第二十一章 曲线积分与曲面积分
第二十一章 曲线积分与曲面积分
§1第一型线面积分 例1 求
?++L
ds zx yz xy )(，其中L 是球面2222
a z y x
=++与平面0=++z y x 的交线。
解法1
?++L
ds zx yz xy )(?++=
L
ds zx yz xy )(221
?++-++=
L
ds z y x z y x )]()[(21
2222 ?++-=L ds z y x )(212
22?-=-=L
a ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程。由2222
a z y x
=++，0=++z y x 消去y ，得
2222)(a z z x x =+++
即 )23
1(2)2(2222z a
a z x -=
+ 令t a z
sin 3
2
=
，则 )23
1(22222z a a z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±
= t a t a z x y sin 6cos 2)(-
=+-=
于是得到两组参数方程
t a t a x sin
6
cos 2
-
=
t a t a x sin 6
cos 2
-
-
=
t a t a y sin 6
cos 2
-
-
= t a
t a
y sin 6
cos 2
-
=
t a z sin 32=
t a z sin 3
2= 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则
?++L
ds zx yz xy )(?=L
zxds 3
?=π
202
sin 3t a
dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-
?=π
20
3
sin 3t a
dt t t )sin 3
1(cos -
3
20
23
sin a dt t a
ππ
-=-=? 解法 3 作坐标旋转。就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为
θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=
因为平面0=++z y x 的单位法矢为
}1,1,1{3
1
=n ，则它与z 轴的夹角余弦为
3
1cos =
φ。下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转
4
π，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平
面旋转φ，得新坐标系Ouvw 。即
Oxyz vz u O ' Ouvw 由旋转公式得
)(21v u x -'=
φφsin cos u w z -=
)(21v u y +'= φφcos sin u w u +=' 于是得
)s i n c o s (21φφw v u x +-=
)sin cos (2
1φφw v u y ++=
φφsin cos u w z -= 在这组变换下，曲线L ：2222
a z y x
=++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，
故
?++L
ds zx yz xy )(?=L
xyds 3?+-=
L
ds v u v u )cos )(cos (23
φφ ?-=
L ds v u )cos (232
22φds v u L
)3(2122-=?
ds v v u L ]4)([21
222-+=?320
233sin 2a tdt a a πππ
-=-=? 注1 三种解法各具特点：
解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法2常规的方法，即
写出参数方程 套公式 计算定积分
这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。
解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。
Oxyz 坐标系下的线积分 O u v w 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分
在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。
§2 第二型线面积分 例1 计算曲线积分
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222，
（1）L 是球面三角形1222
=++z y x
，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，
L 的方向为逆时针方向；
（2）L 是球面2222
a z y x
=++和柱面)0(22>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部
分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向。
解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段
1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ）
3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）
则
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
?-+-+-=1
)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y
?-=1
223L dy x dx y 4)1(3)1(31
2012-=---=??dy y dx x
或
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
?-=L
dx z y )(322???-++=3
1
2
))((322L L L dx z y
??-+=1
3
2
2
33L L dx z dx y 4)1(3)1(31
20
12
-=---=??dx x dx x
注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于
第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍。 第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。
问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222?-=1
)(922L dx z y
（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反
?-L
dx z y
)(22
?≥-=
,22
)(y L dx z y
?≤=-+
,22
0)(y L dx z y
同理 ?-L
dz y x )(22?
≥-=0
,2
2)(y L dz y x 0)(0
,2
2=-=?
≤y L dz y x 故
?-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222?-=L
dy x z )(22
下面求曲线L 的参数方程。 方法1 利用球面的参数方程
φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，
代入柱面方程ax y x
=+22
得θφcos sin =，于是得L 的参数方程
θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从
2
π
到2
π
-
方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=
，θsin 2
a
y =，代入球面方程 2222a z y x =++，得L 的参数方程
θcos 22a a x +=
， θsin 2a y =， |2
sin |θ
a z =， θ从π2到0 不妨取方法1中的参数方程进行计算，
?-=L
dy x z I )(2
2?
---=
2
/2
/2
2422)sin (cos ]cos [sin ππθθθθθd a a ?---=0
2/2423)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a
?--+--=2
/0
6
423
)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a
332
]224635222434321[2a a π
π=?????-??-+--=
注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分，曲线关于Ozx 平面对
称，且方向相反，而被积函数关于y 是偶函数（不是奇函数），则
?-L
dx z y )(2
2?
≥-=0
,2
2)(y L dx z y ?
≤=-+0
,2
20)(y L dx z y 上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的。