§1.5 函数的图像(2)
§1.5 函数)sin(?ω+=x A y 的图像（2）
【学习目标】
1.理解振幅、周期、频率、相位和初相与A, ω,φ的关系。
2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.
一、【知识整理】
画)sin(?ω+=x A y 的常用的两种方法
（1）用“五点法”作图：通过变量代换，设?ω+=x z ，由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ,通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图像。
（2）用“变换法”作图
方法一（先平移后伸缩）：函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图象可以看作是先把y = sinx 的图象上所有的点向 平移 个单位长度（平移变换），得到函数 的图象；然后图象上所有点的纵坐标 横坐标变为原来的 倍（周期变换），得到函数 的图象，最后把图象上所有点的横坐标 纵坐标变为原来的 倍（振幅变换）， 这时就得到函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图象。
方法二（先伸缩后平移）：函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图象可以看作是先把y = sinx
的图象上所有点的纵坐标 横坐标变为原来的 倍（周期变换），得到函数 的图象；然后再将图象上所有点向 平移 个单位长度（平移变换），得到函数 的图象；然后将图象上所有点的横坐标 纵坐标变为原来的 倍（振幅变换）， 这时就得到函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图象。
二、【新课导学】
情境设置：简谐运动中单摆对平衡位置的位移y 随时间x 的变化关系为函数Asin()[0,)(0,0)y x x A ω?ω=+∈+∞>>，其中，物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率、相位、初相，你知道它们与A, ω,φ的关系吗？
新知：A 就是这个简谐运动的 ，它是做简谐运动物体离开 的 ；
这个简谐运动的 是T= ,这是做简谐运动物体往返运动一次所需的时间；这个简 谐运动的 由公式f = = 给出，它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的 次数；:?ω+x 称为 .0x =时的相位?称为
三、【典型例题】
例1：图示是某简谐运动的图象，
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2) 从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？
(3) 求这个简谐运动的函数表达式.
例2：右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2
)的图象，确定A 、ω、φ的值，并写出函数解析式．
例3、若函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02A π
ω?>><<）的图象与
x 轴的交点中相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23π??- ???
（1）求这个函数的解析式 （2）当,122x ππ??∈?
??
?时求()f x 的值域。
x/s y/cm
O A B
C D E F 2-
0.4 0.8 1.2
四、当堂检测：
1、函数)3
3sin(51π-=x y 的定义域是 ； 最小值是 ，相应x 集合为 ； 单调递减区间是 ；图象对称轴方程： k ∈Z ； 对称中心： k ∈Z ；周期 ；振幅 ；频率 ；相位 ；初相 .
2.已知函数）
＋?ωx sin(y A =，在一个周期内，当x 12π=时，取得最大值2，当7x 12
π=时 取得最小值-2，那么（ ）. A. 1y sin(x )23π=
+ B. y 2sin(2x )3
π=+ C. y 2sin(2x )6π=+ D. x y 2sin()26π=+ 3、.已知函数)x Asin(y ?ω+=（A>0，ω>0，0<π?<）的两个邻近的最值点为（26
，π）和（23
2-，π），则这个函数的解析式为____________________.
