第3课时 圆周运动
考纲解读 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用;了解物体做离心运动的条件. 考点梳理
一、描述圆周运动的物理量
1.线速度:描述物体圆周运动快慢的物理量. v =Δs Δt =2πr T
.
2.角速度:描述物体绕圆心转动快慢的物理量. ω=ΔθΔt =2πT
.
3.周期和频率:描述物体绕圆心转动快慢的物理量. T =2πr v ,T =1f
.
4.向心加速度:描述速度方向变化快慢的物理量. a n =r ω2
=v 2r =ωv =4π2
T
2r .
5.向心力:作用效果产生向心加速度,F n =ma n . 6.相互关系:(1)v =ωr =2π
T r =2πrf .
(2)a =v 2
r =r ω2=ωv =4π
2
T 2r =4π2f 2r .
(3)F n =ma n =m v 2r =m ω2
r =mr 4π2T 2=mr 4π2f 2.
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1.匀速圆周运动
(1)定义:线速度大小不变的圆周运动 .
(2)性质:向心加速度大小不变,方向总是指向圆心的变加速曲线运动. (3)质点做匀速圆周运动的条件
合力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心. 2.非匀速圆周运动
(1)定义:线速度大小、方向均发生变化的圆周运动. (2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度,F t =ma t ,它只改变速度的方向. ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度,F n =ma n ,它只改变速度的大小. 三、离心运动
1.本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向.
2.受力特点(如图2所示)
(1)当F =mrω2时,物体做匀速圆周运动; (2)当F =0时,物体沿切线方向飞出;
(3)当F
图
2
5.[轻杆模型问题]如图3所示,长为r 的细杆一端固定一个质量为m 的小球,使之绕另一端O 在竖直面内做圆周运动,小球运动到最高点时的速度v =gr /2,在这点时
( )
A .小球对杆的拉力是mg
2
B .小球对杆的压力是mg
2
C .小球对杆的拉力是3
2mg D .小球对杆的压力是mg
答案 B
解析 设在最高点,小球受杆的支持力F N ,方向向上,则由牛顿第二定律得:mg -F N =m v 2r ,得出F N =1
2mg ,故
杆对小球的支持力为12mg ,由牛顿第三定律知,小球对杆的压力为1
2
mg ,B 正确.
6.[轻绳模型问题]如图4所示,半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置,小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动,对于半径R 不同的圆形轨道,小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力.下列说法中正确的是( ) A .半径R 越大,小球通过轨道最高点时的速度越大
B .半径R 越大,小球通过轨道最高点时的速度越小
C .半径R 越大,小球通过轨道最低点时的角速度越大
D .半径R 越大,小球通过轨道最低点时的角速度越小 答案 AD
解析 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力,则在最高点mg =m v 2
0R ,即v 0=gR ,选项A 正确而B
错误;由动能定理得,小球在最低点的速度为v =5gR ,则最低点时的角速度ω=v
R =
5g
R
,选项D 正确而C 错误. 方法提炼
1.轻绳模型:在最高点的临界状态为只受重力,即mg =m v 2
r ,则v =gr ,v 2.轻杆模型:由于杆和管能对小球产生向上的支持力,所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是:在最高点的速度v ≥0. 考点一 圆周运动中的运动学分析 1.对公式v =ωr 的理解 当r 一定时,v 与ω成正比. 当ω一定时,v 与r 成正比. 当v 一定时,ω与r 成反比. 2.对a =v 2 r =ω2r =ωv 的理解 在v 一定时,a 与r 成反比;在ω一定时,a 与r 成正比. 特别提醒 在讨论v 、ω、r 之间的关系时,应运用控制变量法. 例1 如图5所示是一个玩具陀螺,a 、b 和c 是陀螺表面上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定 旋转时,下列表述正确的是 ( ) A .a 、b 和c 三点的线速度大小相等 B .b 、c 两点的线速度始终相同 C .b 、c 两点的角速度比a 点的大 D .b 、c 两点的加速度比a 点的大 解析 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,a 、b 和c 三点的角速度相同,a 半径小,线速度要比b 、c 的小,A 、C 错;b 、c 两点的线速度大小始终相同,但方向不相同,B 错;由a =ω2 r 可得b 、c 两点的加速度比a 点的大,D 对. 答案 D 1.高中阶段所接触的传动主要有:(1)皮带传动(线速度大小 相等);(2)同轴传动(角速度相等);(3)齿轮传动(线速度大小相等); (4)摩擦传动(线速度大小相等). 2.传动装置的特点:(1)同轴传动:固定在一起共轴转动的物体上各点角 速度相同;(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动:皮带(或齿轮)传动和不打 滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等. 突破训练1 如图6所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r ,A 是它边缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮的半径为 4r ,小轮的半径为2r ,B 点在小轮上,到小轮中心的距离为r ,C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在转动过程中,皮带不打滑,则 ( ) A .A 点与 B 点的线速度大小相等 B .A 点与B 点的角速度大小相等 C .A 点与C 点的线速度大小相等 D .A 点与D 点的向心加速度大小相等 答案 CD 考点二 圆周运动中的动力学分析 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2.