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福建莆田一中2021届高三数学上学期期末理试卷

莆田一中2020-2021学年上学期期末试卷高三数学（理科）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案）

1. 函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）

2. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。已知a 2a 4=1, 37S =, 则5S =( ) （A ）152 (B)314 (C)334 (D)17

3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2

16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,

则AM ∣∣=( )

（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1

4. 设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为( )

(A) 21- (B)

或21-

5. E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（） (A)

1627 (B)23 (C) 33 (D) 3

6.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表

广告费用x （万

元） 4 2 3 5 销售额y （万元）

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A ．63．5万元

B ．64．5万元

C ．67．5万元

D ．71．5万元

7．在ABC ?中，下列说法不正确的是（） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件 (B) cos cos A B >是A B <的充要条件

8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．

成等差数列的概率为（）Ａ．1

Ｂ．

112

Ｃ．

115

Ｄ．

118

9. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( ) (A)

32 (B)6

10. 直线：y=

x +与圆心为D 的圆：22(3)(1)3x y -+-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )

(A) 7

6π (B) 54π (C) 43π (D) 53

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请把答案填在答题纸的相应

位置）

11．若{(41)2(1)log (2)(1)

()a a x a x x x f x --≥-<=为R 上的增函数，则a 的取值范围是。

12.抛物线22y px =的焦点为F ，一直线交抛物线于A,B 且3AF FB =，则该直线的倾斜角为。

13．某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为。

14．若()3ln a f x ax x x

=+-在区间[]1,2上为单调函数，

则a 的取值范围是。

15．如图在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP aOA bOB =+（a 、R b ∈）

，则a 、b 满足的一个等式是______________________。

三．解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤。） 16 .(本题满分13分)

设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π??

=-+- ??

满足()3

f π

-(0)f =， A B

O y

（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在11424ππ??

????

上的最大值和最小值 17．（本题满分13分）

抛物线C ：y=a 2x 的准线为y=1

-，PM,PN 切抛物线于M,N 且与X 轴交于A,B,AB =1.

(1)求a 的值；(2)求P 点的轨迹。

18．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长

为2的菱形，且060DAB ∠=, ,E F 分别是,BC PC 的中点， FD ⊥面ABCD 且FD=1，（1）证明：PA=PD; （2）证明：AD ⊥PB;

（3）求AP 与面DEF 所成角的正弦值；（4）求二面角P AD B --的余弦值。

19. （本小题满分13分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．

的通道，直至走完迷宫为止。令ξ表示

走出迷宫所需的时间。（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。

20．（本题满分14分）

设集合Ｗ是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①2

n n n a a a +++≤，

②n a M ≤.其中n N *∈，M 是与n 无关的常数.

（1）设数列{n b }的通项为52n n b n =-，证明:{}n b W ∈；

（2）若{n a }是等差数列，n S 是其前n 项的和，42a =，420S =，证明：{}n S W ∈并

求M 的取值范围

21.（本题满分14分）已知函数f(x)=1x

（1）若1()(1)()e

f a e f x dx ?-=?，求a 的值；

（2）1t >,是否存在[]1,a t ∈使得1()(1)()t

f a t f x dx ?-=?成立？并给予证明；

（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义。

莆田一中2020-2021学年高三期末考

理科数学答题卷

祝你成功

一、选择题（10*5=50分）

二、填空题（4*5=20分）

三解答题（共80分）

请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效

16．（本小题满分13分）

11 ; 12. 13. ________ ; 14. 15．

学校班级姓名考号

请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效18. （本小题满分13分）

请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效19．（本小题满分13分）

请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效20．（本小题满分14分）

莆田一中2020-2021学年高三上期末考数学(理科)答案

一、选择题

二、填空题:

11．1

,12??????

12.3π或23π 13.223 14．2a ≤ 15.221

2a b += 三、解答题：（13+13+13+13+14+14=80） 16．（本小题满分13分）解：（1）

1()sin 2cos 22f x a x x =

-，()(0)3

f f π

-=……..2分 ∴31

142

a -

+=-，23a ∴= ……….4分 ()3sin 2cos 22sin(2)6

f x x x x π

∴=-=- ………6分

（2）当11,

424x ππ??∈????时，∴32,634x πππ

-∈????