4：已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋?)(｜?｜＜
2π)的图象，那么( )
A.ω＝1110，?＝6π
B.ω＝1110，?＝－6
π C.ω＝2，?＝
6π D.ω＝2，?＝－6
π 5、已知函数y ＝A sin(ωx ＋?)(A ＞0，ω＞0，0＜?＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
课时分层作业25 指数函数的概念、图象和性质
课时分层作业(二十五)指数函数的概念、 图象和性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，则a的值是() A．4B．1或3 C．3 D．1 C[由题意得 ?? ? ??a>0， a≠1， a2－4a＋4＝1， 解得a＝3，故选C.] 2．函数y＝? ? ? ? ?1 2 x (x≥8)的值域是() A．R B.? ? ? ? ? 0， 1 256 C.? ? ? ? ? －∞， 1 256D．?? ? ? ? ? 1 256，＋∞ B[因为y＝? ? ? ? ?1 2 x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0< ? ? ? ? ?1 2 x ≤ ? ? ? ? ?1 2 8 ＝1 256.] 3．函数y＝2x－1的定义域是() A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) C[由2x－1≥0得2x≥1，即x≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C.] 4．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点() A．(0,1) B．(0，－1) C．(－1,0) D．(1,0) C[∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．]
5．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( ) A B C D A [当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.] 二、填空题 6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． [1，＋∞) [由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋ ∞)．] 7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 7 [由已知得????? a －1＋ b ＝5，a 0＋b ＝4，解得??? a ＝12， b ＝3， 所以f (x )＝? ?? ?? 12x ＋3，所以f (－ 2)＝? ?? ? ?12－2 ＋3＝4＋3＝7.] 8．若函数f (x )＝??? 2x ，x <0， －2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． (－1,0)∪(0,1) [由x <0，得0<2x <1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x <1， ∴－1<－2－x <0. ∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1 (x ≥0)的图象经过点? ? ? ??2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；
二次函数的图像与性质知识点及练习
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a b 的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=a b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0
教案正弦型函数的图像和性质
教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+
一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
对勾函数图象性质 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ b x 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b x （接下来 写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，f(x)=ax+b x ≥2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= √b a 。 当x<0时，f(x)=ax+b x ≤?2√ab(当且尽当ax=b x 时取等号)，此时x= ?√b a 。 即对勾函数的定点坐标：A:(√b a ,2√ab)、B:(?√b a ,?2√ab) a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同 对勾函数的图像（ab异号）
二次函数的图像与性质专项练习
二次函数的图像与性质专项练习 【知识要点】 1．二次函数：形如 的函数叫做二次函数. 2．二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次 函 数 ) ,,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得 c b a a a b a c a b x a y ,,,0(44)2(2 2≠-++=为常数），其顶点坐标为 。 （3）当0>a 时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(a b x -<即时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧)2(a b x ->即时，y 随x 的增 大而增大；当a b x 2-=时，函数有 . 当0即时，y 随着x 的增大而减小； 当,2时a b x -=函数有 。 3．二次函数的图像平移： （1）二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（a 的取值决定抛物线的形状）.将2ax y =的图像向右（h>0）、向左（h<0）平移h 个单位，就得到函数2)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点： （1）抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= （2）若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破 考点㈠二次函数的图像性质 例1定义[,,a b c ]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是( 31，3 8 )； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于 2 3 ；
专题四_二次函数的图像与性质
专题四 二次函数的图像与性质（一） 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a - 时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1） 考点二 抛物线的平移 例2 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ．y ＝3(x ＋2)2＋3 B ．y ＝3(x －2)2＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2－3 D ．y ＝3(x －2)2－3 考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题 例3 在同一坐标系中°一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是
课时分层作业25 指数函数的概念、图象与性质
课时分层作业(二十五) 指数函数的概念、 图象与性质 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1 C [由题意得??? a >0， a ≠1， a 2－4a ＋4＝1， 解得a ＝3，故选C.] 2．函数y ＝? ???? 12x (x ≥8)的值域是( ) A ．R B.? ? ???0，1256 C.? ? ? ??－∞，1256 D.???? ??1256，＋∞ B [因为y ＝? ????12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以00，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( ) A ．(0,1) B ．(0，－1) C ．(－1,0) D ．(1,0) C [∵f (－1)＝a －1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．] 5．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )
A B C D A [当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.] 二、填空题 6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． [1，＋∞) [由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．] 7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 7 [由已知得??? a －1＋ b ＝5， a 0＋ b ＝4，解得????? a ＝12 ，b ＝3， 所以f (x )＝? ?? ?? 12x ＋3，所以f (－2) ＝? ?? ?? 12－2 ＋3＝4＋3＝7.] 8．若函数f (x )＝??? 2x ，x <0， －2－ x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． (－1,0)∪(0,1) [由x <0，得0<2x <1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x <1， ∴－1<－2－x <0. ∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x － 1(x ≥0)的图象经过点? ????2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． [解] (1)因为函数图象经过点? ? ???2，12， 所以a 2－1＝12，则a ＝1 2.
