人教版数学九年级上册综合练习卷：第22章 二次函数

二次函数

一．填空题

1．抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是．

2．二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是．

3．点P（2，17）为二次函数y＝ax2+4ax+5图象上一点，其对称轴为l，则点P关于l的对称点的坐标为．4．若点A（﹣3，n）、B（m，n）在二次函数y＝a（x+2）2+h的图象上，则m的值为．

5．利用计算机中“几何画板”软件面出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为3个，若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．

6．若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠5）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2014的值是．

7．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．则商场按元销售时可获得最大利润．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2（h表示常数，且h＞0）的顶点为M，函数图象与x轴负半轴交于点A，将此抛物线绕坐标原点O旋转180°得到的抛物线顶点为N，函数图象与x轴正半轴交于点B．则四边形MANB的面积表示为（用含h的代数式表示）

二．选择题

9．二次函数y＝x2﹣2x的顶点坐标是（）

A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）

10．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1的顶点为A，当﹣3＜x＜2时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

11．把函数y ＝﹣x 2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y ＝﹣（x ﹣1）2+1的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

12．已知两点A （﹣6，y 1），B （2，y 2）均在抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）上，点C （x 0，y 0）是该抛物线的顶点，若

y 0≥y 1＞y 2，则x 0的取值范围是（ ）

A ．x 0＜﹣6

B ．x 0＜﹣2

C ．﹣6＜x 0＜﹣2

D ．﹣2＜x 0＜2

13．如图，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（ ）

A ． A

B ＝4

B ．∠OCB ＝45°

C ．当 x ＞3 时，y ＞0

D ．当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小

14．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝2x 2+kx 与y ＝kx +k （k ≠0）的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

15．函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，以下结论：①b 2﹣4ac ＞0；②b +c ＝0；③若图象上两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）满足x 1＜x 2＜1，则y 1＞y 2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0．其中正确的有（ ）个．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

16．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），经过点（1.0），对称轴l 如图所示，若M ＝a +b ﹣c ，N ＝2a ﹣b ，P ＝a +c ，则M ，

N ，P 中，值小于0的数有（ ）个．

A ．2

B ．1

C ．0

D ．3

17．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．abc ＜0

B ．b 2﹣4ac ＜0

C ．a ﹣b +c ＜0

D ．2a +b ＝0

18．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，给出四个结论：①b 2

≥4ac ：②3a +c ＝0③2a +b ＝0④若点B （﹣，y 1），C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2，其中正确结论是（ ）

A ．①④

B ．②③

C ．①③

D ．②④

三．解答题

19．设二次函数y ＝mx 2+nx ﹣（m ﹣n ）（m 、n 是常数，m ≠0）． （1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，并说明理由；

（2）若该二次函数图象经过点A （2，3），B （1，4），求该二次函数图象与x 轴的交点坐标．

20．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）中x，y满足下表：

（1）请求出m的值；

（2）某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y＞0时，x的取值范围；

（3）求出这个二次函数的解析式（也称为函数关系式）．

21．某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：

（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求这个函数关系式；

（2）当售价为元时，当月的销售利润最大，最大利润是元；

（3）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？

22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象M经过A（﹣1，0），C（2，﹣6）两点，顶点为P．（1）求该二次函数的解析式和顶点P的坐标

（2）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P，Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的是四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．（1）求b，c的值．

（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连结AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图①，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．（1）过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D，求AD的解析式；

（2）如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l上有一动点M，在x轴上有一动点N，

连接PM、MN，当△PAD的面积最大时，求PM+MN+BN的最小值；

（3）如图③，Q为直线AD与抛物线的另一个交点，E为抛物线上一动点，F为抛物线的对称轴l上的一动点，是否存在E、F两点，使得以A、Q、E、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．填空题

1．解：∵y＝2（x+3）2﹣4为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3 故答案为：直线x＝﹣3．

2．解：二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝m，

∵a＝1＞0，

∴在对称轴的左侧（即当x≤m），y随x的增大而减小，

又∵在x≤1时y随x增大而减小，

∴m的取值范围为m≥1．

故答案为：m≥1．

3．解：二次函数y＝ax2+4ax+5的对称轴为x＝﹣＝﹣2，

∴点点P（2，17）关于l的对称点的坐标为（﹣6，17），

故答案为：（﹣6，17）．

4．解：y＝a（x+2）2+h的对称轴x＝﹣2，

∵A（﹣3，n）、B（m，n）的纵坐标相同，

∴A与B关于x＝﹣2对称，

∴m＝﹣1，

故答案为﹣1．

5．解：因为函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象与直线y＝1的交点的横坐标为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，

