概率统计章节作业答案
第一章随机事件与概率 一、单项选择题
1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是
( B ).
A.AB ={出现奇数点}
B. AB ={出现5点}
C. B ={出现5点}
D. A B =Ω
2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A +=
3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ).
A.1212A A A A
B.12A A
C.12A A
D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ).
A.123A A A
B.123A A A ++
C.123A A A
D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是
( A
).
A.(|)0P A B =
B. (|)0P B A =
C. ()0P AB =
D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ).
A. 0.2
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ).
A.()1P A B =
B.()()()P AB P A P B =
C. ()0P AB =
D.()0P AB >
8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1
10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B
11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ).
A. 0.08
B. 0.4
C. 0.2
D. 0
13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A )
14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75
15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ).
A.
3
7
B.0.4
C. 0.25
D.16
16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).
A. 0.48
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.8
17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ).
A. 0.125
B. 0.25
C. 0.5
D. 0.4
18.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为 ( A ).
A. 0.72
B. 0.75
C. 0.96
D. 0.78
19.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为 ( C ).
A. 7
10 B. 44710 C. 47410
C C D. 4710?
20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为 ( C ).
A. 8
10 B. 38310
C C C. 33810 D. 38310C
21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为 ( C ).
A. 20.4
B. 30.6
C. 22350.40.6C
D. 2
3250.40.6C
22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为 ( D ).
A.156
15()66C B.156151()66
C - C.15
651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).
A.
19 B. 12 C. 2
3
D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为 ( A ).
A.
5
18
B.
4!
6!
C.
4
4
4
6
A
A
D.
4
4!
6
25.某人每次射击命中目标的概率为p(0 ( D ). A. p2 B. (1-p)2 C. 1-2p D. p(1-p) 二、填空题 1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35. 2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16. 3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 . 4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486. 5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94. 6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12. 7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则() P A B =0.5. 8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)=0.5. 9.设()0.3,(|)0.6 P A P B A ==，则P(AB)=0.42. 10.设 11 ()()(),()(),()0 46 P A P B P C P AB P AC P BC ======，则P(A+B+C)= 5/12. 11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 则() P AB=0.6. 12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为0.25. 13.已知P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B|A)=0.25, 则P(A|B)=0.125. 14.设111 (),(|),(|)432 P A P B A P A B ===，则()P A B =1/3. 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为0.576. 16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为0.7. 三、计算题 1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ). 解:由(|)0.3P B A =得: () 0.3,() P AB P A =即 ()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02 (|)0.1()0.2 P AB P A B P B = ==. 2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B ；(5)P (B -A ). (1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=； (2)因为A B ?，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0； (4) 因为A B ?，所以A B B = , ()P A B =P (B )=0.3； 或者，()P A B =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3； 3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB . 解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1； (2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而 (|)P A B = ()()()0.66 1()0.77() P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=. 4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B )；(2) ()P AB ；(3)P (A|B ). 解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )， ()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+- 0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=1 3 ； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4 ()()15 P A P B =； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4. 四、应用题 1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率. 解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”， 由古典概率定义，得111 40643 5012 ()0.049245 C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=. 2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率. 解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知： 11 23732 108()15 C C C P A C +==. 3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率. 解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率 得：41111 522224 108()21 C C C C C P A C ==，故13 ()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率. 解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为 230342!1(),3!4C P A C ==11 222341 (),3!6 C C P A C == 所以，015 ()()()12 P A P A P A =+= . 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率： (1)第三次才取得合格品； (2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品. 解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则 (1)第三次才取到合格品的概率为： 12312131210990 ()()(|)(|)0.00831009998 P A A A P A P A A P A A A == ??≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为： 112123()()()()P A P A P A A P A A A =++ 1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++ 90109010990 100100991009998 = +?+?? 0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率. 解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则 (1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为： 121218714 ()()(|)121133 P A A P A P A A == ?=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11 P A A = ； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为： 2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+ 7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率. 解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为： 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 25%0.0535%0.0440%0.020.0345=?+?+?=. 8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率. 解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台 车床加工的零件”，由题意知：21 (),()33 P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 21 (10.03)(10.02)0.97333 = ?-+?-≈； (2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为： 1 0.02 ()()(|)3 (|)0.252.921()()13 P A B P A P B A P A B P B P B ?====-- 9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求： (1)此人恰是色盲的概率是多少？ (2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？ (3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？ 