对勾函数
对勾函数 f(x)=ax+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， X
二次函数的图像与系数的关系
二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2 ＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ） A. a ＞0，b ＜0，c ＞0 B. b 2 ﹣4ac ＜0 C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0 D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数 图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4．已知函数y=mx 2 －6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5．如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <， 0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大
而减小，其中正确的是（）． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（） A. B. C. D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，?③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）
对勾函数绝对经典(教学知识)
对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。的图象与性质 繁华分享 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 对勾函数的图像（ab异号） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二)对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，错误!未找到引用源。。 当 x<0时，错误!未找到引用源。。 即对勾函数的定点坐标： (三)对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四)对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数， 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数 3 2 4 2 2 2 + + + + = x x x x y的最小值。 解：令3 2 2+ + =x x t，则2 2 )1 (2≥ + + =x t t t t t y 1 1 2 + = + = 根据对号函数 t t y 1 + =在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当2 = t时y有最小值 y X O y=ax
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
正弦型函数教案
正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析：
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0 一次函数图像信息题（25题）专题训练 一次函数图象信息的问题频频出现在各地中考试卷中,成为热点题型。黑河市的中考数学试卷出现在第25题分值8分，这也是必须得分不能丢分的题。这类题目不但设计独特,而且紧密结合社会实际。它在考查同学们对基础知识掌握程度的同时,更突出了对应用意识的考查。 这道题的文字比较多，容易造成视觉厌倦，所以要解决此类问题，必须先耐心把题耐心细致地读三遍以上，搞清楚有哪些条件，要求什么，做到心中有数。在此基础上从以下几方面着手思考问题：第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么？2．图象的每一段的实际意义是什么？3．图象的交点或拐点的实际意义是什么？4．图象与两坐标轴的交点的实际意义是什么？第二，借助行程图，是解决此类问题的关键．只有这样，才能弄清每一过程中y与x的函数关系，从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围。 一、例题解析（注：这里收集了五道类型不同的例题，看的时候先把答案遮住自己试着去做，做完打开答案去对比，看看自己是不是答对了，没答对，仔细看解析，看明白了，一定要自己动手再做一遍，五道题都会了以后再去做训练题，争取做到“做一题，同一片，会一类”！） 1、（2011?鸡西）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．（1）请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价． （2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？ 考点：一次函数的应用。 分析：（1）结合图象便可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，一次函数的斜率为0.5即为证书的单价； 二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 正弦型函数历年高考题 1 一、选择题 1、(2005)函数y=sinx 的图象向左平移 6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sinx+6π B 、y=sinx-6π C 、y=sin(x+6π) D 、y=sin(x-6 π ) 2、(2007)函数y=sin2x 的图象向左平移6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sin(2x+6π) B 、y=sin(2x-6π) C 、y=sin(2x-3π) D 、y=sin(2x+3 π ) 3、 (2009)如图是函数y=2sin(x ω?+) (其中ω>0,?< 2 π )，则ω、?正确的是（ A ω=2，?=6π B ω=2，?=3 π C ω=1，?=6π D ω=1，?=3 π 5、（2011）把y=sinx 的图像向左或向右平移π／2个单位，得到的函数是（ ） A y=sinx B y=-cosx C cos y x = D y=sinx 或 y=-cosx 6、（2012）函数)4 2sin(2π + =x y 的图像，可由函数x y 2sin 2=的图像（ ）而得到。 A. 向左平移 4π个单位 B. 向右平移4π 个单位 C. 向左平移8π个单位 D.向右平移8π 个单位 二、填空题 7、（2003）函数sin 24y x π? ? =+ ?? ? 的图象向右平移 8 π 单位，所得图象的函数解析式是 。 2、（2004）函数sin 22 x x y =的最小正周期为 ,值域为 。 3、（2007）函数y=sinxcosx 的最小正周期是 ，最小值是 。 8、（2012）正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>?A 在一个最小正周期内的图像中，最高点为 )2,9(π，最低点是)2,9 4(-π ，则ω=___________. 9、（2014）把正弦函数sin 2y x =的图像向_________________个单位，可以得到正弦函数 sin 24y x π? ?=+ ?? ?的图像 A B C D 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系 1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ?? ??? ，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、2 40b ac -> B 、0a > C 、0c > D 、02b a - < 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜0 5、 二次函数 c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数x ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。 6、已知反比例函数 k y = 的图象如图所示，则二次函数2 22k x kx y +-=的图象大致为( ) 7、二次函数y=ax 2 与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 8、函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 10、二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）一次函数图像信息题专题训练
二次函数图像与性质
正弦型函数图像高考题
二次函数的图像与系数abc的关系.