所以m＜n．

故答案为m＜n．

6．解：把（1，0）代入y＝ax2﹣bx+5得a﹣b+5＝0，

所以b﹣a＝5，

所以b﹣a+2014＝5+2014＝2019．

故答案为2019．

7．解：设售价为x元，总利润为w，根据题意可得：

w＝（x﹣80）[100+10（100﹣x）]

＝﹣10x2+1900x﹣88000

＝﹣10（x﹣95）2+2250，

故商场按95元销售时可获得最大利润2250元．

故答案为：95．

8．解：由已知可得M （h ，2），

令y ＝0，则x ＝h +

或x ＝h ﹣

，

∵A 在x 轴的负半轴上，

∴A （h ﹣

，0），

∵将此抛物线绕坐标原点O 旋转180°，

∴M 与N 关于原点O 对称，A 与B 关于原点O 对称， ∴四边形MANB 为平行四边形，

∴AB ＝2

﹣2h ，

∴四边形MANB 的面积＝（2﹣2h ）×2＝4

﹣4h ，

故答案为4﹣4h ．

二．选择题

9．解：∵y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，

∴二次函数y ＝x 2+4x 的顶点坐标是：（1，﹣1）， 故选：B ．

10．解：∵y ＝x 2﹣（2m ﹣1）x +2m 2﹣1

∴对称轴为x ＝﹣＝

，且抛物线开口向上，

∴当x ＞

时，y 随x 的增大而增大，

∵当﹣3＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，

∴≤﹣3，解得m ≤﹣，

∴

＜0，

＝

＝（m +）2﹣＞0，

∴抛物线的顶点在第二象限， 故选：B ．

11．解：抛物线y ＝﹣x 2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y ＝﹣（ x ﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）， 所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），

即将函数y ＝﹣x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y ＝﹣（x ﹣1）2+1的图象． 故选：C ．

12．解：∵点C （x 0，y 0）是该抛物线的顶点．且y 0≥y 1＞y 2， ∴a ＜0，x 0≤﹣6或﹣6＜x 0＜2， ∴x 0﹣（﹣6）＜2﹣x 0， ∴x 0＜﹣2，

∴x

0≤﹣6或x﹣6＜x

＜﹣2，

∴x

＜﹣2 故选：B．

13．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x

1＝﹣1，x

2

＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，

当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小；

当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），

∵OB＝OC＝3，

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°．

故选：D．

14．解：当k＞0时，函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的左侧；

当k＜0时，函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的右侧，故C 正确．

故选：C．

15．解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，

∴b2﹣4ac＜0；

故①错误；

当x＝1时，y＝1+b+c＝1，则b+c＝0，

故②正确；

根据抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，

当x＜时，y随x的增大而减小，

∵图象上两点（x

1，y

1

），（x

2

，y

2

）满足x

1

＜x

2

＜1，

∴y

1＞y

2

．

故③正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，

∴x2+bx+c＜x，

∴x2+（b﹣1）x+c＜0．

故④正确．

故选：B．

16．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），

∴a+b+c＝0，

又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，

∴c＞0

∴a+b﹣c＜0，故M＜0；

（2）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，

∴﹣＞﹣1，

∴2a﹣b＜0，故N＜0；

（3）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，∴b＜0 ∵a+b+c＝0，

∴a+c＞0，因此P＞0

综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；

故选：A．

14．解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，

∴b＝﹣2a＜0；

∴abc＞0，A错误；

由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；

当x＝﹣1时，y＞0，

∴a ﹣b +c ＞0，C 错误； ∵b ＝﹣2a ，D 正确； 故选：D ．

18．解：（1）由图象可知：抛物线与x 轴有两个交点，因此b 2﹣4ac ＞0，故①不正确；

（2）∵对称轴是直线x ＝﹣1，即﹣

＝﹣1，∴b ＝2a ，2a ﹣b ＝0，故③不正确；

（3）∵对称轴是直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点A （﹣3，0） ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0）

把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得：a +b +c ＝0，而b ＝2a ， ∴3a +b ＝0，因此②是正确的； （4）∵对称轴是直线x ＝﹣1，

∴点B （﹣，y 1）在对称轴的左侧，点C （﹣，y 2）在对称轴的右侧，且点B 离 对称轴比点C 离对称轴远，根据增减性可知y 1＜y 2，因此④是正确的； 综上所述：②④是正确的，①③是不正确的， 故选：D ． 三．解答题