向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置. (2)分析物体的受力情况,找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力. 例2 在一次抗洪救灾工作中,一架直升机A 用长H =50 m 的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m =50 kg 的被困人员B ,直升机A 和被困人员B 以v 0=10 m /s 的速度一起沿水平方向匀速运动,如图7甲所示.某时刻开始收悬索将人吊起,在5 s 时间内,A 、B 之间的竖直距离以l =50-t 2(单位:m)的规律变化,取g =10 m/s 2. (1)求这段时间内悬索对被困人员B 的拉力大小; (2)求在5 s 末被困人员B 的速度大小及位移大小; (3)直升机在t =5 s 时停止收悬索,但发现仍然未脱离洪水围困区,为将被困 人员B 尽快运送到安全处,飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标,致使被困人员B 在空中做圆周 运动,如图乙所示.此时悬索与竖直方向成37°角,不计空气阻力,求被困人员B 做圆周运动的线速度以及悬 索对被困人员B 的拉力.(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8) 审题指导 解答本题时应注意以下两点: (1)根据A 、B 间距l 的表达式分析被困人员的运动规律; (2)确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力. 解析 (1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上被困人员的位移y =H -l =50-(50-t 2)=t 2,由此可知,被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a =2 m/s 2的匀加速直线运动 由牛顿第二定律可得F -mg =ma 解得悬索的拉力F =m (g +a )=600 N. (2)被困人员5 s 末在竖直方向上的速度为v y =at =10 m/s 合速度v =v 20+v 2y =10 2 m/s 竖直方向的位移y =1 2at 2=25 m 水平方向的位移x =v 0t =50 m 合位移s =x 2+y 2=25 5 m. (3)t =5 s 时悬索的长度 l ′=50-y =25 m ,旋转半径r =l ′sin 37° 由mg tan 37°=m v ′2r 解得v ′=15 2 2 m/s 此时被困人员B 的受力情况如图所示,由图可知 F T cos 37°=mg 解得F T =mg cos 37° =625 N. 答案 (1)600 N (2)10 2 m/s 25 5 m (3)152 2 m/s 625 N 解决圆周运动问题的主要步骤 1.审清题意,确定研究对象; 2.分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、 圆心、半径等; 3.分析物体的受力情况,画出受力示意图,确定向心力的来源; 4.根据牛顿运动定律及向心力公式列方程. 突破训练2 如图8所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R 和H ,筒内壁A 点的高度为筒高的一半,内壁上有一质量为m 的小物块,求: (1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小; (2)当物块在A 点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度. 答案 (1) mgH R 2+H 2 mgR R 2+H 2 (2)2gH R 解析 (1)物块静止时,对物块进行受力分析如图所示,设筒壁与水平面的夹角为θ. 由平衡条件有 F f =mg sin θ F N =mg cos θ 由图中几何关系有 cos θ=R R 2+H 2,sin θ=H R 2+H 2 故有F f = mgH R 2+H 2,F N =mgR R 2+H 2 (2)分析此时物块受力如图所示, 由牛顿第二定律有mg tan θ=mrω2 . 其中tan θ=H R ,r =R 2. 可得ω=2gH R . 20.用极限法分析圆周运动的临界问题 1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点. 2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态. 3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界状态. 例3 如图9所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l 的细线悬挂一质量为m 的小球.圆锥体固定在水平面上不动,其 轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30?.小球以速度v 绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动. (1)当v 1= gl 6 时,求线对小球的拉力; (2)当v 2= 3gl 2 时,求线对小球的拉力. 解析 如图甲所示,小球在锥面上运动,当支持力F N =0时,小球只受重力mg 和线的拉力F T 的作用,其合力F 应沿水平面指向轴线,由几何关系知 F =mg tan 30° ① 又F =m v 20r =m v 20 l sin 30° ② 由①②两式解得v 0= 3gl 6 (1)因为v 1 1l sin 30° ③ F T cos 30°+F N sin 30°-mg =0 ④ 由③④两式解得F T =(1+33)mg 6 ≈1.03mg (2)因为 v 2>v 0,所以小球与锥面脱离并不接触,设此时线与竖直方向的夹角为α,小球受力如图丙所示.则 F T sin α=m v 22 l sin α ⑤ F T cos α-mg =0 ⑥ 由⑤⑥两式解得F T =2mg 答案 (1)1.03mg (2)2mg 突破训练3 如图10所示,用细绳一端系着的质量为M =0.6 kg 的物体 A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质 量为m =0.3 kg 的小球B ,A 的重心到O 点的距离为0.2 m .若A 与转 盘间的最大静摩擦力为F f =2 N ,为使小球B 保持静止,求转盘绕中 心O 旋转的角速度ω的取值范围.(取g =10 m/s 2) 图10 答案 2.9 rad /s ≤ω≤6.5 rad/s 解析 要使B 静止,A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度.A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供.