解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知： 11 (),(),(|)5%,(|)0.25%22 P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为： ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 11 5%0.25%0.0262522 = ?+?=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为： 1 5% ()()(|)2(|)0.952()()0.02625 P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为： 1 95% ()()(|)2 (|)0.48781()0.97375() P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率： (1)甲乙都抽到难签； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签； (3)甲乙丙都抽到难签； (4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等. 解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则 (1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915 P AB P A P B A ==?=； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为： 644()()(|)10915 P AB P A P B A == ?=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为： 4321()()(|)(|)109830 P ABC P A P B A P C AB == ??=； (4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4 ()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为： ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+4364 0.4109109 = ?+?=. 丙抽到难签的概率为： ()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++ 432643463654 1098109810981098 = ??+??+??+??=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%. 11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率. 解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且 0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-?--=， 1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =?-?-+-??-+-?-?=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =??-+?-?+-??=, 3()0.40.50.70.14P A =??=. 由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为： 00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.0900.360.20.410.60.1410.458=?+?+?+?=. 12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率. 解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得： 00303()0.60.40.064P A C =??=，1 213()0.60.40.288P A C =??=， 2223()0.60.40.432P A C =??=，3333()0.60.216P A C =?=. 由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得，飞机被击落的概率为： 3 0()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=?+?+?+?= 13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求： (1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率； (2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率. 解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则 (1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为： ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 95%0.985%0.030.9325=?+?=； (2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为： ()0.950.98 (|)0.9984()0.9325 P AB P A B P B ?= =≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率. 解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为： 123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++ 123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ 123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++ 0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=??+??+??+??= 15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？ 解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为： 123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=- 1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=. 16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率. 解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为： (++)1()1()()()P A B C P ABC P A P B P C =-=- 1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=. 17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求： (1)两粒种子都能发芽的概率； (2)至多有一粒种子能发芽的概率； (3)至少有一粒种子能发芽的概率. 解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知： ()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=. (1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==?=； (2)至多有一粒种子能发芽的概率为： ()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.80.30.20.70.20.30.44=?+?+?=； (3)至少有一粒种子能发芽的概率为： ()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+- 0.80.70.80.70.94=+-?=. 18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3. 解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=2 2350.70.30.1323C ??=； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为： p 2=5 5520.70.3k k k k C -=??∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -??-??=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为： p 3=5 5510.70.3k k k k C -=??∑=005510.70.30.99757C -??=. 19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为80 81 , 求射手射击一次命中目标的概率. .解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知： 480 1(1)81 p --= ，解得：23p =. 20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率. 解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为： 1 2223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题 1.设0 ()()()()() (|)()1()1()() P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --= ===--， 所以，(|)(|)P A B P A B =. 充分性若(|)(|)P A B P A B =，则 ()()()()() ()1()1()() P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --=== --， 对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立 2.证明条件概率的下列性质： (1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=； (2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+ ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证：(1)因为() (|)() P AB P A B P B = ，而0()()P A B P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤， 且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ= ==，()() (|)0()() P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而 ()()() (|)(|)(|)()() P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C += ==+ ； (3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ ，又A A =Ω ，由性质(1)知， (|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =- 第二章随机变量及其概率分布 一、单项选择题 1.设随机变量X 的分布律为 则P {X <1}= ( C ). A. 0 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为 则a = ( D ). A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.4 3.设随机变量X 的概率密度为2,1 (),0,1 c x f x x x ?>?=??≤?则常数c = ( D ). A. 1- B. 12 C. -1 2 D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ?≤≤? =? ??其它 则常数a = ( D ). A. 14 B. 1 2 C. 3 D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ). A.2100 ,1000, 100x x x ?>? ??≤? B. 10 ,0 0,0 x x x ?>???≤? C. 1,020,x -≤≤???其它 D. 1 13 ,2 220, x ?≤≤????其它 6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ). A. [0,]2π B. [0,]π C. [,0]2π- D. 3[0,]2π 7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ). A. 0, 00.3,01 ()0.2,121, 2x x F x x x =?≤ C. 0,00.1,05 ()0.6,56 1,6x x F x x x =?≤ ? 8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续 9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ). A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数 B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞ →-∞ -= C.()()()P a X b F b F a <≤=- D.对一切实数x ，都有0<()F x <1 10.设随机变量的概率分布为2 ()(),(1,2,3...)3 k P X k a k ===，则常数a =( B ). A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 12- 11.