二次函数配方问题

如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2

()y a x h k

=-+（顶点

式）

2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ?

?

?，其中2

424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a

b a

c a

b 44,

22

--

） （h, k ）

（1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y

（4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y

（7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7

关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c

ax

y +=图像判断

1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )

2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2

+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( )

1

x

A

y O 1

x B

y

O 1

x

C

y

O 1

x

D

y

O x

A

y O x

B

y O x

C

y O x

D

y O

二次函数平移 一、本节学习指导

平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。

二、知识要点

1、 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2

2、平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二：

⑴ 2

y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2

y ax bx c =++ 变成

2

y ax bx c m =+++（或2

y ax bx c m =++- ）

⑵2

y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2

y a x b x c =++变

成2

()

()y a x m b x m c =++++（或2

()()y a x m b x m c =-+-+）

3、二次函数2

()y a x h k =-+与2

y ax bx c =++ 的比较

从解析式上看，2()y a x h k =-+与2

y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即2

2

424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?，其中2

424b ac b h k a a -=-=，。

注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。这个函数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2b h a

=-

：

例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） 分析：题目中明确给出是下平移一个单位，所以x 是不变的，向下平移函数值y 减小1个单位，所以平移后是y=x 2

-1，也可以直接用口诀“上加下减”来解答此题。

例2：将二次函数y=x 2的图象平移后，可得到二次函数y=（x+1）2的图象，平移的方法是（ ） 分析：我们观察y=x 2 ，y=（x+1）2， 得到，两个函数的自变量不一样，所以是横向平移，根据口诀“左加右减”可以得出是想左平移1个单位。

三、经验之谈：

二次函数的几种常见形式我们都要清楚，特别是“顶点式”，其优点是直接可以读出顶点坐标和对称轴。一般情况下，我们为了快速获得顶点信息，常常把二次函数的标准式通过配方得到顶点式。

对于平移部分我们要多做练习题，平移的类型共三种：函数值变时纵向平移，自变量变时横向平移，两则都变化时斜着平移。第三种平移较难，我们要分步进行，先横向平移，后纵向平移，或者先纵向平移，后横向平移，得到最终平移结果。 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）

A. 直线3-=x

B. 直线3=x

C. 直线2-=x

D. 直线2=x

2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点)

,

(a c b M 在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，

则一定有（ ） A. 042>-ac b

B. 042=-ac b

C. 042<-ac b

D. ac b 42-≤0

4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c

D. 9-=b ，21=c

5. 已知反比例函数x

k y =的图象如右图所示，则二次函数

O

x

y

O

x

y

2

2

2k x kx y +-=的图象大致为（ ）

O

x

y

A O

x

y

B

O

x

y

C O

x

y

D

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数

c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（

）

O

x

y A O

x

y B

O

x

y

C O

x

y

D

7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）

A. 2-=x

B. 2=x

C. 1-=x

D. 1=x

8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）

A. 2-

B. 2

C. 1-

D. 1

9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若

c

b a M ++=24c

b a N +-=，b a P -=4，则

（ ） A. 0

>M ，0>N

，0

>P

B. 0N ，0>P

C. 0>M ，0P

D.

0N

，0

二、填空题：

10. 将二次函数322+-=x x y 配方成

k

h x y +-=2

)(的形式，则y =______________________.

11. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根

的情况是______________________.

12. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________.

2 1 -1 O x

y