南昌市正大学校高三数学(理科)周练20

南昌市正大学校高三数学（理科）周练（20）

命题：刘善来 审题:高三历届数学备课组 2008年元月22日

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分)

1.一个学校有3000人，其中初中生1200人，高中生1600人，教师200人，则8

15是高中生占总体的（C ）

A ．频数

B ．概率

C ．频率

D ．累计频率

2.设一组数据的方差是S 2，将这组数据的每个数据都乘以5，所得到的一组新数据的方差是（D ）

2

222S D.25 S 5C. S 251B. S 51.A

3.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（D ） A ．

103 B ．559 C ．809 D ．509

4.线性回归方程?y

=bx ＋a 必过（ D ） A ．(0，0)点 B ．(x ，0)点 C ．(0，y )点 D ．(x ，y )点 5.随机变量ξ的概率分布规律为),4,3,2,1()

1()(=+=

=n n n a

n P ξ其中a 是常数，则

)2

5

21(<<ξP 的值为（ D ） A.32 B.43 C.54 D.6

5 6某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间,

将测试结果按如下方式分成六组：第一组,成绩大于等于13秒且 小于14秒；第二组，承继大于等于14秒且小于15秒；……第六组, 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ,成绩大于等于15秒且小于17秒 的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（A ）

A ．0.9，35

B ．0.9，45

C ．0.1，35

D ．0.1，45 7.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的

2

1

的概率是（A ） A.

61 B.3

1

C.21

D.32 8.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4。()P k ak b ξ==+（k =1，2，3，4）。又ξ 的数学期望3E ξ=，则a b +的值是（D ）

A. 1

B.

12 C. 15 D. 110

9.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是

1

2

，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：??

?-=次投掷出现反面

，第次投掷出现正面

，第n n a n 11，若S a a a n N n n =+++∈12 ()* 则事件“S 82=”的概率，事件“S S 2802≠=，”的概率分别是（B ）

A. 128

132561， B.

12813327， C. 7321256，

D. 12561256

， 10.袋中有10个大小相同的白球，其中1个红球，9个白球。现从中任取一个球直到取到红球为止，若是取到白球则放回袋中，设取球次数为ξ，求E ξ（C ）

A.8

B.9

C.10

D.11

11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（D ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 12.已知{1,2,3}A B C ??=则A B C ==的概率是（ D ）

A ．

13 B.127 C.17 D.1

343

二.填空题（每小题4分,共16分,请把答案写在答题卡上）

13.有红、黄、篮三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的三面旗帜上分别标上号码1、2和3．现任取出三面，则它们的颜色和号码均不相同的概率为 1/14 ．

14. 某扇门的高度是按照保证成年男子与门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子

的身高ξ~N(176，62

)（单位：cm ），则该扇门应设计的高度至少为 190cm ．（Ф(2.32)=0.9898，Ф(2.33)=0.9901）

15.抛掷两个骰子，当至少有一个的点数的3的倍数时，就说这次试验成功，设在50次试验中成功的次数为ξ，则E ξ= 27.78 ，D ξ= 12.35 （精确到0.01）

16.一个总体中的80个个体编号为0，l ，2，……，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，……，7，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数为i+k （当i ＋k<10）或i+k －10（当i ＋k ≥10）的号码．在i=6时，所抽到的8个号码是 6,17,28,39,40,51,62,73

三．解答题（共6小题，74分）

17.甲乙进行乒乓球比赛，比赛规则：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方， 10平后，先得2分的一方为胜方。

（1）据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为0.6，求一局中甲以8：9落后的情况下以

12：10获胜的概率。 （2）据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为p(0

8﹕9∥8﹕10，9﹕10，10﹕10，11﹕10，12﹕10 8﹕9∥9﹕9，9﹕10，10﹕10，11﹕10，12﹕10 8﹕9∥9﹕9，10﹕9，10﹕10，11﹕10,12﹕10

最后两分必为甲得且必出现10平,甲以8﹕9落后的情况下以12﹕10获胜的概率

为12230.60.40.60.15552C ???=

(2)必出现10平，11平，12平且最后两分必为甲得.

前20分中甲得10分的概率1010

1020(1)C P P ?-.甲以14﹕12获胜的概率为

101010112101412202220(1)(1)(1)4(1)C P P C P P C p p p C p p ?-???-???-?=?-

18.甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数ξ稳定在7，8，9，

甲

乙

（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率()8=乙ξP ，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；

（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）. 解（1）由图可知()2.07==乙ξP ，()2.09==乙ξP ，()35.010==乙ξP 所以()8=乙ξP =1—0.2—0.2—0.35=0.25

同理()

2.07==甲ξP ， ()15.08==甲ξP ，()

3.09==甲ξP 所以()

35.03.015.02.0110=---==甲ξP

因为()65.035.03.09=+=≥甲ξP ()55.035.02.09=+=≥乙ξP 所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率 P=()

9≥甲ξP ()9≥?乙ξP =0.65×0.55=0.3575

(2) 因为甲ξE =7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8

乙ξE =7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7 甲ξE >乙ξE 所以估计甲的水平更高.

