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北京市海淀区2015届九年级上学期期末考试数学试题(扫描版)

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一、选择题(本题共32分,每小题4分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C B B C B

二、填空题(本题共16分,每小题4分)

9.3π; 10. 24 ;

11.122,1x x =-=; 12.(1)37,26;(每个答案1分)(2)6.(2分)

三、解答题:(本题共30分,每小题5分)

13.(本小题满分5分) 解:原式11122

=-+-+……………………………………………………………………4分 12

=. ………………………………………………………………………………5分 14.(本小题满分5分)

证明:∵AB =AC ,D 是BC 中点,

∴AD ⊥BC .…………………………………………………………………………1分

∴∠ADC =90°.

∵BE ⊥AC ,

∴∠BEC =90°.

∴∠ADC =∠BEC .……………………………………………………………………3分 在△ACD 和△BCE 中,

ACD BCE ADC BEC ∠=∠??∠=∠?,,

∴△ACD ∽△BCE .……………………………………………………………………5分

15.(本小题满分5分)

解:由已知,可得2320m m --=.………………………………………………………1分

∴223m m -=. ………………………………………………………………………2分

∴原式=2211233m m m m m m

---===.………………………………………………5分

16. (本小题满分5分)

解一:设平移后抛物线的表达式为2

2y x bx c =++.…………………………………1分

∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ,(2,3)B , ∴3,382.

c b c =??=++? ………………………………………………………………………3分 解得4,3.b c =-??=?

…………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为2

243y x x =-+.………………………………5分

解二:∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ,(2,3)B ,

∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. …………………………………………1分 ∴设平移后抛物线的表达式为()2

21y x k =-+.………………………………2分

∴()23221k =?-+..………………………………………………………………3分 ∴1k =..………………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+. ………………………………5分

17. (本小题满分5分)

解:(1)将2x =代入2y x =中,得224y =?=.

∴点A 坐标为(2,4).………………………………………………………………1分

∵点A 在反比例函数k y x =的图象上, ∴248k =?=.……………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的解析式为8y x

=.………………………………………………3分 (2)()1,8P 或()1,8P --.……………………………………………………………5分

18.(本小题满分5分)

解:(1)∵△ABC 中,∠ACB =90°,4sin 5

A =,BC =8, ∴8104

sin 5

BC AB A ===.…………………………………………………………1分 ∵△ABC 中,∠ACB =90°,D 是AB 中点, ∴152CD AB =

=.…………………………………………………………………2分

(2)解法一:过点C 作CF ⊥AB 于F ,如图.

∴∠CFD =90°.

在Rt △ABC 中,由勾股定理得22221086AC AB BC =

-=-=. ∵CF AB AC BC ?=?, ∴245AC BC CF AB ?==.………………………………3分 ∵BE ⊥CE , ∴∠BED =90°. ∵∠BDE =∠CDF , F

E

D

A B C

∴∠ABE =∠DCF .………………………………………4分

∴24

245cos cos 525

CF ABE DCF CD ∠=∠===.…………………………………5分 解法二:∵D 是AB 中点,AB =10, ∴152

BD AB ==.……………………………………………………………………3分 ∴12BDC ABC S S ??=

. 在Rt △ABC 中,由勾股定理得22221086AC AB BC =

-=-=. ∴168242ABC S ?=??=. ∴12BDC S ?=. ∴1122BE CD =. ∵5CD =, ∴245

BE =.………………………………………………4分 ∵BE ⊥CE ,

∴∠BED =90°. ∴24

245cos 525

BE ABE BD ∠===.……………………………………………………5分

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19.(本小题满分5分)

解:(1)由已知,得0m ≠且()()22

22424420m m m m m ?=+-?=-+=->, ∴0m ≠且2m ≠.…………………………………………………………………2分

(2)原方程的解为()()222m m x m

+±-=. ∴1x =或2x m

=.…………………………………………………………………3分 E

D

A B

C

∵2

0x <,∴11x =,220x m =<.∴0m <. ∵12

1x x >-,∴12m >-.∴2m >-. 又∵02m m ≠≠且,

∴20m -<<.……………………………………………………………………4分

∵m 是整数,∴1m =-.………………………………………………………5分

20. (本小题满分5分)

解:(1)()()2

10052410180400y x x x x =-+=-++.……………………………2分 (110x ≤≤且x 为整数).

(2)∵()2

2101804001091210y x x x =-++=--+.…………………………3分 又∵110x ≤≤且x 为整数,

∴当9x =时,函数取得最大值1210.…………………………………………4分

答:工厂为获得最大利润,应生产第9档次的产品,当天的最大利润为1210万元.

………………………………………………………………5分

21.(本小题满分5分) 解:(1)连接OB ,OC .

∵AD 与⊙O 相切于点A , ∴FA ⊥AD .

∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,

∴FA ⊥BC .……………………………………1分 ∵FA 经过圆心O ,

∴OF ⊥BC 于E ,CF BF =.

∴∠OEC =90°,∠COF =∠BOF .

∵∠BOF =2∠BAF .

∴∠COF =2∠BAF .

∵∠PCB =2∠BAF ,

∴∠PCB =∠COF .

∵∠OCE +∠COF =180°-∠OEC =90°,

∴∠OCE +∠PCB =90°,即∠OCP =90°.

∴OC ⊥PC .

∵点C 在⊙O 上,

∴直线PC 是⊙O 的切线.…………………………………………………………2分

(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,

∴BC=AD=2.

∴BE=CE =1.

