高中数学竞赛标准讲义：第八章：平面向量
第八章 平面向量
一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。
定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)，
1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)，
2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，
3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=2222212
12
121y x y x y y x x +?++(a, b ≠0),
4. a//b ?x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ?x1x2+y 1y 2=0.
定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λ
λ++=121OP OP 。由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=???
????++=++=λλλλλ 定义6 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F 上任意一点，平移到'F 上对应的点为)','('y x p ，则???+=+=k
y y h x x ''称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0，又
|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a ·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n )，b=(y 1, y 2, …, y n )，同
样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ
(x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a ·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：
≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ(x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2。
2）对于任意n 个向量，a 1, a 2, …,a n ，有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O 是正n 边形A 1A 2…A n 的中心，求证：.21OA OA OA n =+++Λ
【证明】 记n OA OA OA +++=Λ21，若≠，则将正n 边形绕中心O 旋转n π2后与原正n 边形重合，所以不变，这不可能，所以.=
例2 给定△ABC ，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是.=++
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D ，E ，F ，延长AD 至P ，使DP=GD ，则.2GP GD AG ==
又因为BC 与GP 互相平分，
所以BPCG 为平行四边形，所以BG //PC ，所以.= 所以.=++=++
充分性。若=++，延长AG 交BC 于D ，使GP=AG ，连结CP ，则.=因为=++，则=，所以GB //CP ，所以AG 平分BC 。
同理BG 平分CA 。
所以G 为重心。
例 3 在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2。
【证明】 如图所示，结结BQ ，QD 。 因为=+=+,， 所以2
222)()(+++=+ =BP PQ DP BP 22222+++·PQ DP PQ ?+2 =.2)(22222222PQ DP BP PQ DP BP PQ DP BP ++=?++++ ① 又因为,,,=+=+=+
同理 222222BQ QC QA BC BA ++=+， ② 2
22222QD QC QA DA CD ++=+， ③ 由①，②，③可得)(24222222QD BQ QA CD BC BA ++=++ 2222224)22(2PQ BD AC PQ BP AC ++=++=。得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC 外心为O ，垂心为H ，重心为G 。求证：O ，G ，H 为共线，且OG ：GH=1：2。
【证明】 首先32+
=+= =)2(3
1)(31OC OB AO OA AC AB OA +++=++
).(3
1OC OB OA ++= 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则连结CE 后得CE .BC ⊥
又AH ⊥BC ，所以AH//CE 。
又EA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以AHCE 为平行四边形。 所以,= 所以++=++=+=+=， 所以OH 3=， 所以与OH 共线，所以O ，G ，H 共线。
所以OG ：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a ⊥b.
【证明】|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2?a ·b=0?a ⊥b. 例6 已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为AB 中点，E 为△ACD 重心。求证：OE ⊥CD 。
【证明】 设c OC b OB a OA ===,,， 则)(2
1b a +=
， .61213
1)(2131b a c b a c a ++=??????+++= 又c b a -+=)(2
1， 所以??
? ??-+???? ??++=?c b a b c a 2121613121 c a b a c b a ?-?+-+=3
1313112141222 31=a ·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因为AB=AC ，OB=OC ，所以OA 为BC 的中垂线。
所以a ·(b-c)=0. 所以OE ⊥CD 。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF=AE 。
【证明】 如图所示，以CD 所在的直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A ，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E 点的坐标为（x, y ），则=(x, y-1), )1,1(-=AC ，因为//，所以-x-(y-1)=0. 又因为||||AC CE =，所以x 2+y 2=2. 由①，②解得.2
31,231-=+=
y x 所以.324||,231,2332+=???? ??--+=AE AE 设)1,'(x F ，则)1,'(x =。由和共线得
.02
31'231=+--x 所以)32('+-=x ，即F )1,32(--，
所以2||AF =4+2||32AE =，所以AF=AE 。
三、基础训练题
1．以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|，且a//b ；②(a ·b)·c=(a ·c)·b ；③若a ·b=a ·c ，则b=c ；④若a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件是x=m, y=n ；⑤若b a ==,，且a, b 共线，则A ，B ，C ，D 共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3,
4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式中：①++；②+2；③ +；④-2与，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0，则|x|+|y|=__________.
4．设s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a 和b 的夹角为__________.
5．已知a, b 不共线，=a+kb, =la+b ，则“kl-1=0”是“M ，N ，P 共线”的__________条件.
6．在△ABC 中，M 是AC 中点，N 是AB 的三等分点，且NA BN 2=，BM 与CN 交于D ，若BM BD λ=，则λ=__________.
7．已知,不共线，点C 分AB 所成的比为2，μλ+=，则=-μλ__________.
8．已知a ,==b, a ·b=|a-b|=2，当△AOB 面积最大时，a 与b 的夹角为__________.
9．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后得到y=2x 2的图象，c=(1, -1), 若b a ⊥，c ·b=4，则b 的坐标为__________.
10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4
π得到向量b ，则b 的坐标为__________. 11．在Rt △BAC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，试问与BC 的夹角θ取何值时CQ BP ?的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD 中，d c b a ====,,,，如果a ·b=b ·c=c ·d=d ·a ，试判断四边形ABCD 的形状。
四、高考水平训练题
1．点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是此平面上不共线的三个点，动点P 满足
[).,0,+∞∈?
???++=λλ 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b<0，则△ABC 的形状是__________.
3．非零向量b a ==,，若点B 关于所在直线对称的点为B 1，则1OB =__________.
4．若O 为△ABC 的内心，且=-+?-)2()(，则△ABC 的形状为__________.
5．设O 点在△ABC 内部，且=++32，则△AOB 与△AOC 的面积比为__________.
6．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的__________心.
7．已知]),0[)(cos 1,sin 1(),sin ,(cos πθθθθθ∈++==，则||的取值范围是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.
9．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+?的最小值为__________.
10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R }，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R },mj M I N=__________.
11．设G 为△ABO 的重心，过G 的直线与边OA 和OB 分别交于P 和Q ，已知OB y OQ OA x OP ==,，△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 和T ，
（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求S
T 的取值范围。 12．已知两点M （-1，0），N （1，0），有一点P 使得???,,成公差小于零的等差数列。
（1）试问点P 的轨迹是什么？（2）若点P 坐标为(x 0, y 0), θ为PM 与的夹角，求tan θ.
五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系内，O 为原点，点A ，B 坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q 满足111=+q
p 时，若点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且OB q OD OA p OC ==,，则直线CD 恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.
2．p 为△ABC 内心，角A ，B ，C 所对边长分别为a, b, c. O 为平面内任意一点，.,,z y x ===则=___________（用a, b, c, x, y, z 表示）.
3．已知平面上三个向量a, b, c 均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k ∈R )，则k 的取值范围是___________.
4．平面内四点A ，B ，C ，D 满足9||,11||,7||,3||====，则BD AC ?的取值有___________个.
5．已知A 1A 2A 3A 4A 5是半径为r 的⊙O 内接正五边形，P 为⊙O 上任意一点，则2524232221||||||||||PA PA PA PA PA ++++取值的集合是___________.
6．O 为△ABC 所在平面内一点，A ，B ，C 为△ABC 的角，若sinA ·+sinB ·+sinC ·=，则点O 为△ABC 的___________心.
7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)⊥(a-b)”的___________条件.
8．在△ABC 中，b CA c BC a AB ===,,，又(c ·b)：(b ·a)：(a ·c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.
9．已知P 为△ABC 内一点，且=++32，CP 交AB 于D ，求证：.=
10．已知△ABC 的垂心为H ，△HBC ，△HCA ，△HAB 的外心分别为O 1，O 2，O 3，令
p HO c b a ====1,,,，求证：
（1）2p=b+c-a ；（2）H 为△O 1O 2O 3的外心。 11．设坐标平面上全部向量的集合为V ，a=(a 1, a 2)为V 中的一个单位向量，已知从V 到'V 的变换T ，由T(x)=-x+2(x ·a)a(x ∈V)确定，
（1）对于V 的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x ·y ；
（2）对于V 的任意向量x ，计算T[T(x)]-x ；
（3）设u=(1, 0)；)1,0(=，若u T =)(，求a.
六、联赛二试水平训练题
1．已知A ，B 为两条定直线AX ，BY 上的定点，P 和R 为射线AX 上两点，Q 和S 为射线BY 上的两点，BC AR BQ AP =为定比，M ，N ，T 分别为线段AB ，PQ ，RS 上的点，TS RT NQ PN MB AM ==为另一定比，试问M ，N ，T 三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC ，CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点M ，N 分别内分AC ，CE ，使得AM ：AC=CN ：CE=r ，如果B ，M ，N 三点共线，求r.
3．在矩形ABCD 的外接圆的弧AB 上取一个不同于顶点A ，B 的点M ，点P ，Q ，R ，S 是M 分别在直线AD ，AB ，BC ，CD 上的射影，求证：直线PQ 与RS 互相垂直。
4．在△ABC 内，设D 及E 是BC 的三等分点，D 在B 和F 之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，又设H 是线段EG 和DF 的交点，求比值EH ：HG 。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O 在凸多边形A 1A 2…A n 内，考虑所有的∠A i OA j ，这里的i, j 为1至n 中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC 中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ，求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ，（2）OH ⊥MN 。
8．平面上两个正三角形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，字母排列顺序一致，过平面上一点O 作212121,,C C B B A A ===，求证△ABC 为正三角形。
9．在平面上给出和为O 的向量a, b, c, d ，任何两个不共线，求证：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学竞赛_函数【讲义】
1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)
高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)
高中数学竞赛讲义_复数
1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高中数学平面向量公式(精选课件)
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 高中文科数学平面向量知识点整理 1、概念 向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0 向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y =+==+。） 零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4） 若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． b a C B A a b C C -=A -AB =B 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，高中数学竞赛讲义-抽屉原理
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