19．解：（1）该二次函数图象与x 轴交点的个数是1个或2个，理由如下： ∵△＝b 2﹣4ac ＝n 2﹣4m （m ﹣n ）＝n 2+4m 2﹣4mn ＝（n ﹣2m ）2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴交点的个数是1个或2个．

（2）把点A （2，3），B （1，4）代入，y ＝mx 2+nx ﹣（m ﹣n ）中，得．

解得

．

故该二次函数解析式是：y ＝﹣x 2+2x +3． 当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0． 解得x 1＝﹣1，x 2＝3．

∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．

20．解：（1）由图中表格可知，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且（2，m ）与（﹣4，5）关于直线x ＝﹣1对称， ∴m ＝5．

（2）由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是：x ＜﹣3或x ＞1．

（3）把（﹣2，﹣3），（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）中，得．

解得．

则该二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3．

21．解：（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，

所以这个函数是一次函数，设其解析式为y＝kx+b，

根据题意，得：，

解得：，

∴y＝﹣2x+400，

故答案为：一次函数；

（2）设月销售利润为W，

则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）

＝﹣2x2+480x﹣16000

＝﹣2（x﹣120）2+12800，

∵a＝﹣2＜0，

∴当x＝120时，W取得最大值，最大值为12800元，

故当售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元，

故答案为：120，12800；

（3）∵获利不得高于进价的80%，

∴x﹣40≤80%×40，

解得：x≤72，

∵a＝﹣2＜0，

∴当x＜120时，W随x的增大而减小，

∴当x＝68时，W取得最大值，最大值为7392，

答：售价定为68元时，月销售利润达到最大．

22．解：（1）∵将A（﹣1，0）、C（2，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣4，

得：，

解得，

∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．

∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，

∴顶点P的坐标为（，﹣）；

（2）能．理由如下：

如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，

∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），

∴H（m，﹣2m﹣2）．

∵点D（m，n）在图象M上，

∴D（m，m2﹣3m﹣4）．

∵△ACD的面积为，

∴ [﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]＝，即4m2﹣4m+1＝0，

解得m＝．

∴D（，﹣）．

∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，

∴图象M的对称轴l为x＝．

∵点D关于l的对称点为E，

∴E（，﹣），

∴DE＝﹣＝2，

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：

当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ＝DE＝2．

∴点P的横坐标为+2＝或﹣2＝﹣，

∴点P的纵坐标为（﹣）2﹣＝﹣，

∴点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；

当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（，﹣）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．23．解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，

∴AB＝3＝OA，

∴B（3，3），

将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

∴，

（2）存在，

∵B（3，3），

∴OB的解析式为y＝x，

∵y＝﹣x2+3x+3，

设P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），

∵PQ⊥AB，OA⊥AB，

∴OA∥PQ，

若四边形APQO是平行四边形，

∴PQ＝﹣m2+3m+3﹣m＝3，

解得m＝0（舍去），m＝2，

当m＝2时，y＝﹣4+6+3＝5，

∴p（2，5），

即当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形．

24．解：（1）y＝﹣x﹣；

（2）PM+MN+BN的最小值为+；

（3）由（1）知，直线AD的解析式为y＝﹣x﹣③，

∵抛物线y＝﹣x2+x+2④，联立③④解得，或，

∴Q （5，﹣3），

由（2）知，抛物线的对称轴为直线x ＝，

当AQ 为平行四边形的对角线时，AQ 与EF 互相平分，

设F （m ，﹣m 2+m +2），E （，n ），

∴（m +）＝（﹣1+5），（﹣m 2+m +2+n ）＝（0﹣3），

∴m ＝，n ＝﹣，

∴F （，

），

当AD 为平行四边形的边时，设点E 的坐标为（，a ），

Ⅰ、将点A 向右移动个单位，再向下移动﹣a 个单位，

即：点Q （5，﹣3）向右移动，再向下移动﹣a 个单位得到点F （，﹣3+a ），

而点F 在抛物线y ＝﹣x 2+x +2上，

∴﹣3+a ＝﹣×（）2+×

+2，

∴a ＝﹣，

∴F （

，﹣

），

Ⅱ、点Q 向左移动5﹣＝个单位，再向下移动﹣a 个单位．

即：点A 向左移动个单位，再向下移动﹣a 个单位得到点F （﹣，a ），

而点F 在抛物线y ＝﹣x 2+x +2上，

∴a ＝﹣×（﹣）2+×（﹣）+2＝﹣，

∴F （﹣，﹣

），

即：满足条件的点F 的坐标为（，

）或（

，﹣

）或（﹣，﹣

）．