角速度取最大值时,A 有离心趋势,静摩擦力指向圆心O ;角速度取最小值时,A 有向心趋势,静摩擦力背离圆心O .设角速度ω的最大值为ω1,最小值为ω2 对于B :F T =mg 对于A :F T +F f =Mrω 21 或F T -F f =Mrω 2 2 代入数据解得ω1=6.5 rad /s ,ω2=2.9 rad/s 所以2.9 rad /s ≤ω≤6.5 rad/s. 21.竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题 1.在竖直平面内做圆周运动的物体,按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等),称为“绳(环)约束模型”,二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等),称为“杆(管道)约束模型”. 2.绳、杆模型涉及的临界问题 例4 如图11所示,竖直环A 半径为r ,固定在木板B 上,木板B 放在水平地面上,B 的左右两侧各有一挡板固定 在地上,B 不能左右运动,在环的最低点静放有一小球C ,A 、B 、C 的质量均为m .现给小球一水平向右的瞬时 速度v ,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力),瞬时速度必须满足 ( ) A .最小值4gr B .最大值6gr C .最小值5gr D .最大值7gr 解析 要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足mg =m v 2 r ,由最低点到最高点由机械能守恒得 12 m v 2min =mg ·2r +12 m v 2 0,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr ;为了不会使环在竖直方向上跳起,在最高点有最大速度时,球对环的压力为2mg ,满足3mg =m v 2 1r ,从最低点到最高点由机械能守恒得:12m v 2max =mg ·2r +12 m v 2 1,可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr .答案 CD 突破训练4 一轻杆一端固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,如 图12所示,则下列说法正确的是 ( ) A .小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零 B .小球过最高点的最小速度是gR C .小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D .小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A 解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力,所以在最高点杆所受弹力可以为零,A 对;在最高点弹力也可以与重力等大反向,小球最小速度为零,B 错;随着速度增大,杆对球的作用力可以增大也可以减小,C 、D 错. 高考题组 1.(2012·广东·17)图13是滑道压力测试的示意图,光滑圆弧轨道与光滑斜面相切,滑道底部B 处安装一个压力传感器,其示数N 表示该处所受压力的大小.某滑块从斜面上不同高度h 处由静止下滑,通过B 时,下列表述正确的有 ( ) A .N 小于滑块重力 B .N 大于滑块重力 C .N 越大表明h 越大 D .N 越大表明h 越小 答案 BC 解析 设滑块质量为m ,在B 点所受支持力为F N ,圆弧半径为R ,所需向心力为F .滑块从高度h 处由静止下滑至B 点过程中,由机械能守恒定律有12m v 2 B =mgh ,在B 点滑块所需向心力由合外力提供,得F N -mg =m v 2B R ,由牛 顿第三定律知,传感器示数N 等于F N ,解得N =mg +2mgh R ,由此式知N >mg 且h 越大,N 越大.选项B 、C 正 确. 2.(2011·安徽·17)一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.如图14甲所示,曲线上的A 点的曲率圆定义为:通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫做A 点的曲率圆,其半径ρ叫做A 点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出,如图乙所示.则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是 ( ) A.v 2 g B.v 20sin 2 αg C.v 20cos 2αg D.v 20cos 2αg sin α 解析 物体在最高点时速度沿水平方向,曲率圆的P 点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点,由牛顿 第二定律及圆周运动规律知:mg =m v 2ρ,解得ρ=v 2g =(v 0cos α)2g =v 20cos 2 α g .答案 C 3.(2012·福建理综·20)如图15所示,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R =0.5 m ,离水平地面的高度H =0.8 m ,物块平抛落地过程水平位移的大小s =0.4 m .设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g =10 m/s 2.求: (1)物块做平抛运动的初速度大小v 0; (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案 (1)1 m/s (2)0.2 解析 (1)物块做平抛运动,在竖直方向上有H =12gt 2 ① 在水平方向上有s =v 0t ② 由①②式解得v 0=s g 2H 代入数据得v 0=1 m/s (2)物块离开转台时,由最大静摩擦力提供向心力,有f m =m v 2 R ③ f m =μN =μmg ④ 由③④式得μ=v 20 gR 代入数据得μ=0.2 模拟题组 4.如图16所示,螺旋形光滑轨道竖直放置,P 、Q 为对应的轨道最高点,一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道,且能过轨道最高点P ,则下列说法中正确的是 ( ) A .轨道对小球不做功,小球通过P 点的角速度小于通过Q 点的角速度 B .轨道对小球做正功,小球通过P 点的线速度大于通过Q 点的线速度 C .小球通过P 点时的向心加速度大于通过Q 点时的向心加速度 D .小球通过P 点时对轨道的压力大于通过Q 点时对轨道的压力 答案 A 解析 由机械能守恒可知,P 点的速度小于Q 点的速度,即v P r ,由于v P