已知随机变量X 的分布律为 ()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)= ( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 1 12.随机变量X 的概率密度2,01()0, x x f x < {}22P X -≤≤= ( A ). A.14 B.13 C.12 D.3 4 13.已知随机变量X 的分布律为 若 随 机 变 量 Y =X 2 ， 则 P {Y =1}= ( C ). A. 0.1 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.2 14.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( A ). A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192 15.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+Φ C.2 2 ( )( )b a μ μ σ σ --Φ-Φ D.( )( )b a μ μ σ σ --Φ-Φ 17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2 A.1 2()12 Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ 18.设X ~N (0，1)，()x ?是X 的概率密度函数，则(0)?= (C ). A. 0 B. 0.5 C. D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ). A.正态分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ). A.2(1)F e -= B.2(0)F e -= C.P (X =0)=P (X =1) D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2 (1)(3)3 P X P X == =，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1 2.设随机变量X 的概率分布为 记Y =X 2, 则P (Y =4)=0.5. 3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)=0. 4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤=0.4. 5.设随机变量X 的分布函数为212 ()x t F x e dt --∞ = ,则其密度函数为. 6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2 x F x x x x ππ? ? =≤ ? ≥??, 其密度函数 为()f x ,则()6 f π =1/2. 7.设随机变量X 的分布函数为1, 0()0, x e x F x x -?-≥=? 0时, X 的概率密 度()f x =1.. 8.设随机变量X 的分布律为 则(01)P X ≤≤=0.6. 9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<=0.148. (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=) 10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3. 11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥=15/16. 12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y =1/10. 13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥=0.5. 14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1 (||)2 P X ≤=0.5. 15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<=0.5. 16.设随机变量X ~N (-1, 4)，则1 ~2 X Y += N(0，1). 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3) k a P X k k ===，则a =2/3. 18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02 ()0,kx x f x +< 19.若随机变量X ~N (1, 16)，Y =2X -1，则Y ~N(1，64). 20.若随机变量X ~U (1, 6)，Y =3X +2，则Y ~U(5，20). 三、计算题 1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0 (),011,1x F x x x x =≤ ，求X 的概率密度 函数. 解：由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知，当0 2()()2f x x x '==， 当1x ≥或0x ≤时，()f x =0，所以，X 的概率密度为2,01 ()0,x x f x < 其它. 2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5). 解：X 的分布律为 当0x <时，()()F x P X x =≤=0； 当01x ≤<时，()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==； 当1x ≥时，()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=. 所以，X 的分布函数为0, 0()0.8,011,1x F x x x =≤ ；而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8. 3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数. 第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ). 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解) 1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=< 第一章 随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ) . A. AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =ΩU 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少 有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A U B.12A A C.12A A D.12A A U 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3）， 则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B =U 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章 第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??. 1．第2题 设随机变量X和Y都服从正态分布，则( ). (A)服从正态分布 (B)服从分布 (C)服从F分布 (D)或服从分布 A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 2．第3题 设随机变量X的概率密度为,则c=()（A）（B）0 （C）（D）1 A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 3．第4题 如果P(A)=,P(B)=,且事件B与A独立，则P(AB)=（） （A）（B）（C）（D） A.； B.； C.； D.。 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 4．第5题 设随机变量X~e(1),Y~e(2),且X与Y相互独立。令Z的方差为D(Z)=( ) 4 4 2 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第6题 假设样本X1,X2,...X n来自总体X,则样本均值与样本方差S2=2独立的一个充分条件是总体X服从（）。 A.二项分布 B.几何分布 C.正态分布 D.指数分布 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 6．第7题 设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则（）（A）（B）- （C）1- （D）1+ A.； B.； C.； D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 7．第8题 设随机变量X~N（），则线性函数Y=a-bX服从分布（） A. ； B. ； 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 8．第9题 设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（） 2 3 4 12 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 9．第10题 设来自总体N（0，1）的简单随机样本，记 ，则=() （A）n （B）n-1 （C） （D） A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 10．第23题 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑 球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y 概率统计章节作业答 案 第一章 随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的 是 ( B ). A. AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少 有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则 3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解 由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它 记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<- 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生. .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 概率论与数理统计作业及解答 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-= 一、选择 1、一项试验中所有可能结果的集合称为（） A事件 B简单事件 C样本空间 D基本事件 2、每次试验可能出现也可能不出现的事件称为（） A必然事件 B样本空间 C随机事件 D不可能事件 3、抛3枚硬币，用0表示反面，1表示正面，其样本空间Ω=（） A{000，001，010，100，011，101，110，111} B{1，2，3}C{0，1}D{01，10} 4、随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命t，其样本空间Ω=（） A{t=0} B{t<0} C{t>0} D{t≥0} 5、观察一批产品的合格率P，其样本空间为Ω=（） A{0 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1?掷一枚骰子，设A=｛出现奇数点｝, B=｛出现1或3点｝，贝U下列选项正确的是(). A. AB=｛出现奇数点｝ B. AB =｛出现5点｝ C.B =｛出现5点｝ D. AU B 2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(). (A B) B A. (A B) B A B A AB (A B) B A B . AB AB A 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A=｛第i次正面向上｝(i =1,2)，则“至少有一次正面向上”可表示为(). A I A2U A1A2 A A2 A1A2 U A2某人向一目标射击3次，设A表示“第i次射击命中目标” (i =1，2，3)，则3次都没有命中目标表示为(). A A2 A3 A A2 A3 AA2A3 AA2A3设A与B为互为对立事件，且P(A) O,P(B) 0，则下列各式中错误的是 (). P(A|B) 0 P(B| A) 0 P(AB) 0 P(AU B) 1 设事件A与B相互独立，P[A)=, P( B)=,贝U P(A|B)=(). A. 0.2 B.0.4 C. 已知事件A与B互不相容，P(A)>0, P( B)>0,则(). P(AU B) 1 . P(AB) P(A)P(B) P(AB) 0. P(AB) 0 8.设P(A)=0, B为任一事件,则(). A A B与B相互独立与B互不相容 9.已知P(A)=, P(B)=,且 A B,则P(A| B)=(). .0.4 C. 设A与B为两事件,则AB =(). AB AUB AI B AI B 设事件 A B,P(A)=, P( B)=,则P(AUB)(). A. 0.3 B.0.2 C. 设事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=,则P(A|B)=(). 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网概率统计章节作业答案
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