………7分 ∴当26

2x π

即3

x π

=时()f x 取得最大值2； ………10分

∴当3264x ππ-=即1124

x π

=时()f x 取得最小值2。

∴()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2。 ………13分

17．（本小题满分13分）

解：（1）由已知：

122p p =∴=∴ ………2分抛物线为22x y =即211

y x a =∴= ………5分

（2）设22

112211(,),(,),(,)22

M x x N x x P x y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

'11,,2

PM y x y x k x =

∴=∴= 直线PM ：21111()2y x x x x -=-即2111

2y x x x =-

令0y =得112x x =即11

(,0)2

A x

同理PN:22212y x x x =-,21

(,0)2B x ………9分

由2

1122212

12y x x x y x x x =-=-???得12122

x x x x x

y +==???212121211

11()4422

AB x x x x x =∴

-=∴+-= 2(2)84x y ∴-=即211

22y x =

- ………12分 ∴P 的轨迹方程为211

y x =-是一条抛物线 ………13分

18．（本小题满分13分） ∴ 解：

ABCD 是菱形且060DAB ∠=，E 为BC 中点，

AD DE ∴⊥且3DE =,又DF ⊥面ABCD,,,DA DE DF ∴两两垂直,

以D 为原点建立如图直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),

(1,3,0),(1,3,0)B C -,F(0,0,1);

F 为PC 中点,(1,3,2)P ∴-

（1）222222(12)(3)222,1(3)222PA PD ∴=-+-+==+-+= 即PA=PD

(2)(2,0,0),(0,23,2)0DA BP DA BP ==-∴?=即AD BP ⊥ （3）设AP 与面DEF 所成的角为θ，DA ⊥面DEF,

∴面DEF 的法向量(2,0,0)n =，又(1,3,2)AP =--,

sin cos ,4222

AP n θ-∴=<>=

=? ∴AP 与面DEF 所成角的正弦值为

；（4）DF ⊥面ABCD, ∴面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =,

设PAD 面的法向量2(,,)n x y z =，则{22

00DA n AP n ?=?= ，{20

320

x x y z =--+= ， 0

x z y ==?????，取2y =则3z =2

(0,2,3)n ∴=，12321cos ,717n n <>==? 二面角P-AD-B 为钝角，∴二面角P-AD-B 的余弦值为21

19．（本小题满分13分）

解：由已知：ξ可以取的值有1,3,4,6。 ………2分

∴1(1)3p ξ==

，111(3)326p ξ==?=，111(4)326p ξ==?= 11111

(6)32323

p ξ==?+?= ………8分

∴ξ的分布列为：

ξ 1

………10分

∴ξ的数学期望11117

134636632

E ξ=?+?+?+?=（小时）。 (13)

分

20．（本小题满分14分）

证明：（1）212525(2)25

5(1)2224

n n n n n b b n n n ++++-++-==+-? 又1

121155(1)22242

n n n n n n n b b b n b +++++++=+-?>∴≤ ………3分 115(1)25252n n n n n b b n n ++-=+--+=-

∴当2n ≤时1n n b b +>，当3n ≥时1n n b b +<，

∴当3n =时，{}n b 取得最大值7∴7n b ≤，由已知{}n b W ∈………6分

（2）由已知：设14411(1)2,2034,4620n a a n d a s a d a d =+-==∴+=+= 得18,2a d ∴==-，102n a n ∴=-，2(1)

8(2)92

n n n s n n n +=+

?-=-+………8分 ∴

22229(1)9(2)

7722

n n s s n n n n n n ++-+-+++==-++ 又221(1)9(1)78n s n n n n +=-+++=-++，2

n n n s s s +++∴

≤ ………10分 229819()24

n s n n n =-+=--+

又n N +∈，∴当n =4或5时{}n s 取得最大值20∴20n s ≤………13分

∴{}n s W ∈且20M ≥

∴M 的取值范围为20M ≥ ………14分

21．（本小题满分14分）解：（1）1()(1)()e

f a e f x dx ?-=?

1111(1)ln 11e e

e dx x a e a x

∴?-===∴=-? ………3分（2）1111()ln ln t t t

f x dx dx x t x

===??

设1(1)ln t t a ?-=1ln t a t

-∴= ………5分下面证明[]1,a t ∈：

11ln 11ln ln t t t

a t t

----=

设()1ln (1)g t t t t =-->则'1

()10(1)t g t t t

-=-=

>> ∴()g t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时()(1)0g t g >=

又1t >时ln 0t >，10a ∴->即1a > ………8分

11ln ln ln t t t t

a t t t t

----=

-= 设()1ln (1)h t t t t t =-->则'1

()1(1ln )ln 0(1)h t t t t t t

=-?+?=-<>

∴()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时()(1)0h t h <=

又1t >时ln 0t >，0a t ∴-<即a t <[]1,a t ∴∈

综上：当1t >时，存在[]1,a t ∈使得1()(1)()t

f a t f x dx ?-=?成立。…11分

（3）连续函数()f x 在闭区间[],a b 上的定积分等于该区间上某个点0x 的函数值

0()f x 与该区间长度的积，即0()()()b a

f x dx f x b a =?-?其中[]0,x a b ∈

（酌情给分）………14分