,2I ,求证:Q ,1I ,2I ,T 四点共圆.

二、求证不等式:2

11

1ln 1

2n

k k n k =-<

-≤+∑,n =1,2,….

三、设k ,l 是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数m k ≥,使得k

m C 与l 互素.

四、在非负数构成39?数表

11121314151617181921

222324252627282931

32

33

34

35

36

37

38

39x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?? ?= ? ???

中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,1728390x x x ===,27x ,37x ,18x ,38x ,19x ,29x 均大于1.如果P 的前三列构成的数表

11

121321

222331

32

33x x x S x x x x x x ?? ?= ? ???

满足下面的性质(O ):对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ??

?

? ???

(k =1,2,…,9)均存在某个

i ∈{1,2,3}使得min ik i x u ≤={1i x ,2i x ,3i x }.

求证:

(I )最小值min i u ={1i x ,2i x ,3i x },i =1,2,3一定取自数表S 的不同列.

(II )存在数表P 中的唯一的一列1*2*3*k k k x x x ?? ?

? ???

,*k ≠1,2,3使得33?数表

11121*21

222*31

32

3*'k k k x x x S x x x x x x ?? ?= ? ???

仍然具有性质(O ),即对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ??

?

? ???

(k =1,2,…,9)均存在某个

i ∈{1,2,3}使得min ik i x u ≤={1i x ,2i x ,*ik x }.

2010年高中数学联赛四川赛区初赛试题

一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分) 1、已知条件p :342sin 1=

+α 和条件 q :3

4

cos sin =+αα.则p 是q 的( ). A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件

2、在5件产品中有4件正品、1件次品.从中任取2件,记其中含正品的个数个数为随机变量ξ,则ξ的数学期望ξE 是( ).

A 、

56 B 、57 C 、58 D 、5

9

3、设正三棱锥ABC S -的底面边长为3,侧棱长为2,则侧棱SA 与底面ABC 所成的角的大小是( )

A 、 30

B 、 45

C 、 60

D 、2arctan

4、已知函数4

24

)42()(2

4224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0,则非零实数k 的值是( ). A 、4- B 、2- C 、2 D 、4

5、长方体1111D C B A ABCD -的八个顶点都在球O 的球面上,其中11=AA ,22=AB ,33=AD ,则经过C B 、两点的球面距离是( ) A 、

32π B 、3

4π C 、π2 D 、π4 6、对任意实数m ,过函数1)(2

++=mx x x f 图象上的点))2(,2(f 的切线恒过一定点P ,则点P 的坐标为( )

A 、)3,0(

B 、 )3,0(-

C 、)0,23

( D 、)0,2

3(-

7、设A 1、A 2为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点,若在椭圆上存在异于A 1、A 2的

点P ,使得02=?PA PO ,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A 、)2

1

,

0( B 、 )22,

0( C 、)1,21( D 、)1,22( 8、记)0(,)33(

)(),(2

2

≠++-=y y

x y x y x F ,则),(y x F 的最小值是( )

A 、

512 B 、5

16 C 、518

D 、4

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)

1、)(x f 是定义在R 上的奇函数,且)1()(x f x f -=,则=)2010(f .

2、实数y x ,满足6|1|2|1|3≤-++y x ,则y x 32-的最大值是 .

3、在数列}{n a 中,11=a ,当2≥n 时,2

1,,-

n n n S S a 成等比数列,则=∞→n n a n 2

lim .

4、集合的容量是指集合中元素的和.则满足条件“}7,6,5,4,3,2,1{?A ,且若A a ∈时,必有A a ∈-8”的所有非空集合A 的容量的总和是 .(用具体数字作答)

三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分) 13、已知函数)4

3cos(32cos 4)4

sin(2)4

sin()(ππ

π

+

+--

++

=x x x x x f . (I )试判断函数)(x f 的奇偶性,并给出证明; (II )求)(x f 在],2

[ππ

上的最小值与最大值.

14、已知F 为抛物线x y 42

=的焦点, M 点的坐标为(4,0),过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点,延长AM 、BM 交抛物线于C 、D 两点,设直线CD 的斜率为2k . (I )求2

1

k k 的值;(II )求直线AB 与直线CD 夹角θ的取值范围.

15、已知函数1)(2

3+--=x mx x x f ,其中m 为实数 (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )若对一切的实数x ,有4

7

||)(-≥'x x f 成立,其中)(x f '为)(x f 的导函数.求实数m 的取值范围.

16、已知n S 是数列}{n a 的前n 项的和,对任意的正整数n ,都有n

n n ba S b 4)1(+-=-成立,其中0>b .

(I )求数列}{n a 的通项公式; (II )设n n n a c 4

=

)(*

∈N n ,若2||≤n c ,求实数b 的取值范围.

相关文档
  • 上海市高中数学

  • 高中数学知识拓展

  • 高中数学知识竞赛

  • 上海中学高中数学

相关推荐: