2011届高三数学一轮巩固与练习：数列
巩固
1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1
k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }
解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1
n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1
k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C.
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n
2a n ＋3，则a 5＝( )
A ．108 B.1
108 C ．161 D.1
161
解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝
a 3
2a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161
.
3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1
n )，则a n ＝( )
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1
n )， 从而有a n ＝a n －1＋ln n
n －1
a n －1＝a n －2＋ln n －1
n －2
? ? a 2＝a 1＋ln2
累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2)
1)
＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A.
4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)．
答案：n (n －1)
5．数列53，108，17
a ＋
b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是
________．
解析：从上面的规律可以看出?????
a ＋
b ＝15
a －
b ＝26
，
解上式得?????
a ＝412
b ＝－11
2.
答案：(412，－11
2)
6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)．
解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32， 归纳通项公式为a n ＝(n －1)2.
(2)由条件得a 1＝3，a 2＝3a 1＝3， a 3＝3a 2＝33，a 4＝3a 3＝34， 归纳通项公式为a n ＝3n .
练习
1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( ) A ．第18项 B ．第19项 C ．第17项 D ．第20项 解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4， 即a n 2－a n －12＝4，
∴a n 2＝3＋(n －1)×4＝4n －1， 令4n －1＝75，则n ＝19.故选B.
2．已知数列的通项a n ＝?????
3n ＋1 (n 为奇数)
2n －1 (n 为偶数)
，则a 2009－a 2010
等于( )
A ．2007
B ．2008
C ．2009
D ．2010 解析：选C.a 2009＝3×2009＋1＝6028； a 2010＝2×2010－1＝4019.
故a 2009－a 2010＝6028－4019＝2009.故应选C. 3．下面有四个命题：
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n
n ＋1；
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列． 其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2； ②错误，a n ＝n ＋1
n ＋2；
③正确；
④两数列是不同的有序数列．故应选A.
4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3
a 5
的值是( )
A.1516
B.158
C.34
D.38 解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，
∴a 3＝12， ∴12a 4＝1
2＋(－1)4， ∴a 4＝3，
∴3a 5＝3＋(－1)5
，∴a 5＝2
3，
∴a 3a 5
＝12×32＝34.
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：选B.a n ＝?????
S 1 (n ＝1)，
S n －S n －1 (n ≥2)，
＝?????
－8 (n ＝1)，－10＋2n (n ≥2).
∵n ＝1时适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10. ∵5 2 6．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1 a n －2 (n ≥3且n ∈N *)，则 a 17＝( ) A ．1 B ．2 C.1 2 D ．2－987 解析：选 C.由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝1 2，a 6 ＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝1 2，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝1 2. 7.已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c (a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与 a n ＋1的大小关系是________． 解析：∵a n ＝na nb ＋c ＝a b ＋c n ，c n 是减函数， ∴a n ＝a b ＋ c n 是增函数，∴a n 答案：a n 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1) 2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝________. 解析：法一：由S 4＝S 3＋a 4， 得a 1(34－1)2＝a 1(33－1)2＋54， 即a 1(34－33)2＝54，解得a 1＝2. 法二：由S n －S n －1＝a n (n ≥2)可得 a n ＝a 1(3n －1)2－a 1(3n －1－1)2＝a 1(3n －3n －1)2＝a 1·3n －1， ∴a 4＝a 1·33， ∴a 1＝5427＝2. 答案：2 9．已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝5n 2，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝512＝5； 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝5n 25(n －1)2＝52n －1 (n ∈N *)． 当n ＝1时，也适合上式， 所以当n ∈N *时，a n ＝52n －1. 答案：a n ＝52n －1(n ∈N *) 10．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＝38＋12a 2 n －1，其中n ≥2，n ∈N ＋，求证：对一切正整数n 都有a n 证明：a n ＋1－a n ＝38＋12a n 2 －a n ＝12(a n －1)2 －18，