在Rt △ABE 中,∠AEB =90°,AB =10, ∴223AE AB BE =-=.…………………………………………………………3分 P D C B E F O A

设⊙O 的半径为r ,则OC OA r ==,3OE r =-.

在Rt △OCE 中,∠OEC =90°,

∴222OC OE CE =+.

∴()2

231r r =-+. 解得53

r =.…………………………………………………………………………4分 ∵∠COE=∠PCE ,∠OEC=∠CEP =90°,

∴△OCE ∽△CPE . ∴OE OC CE CP

=. ∴55

3331CP -

=. ∴54

CP =.……………………………………………………………………………5分 22.(本小题满分5分) (1)如图,线段CD 即为所求;……………………1分 (2)OC =425

,tan AOD ∠=5;……………………3分 (3)tan AOD ∠=74.…………………………………5分

五、解答题:(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)

23.(本小题满分7分)

解:(1)∵反比例函数k y x

=的图象经过点(1,4)A , ∴4k =.………………………………………………………………………1分 ∴反比例函数的解析式为4y x

=. ∵反比例函数4y x

=的图象经过点(,)B m n , ∴4mn =.………………………………………………………………………2分

(2)∵二次函数2

(1)y x =-的图象经过点(,)B m n ,

∴2(1)n m =-.…………………………………………………………………3分 D

B A C

由(1)得4mn =,

∴原式2(21)24mn m m mn n =-++-

24184m n =-+-()

484n n =+-

8=.……………………………………………………………………4分

(3)由(1)得反比例函数的解析式为4y x =

. 令y x =,可得24x =,解得2x =±. ∴反比例函数4y x

=的图象与直线y x =交于 点(2,2),(2,2)--.…………………………5分 当二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(2,2)时,可得2a =;

当二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(2,2)--时,可得29a =-

. ∵二次函数2(1)y a x =-的顶点为(1,0),

∴由图象可知,符合题意的a 的取值范围是02a <<或29

a <-.…………7分

24.(本小题满分7分)

(1)AD +DE =4.……………………………………………………………………………………1分

(2)①补全图形.……………………………………………………………………………………2分 解:设DE 与BC 相交于点H ,连接AE ,

交BC 于点G ,如图.

∠ADB =∠CDE =90°,

∴∠ADE =∠BDC .

在△ADE 与△BDC 中,

,,,AD BD ADE BDC DE DC =??∠=∠??=? ∴△ADE ≌△BDC .……………………………………3分

∴AE= BC ,∠AED =∠BCD .

DE 与BC 相交于点H ,

∴∠GHE =∠DHC .

∴∠EGH=∠EDC=90°.…………………………………………………………………………4分 线段CB 沿着射线CE 的方向平移,得到线段EF ,

∴EF = CB =4,EF//CB .

H G F C

B D

A E 12345-1-2-3

-4

-5-5-4-3-2-15432

1

y x O

∴AE= EF .

CB//EF ,∴∠AEF=∠EGH=90°.

AE=EF ,∠AEF=90°,∴∠AFE=45°.

∴AF =cos 45EF =42.…………………………………………………………………………5分 ②8sin 2

AF α=.………………………………………………………………………………7分 25.(本小题满分8分)

解:(1)①1;………………………………………………………………………………1分

② 1.………………………………………………………………………………2分

(2)2.…………………………………………………………………………………4分

(3)不妨设矩形ABCD 的边AB =4,BC =3.由已知可得,平移图形W 不会改变其测度面积S

的大小,将矩形ABCD 的其中一个顶点B 平移至x 轴上.

当顶点A ,B 或B ,C 都在x 轴上时,

如图5和图6,矩形ABCD 的测度面积S 就是矩形ABCD 的面积,此

时S =12.

………………………………5分

当顶点A ,C 都不在x 轴上时,如图7. 过A 作直线AE ⊥x 轴于点E ,过C 作直线CF ⊥x 轴于点F ,

过D 作直线GH ∥x 轴,与直线AE ,CF 分别交于点H 和点 G ,则可得四边形EFGH 是矩形. 当点P ,Q 分别与点A ,C 重合时,12x x -取得最大值m ,

且最大值m EF =;

当点P ,Q 分别与点B ,D 重合时,12y y -取得最大值n ,且最大值n GF =.

∴图形W 的测度面积S EF GF =?.

∵∠ABC =90°,

∴∠ABE +∠CBF =90°.

∵∠AEB =90°,

∴∠ABE +∠BAE =90°.

∴∠BAE =∠CBF .

又∵90AEB BFC ∠=∠=,

∴△ABE ∽△BCF .…………………………………………………………………………6分 x

y F E H G C D A

O B 图7 x y C D A O B 图5 图6

x y A D C

O B

∴43

AE EB AB BF FC BC ===. 设4,4AE a EB b ==()0,0a b >>,则3,3BF a FC b ==,

在Rt △ABE 中,由勾股定理得222

AE BE AB +=.

∴22161616a b +=.即221a b +=.

∵0b >,∴21b a =-

易证△ABE ≌△CDG .∴4CG AE a ==.

∴43EF EB BF b a =+=+,34GF FC CG b a =+=+.

∴()()4334S EF GF b a b a =?=++22

121225a b ab =++212251a a =+- ()2212251a a =+-42

1225a a =+-+2211122524a ??=+--+ ??? ∴当212a =,即22a =时,测度面积S 取得最大值149122542

+?=.…………7分 ∵0,0a b >>,∴240a a ->.∴12S >.

∴当顶点A ,C 都不在x 轴上时,S 的范围为49122≤

S <. 综上所述,测度面积S 的取值范围是49122≤≤

S .………………………………………8分