19.某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立

的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为

101，路段CD 发生堵车事件的概率为).15

1 （1）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.ξE 解：（1）记路段MN 发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的， 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次， 所以路线A →C →D →B 中遇到堵车 的概率P 1为 )

()()(1)(1DB P CD P AC P DB CD AC P ??-=??-

=1－[1－P （AC ）][1－P （CD ）][1－P （DB ）] =1－

10

3651514109=??； 同理：路线A →C →F →B 中遇到堵车的概率P 2为1－P （)10

3(800

239)小于=??FB CF AC

0.2

路线A →E →F →B 中遇到堵车的概率P 3为1－P （)10

3(300

91)小于=??FB EF AE

显然要使得由A 到B 的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择. 因此选择路线A →C →F →B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小. （2）路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3.

.2400

6371212017109121120310912112017101)()()()1ξ(,800

561

)()0ξ(=??+??+??=

??+??+??===

??==FB CF AC P FB CF AC P FB CF AC P P FB CF AC P P

.

3

1

2400332400772240063718005610ξ01,2400

3

121203101)()3ξ(,2400

7712120310912120171011211203101)()()()2ξ(=?+?+?+?=∴'

=??=??===??+??+??=

??+??+??==E FB CF AC P P FB CF AC P FB CF AC P FB CF AC P P

答：路线A →C →F →B 中遇到堵车次数的数学期望为

20.四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，SB=√3。 （I ）求证BC SC ⊥； （II ）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小； （III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB

（I ）证明：如图∵底面ABCD 是正方形 ∴⊥BC DC SD ⊥底面ABCD ∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC ⊥

（II ）解：SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形

∴可以把四棱锥S ABCD -补形为长方体A B C S ABCD 111-，如图2 面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，

SC BC BC A S

SC A S

⊥∴⊥，//11 又SD A S ⊥1 ∴∠CSD 为所求二面角的平面角

在Rt SCB ?中，由勾股定理得SC =

2 在Rt SDC ?中，由勾股定理得SD =1

∴∠=?CSD 45 即面ASD 与面BSC 所成的二面角为45?

（III ）解：如图3 SD AD SDA ==∠=?190， ∴?SDA 是等腰直角三角形 又M 是斜边SA 的中点

∴⊥⊥⊥=DM SA

BA AD BA SD AD SD D

，， ∴⊥BA 面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影

由三垂线定理得DM SB ⊥ ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90?

21．已知)0,()(23-∞+++=在d cx bx x x f 上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程

0)(=x f 有三个根，它们分别为βα,2,.

（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求证;2)1(≥f （Ⅲ）求||βα-的取值范围.

),23)(2c bx x x f ++=' )0,()(-∞在x f 上是增函数，在[0，2]上是减函数， )(,0x f x 时=取到极大值，.0,

0)0(=∴='∴c f

).2(4,0)2(+-=∴=b d f 023)(2

=+='bx x x f 的两个根分别为,3

2,021b x x -

== ]2,0[)(在x f 上是减函数，3,23

22-≤∴≥-

=∴b b

x .

.2371)2(41)1(≥--=++-=++=∴b b b d b f

（Ⅲ）))(2)(()(,0)(,2,βαβα---==x x x x f x f 可设的三根是方程

,2)22()2()(23αβαββαβα-+++++-=∴x x x x f

??

???-=--=+∴??

?-=---=∴.21,2.

2,2d b d b αββααββα

.16)2()2(8)2(2)2(4)(||2222--=+-+=++=-+=-∴b b b d b αββαβα

3||,3≥-∴-≤βαb .

22. 已知点()n n n b a P ,都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1. （+∈N n ）

(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若??

?=)

( )( )(为偶数为奇数n b n a n f n n ， 问是否存在+∈N k ，使得()()225-=+k f k f 成立；若存在，

求出k 的值，若不存在，说明理由. (3)求证：

+2

2

11P P +2

3

11P P …… +

5

2

12

1<

n

P P (n ≥2, +∈N n ) 解 (1) ()22,2,0,11-=-=-n b n a P n n (2) ??

?--=)

( 22)( 2)(为偶数为奇数n n n n n f

假设存在符合条件的:k

(1)若k 为偶数，则5+k 为奇数，有22)(,3)5(-=+=+k k f k k f

如果2)(2)5(-=+k f k f ，则3643=?-=+k k k 与k 为偶数矛盾.不符舍去； (2) 若k 为奇数，则5+k 为偶数，有.2)(,82)5(-=+=+k k f k k f 2)2(282--=+∴k k 这样的k 也不存在. 综上所述：不存在符合条件的k .

(3) ())0,1(,22,21---P n n P n )1(51-=∴n P P n )2(≥n ()??

?

???-++++=+

++

∴

2222

12

3

12

2

1113121151111n P P P P P P n

()()??

?

???--+=??????--++?+?+<

)1(11151121321211151n n n 5

2

)1(1251