09-10-3工科数学分析期末考试试卷(A)
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东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称
工科数学分析期末
考试学期 09-10-3
得分
适用专业 选修工科数分的各专业 考试形式 闭卷
考试时间长度 150分钟
一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将2222
2
d ()d x y f x y z z -++?
?
?
（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标
系下的三次积分 ；
2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；
3. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,a b == ；
4. 设1,0()2,0x f x x x ππ
-<≤?=?
<≤?，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，
则(3)S π= ，(2
)S π-= ；
5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)
C
z z
z =+-?
；
6. 留数ln(12)
R es ,01cos z z +??
=?
?-??
；
7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；
8. 设锥面:1)z z ∑=
≤≤，取下侧，则
3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑
∧+∧+-∧=?? ；
9. 设()(,)d d x y t
F t f x y x y +≤=
??
，其中2
,
(,)0,
x y x x f x
y ?≥≥=?
?且其它
，则(2)F = .
二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)
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10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,
z z
x y
????.
11．计算
2
2
2
2
20
d e
d d d y
y
x
y
x
y x y x ----+
???
.
12．判断级数1
1
sin
ln(1)
n n n ∞=+∑
的敛散性.
13. 求幂级数ln 1
2
n
n
n x n
∞
=∑
的收敛域（注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对
收敛还是条件收敛）.
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三（14）．（本题满分7分）设1
,022
()0,2x f x x πππ?≤
它的和函数.
四（15）。（本题满分7分）将函数2
2()(1)
z f z z +=
-在圆环域21z <+<+∞内展开为
Laurent 级数.
五（16）（本题满分7分）
计算d S
x y ∧??
，其中S 为曲面22
x y z +=与平面
1,4z z ==所围的立体表面，取外侧.
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六（17）（本题满分8分）求幂级数1
21
1
(1)
1(21)n n n x n n ∞
-=??-- ?-?
?∑的收敛域与和函数()S x ，
并求数项级数1
1
1
1(1)
1(21)2
n n n n n ∞
-=??-- ?-??∑的和.
七（18）（本题满分7分）证明函数项级数2
3
1
2arctan
n x x n
∞
=+∑在(,)-∞+∞内一致收敛.