数理统计的基本概念知识点

10 06 数理统计的基本概念

知识网络图

正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→????

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主要内容

一、样本

我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

二、.统计量

1.定义：称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量

2.常用统计量

样本均值 .11

∑==n

i i x n x 样本方差

∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111

2∑=--=n

i i x x n S 样本k 阶原点矩

∑===n i k i k k x n A 1

.,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩

∑==-=n

i k i k k x x n B 1

.,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2

)(σ=，

22)(σ=S E ，221)(σn

n B E -=, 其中∑=-=n

i i X X n B 1

22)(1，为二阶中心矩。 三、抽样分布

1.常用统计量分布

（1）设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，且均服从与标准正态分布)1,0(N ，则222212n n X X X X Λ++=，服从自由度为n 的-2χ分布，记为()n 2~χχ.

（2）设()()n Y N X 2~,1,0~χ，且X 与Y 相互独立，则.n Y

X

T =服从自由度为n 的-t 分

布，记为()n t T ~.

（3）设X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布，则1

22

1n n Y X n Y n X

F ?==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布，记为()21,~n n F F

2.正态总体场合

设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本，记

()2

1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ，则 （1）;,~2???

? ??n N X σμ （2）X 与2

n S 相互独立. （3）()()1~1222

--n S n χσ；或()1~)(2212

--∑=n X X n i i χσ

（4）()n X

n i i 2212

~)(χσμ∑=-

（5）()1~/-=-=n t n

S X T μ

（6）若n X X X ,,,21Λ，2,,21n Y Y Y Λ这21n n +个随机变量相互独立，且都服从正态分布()2,σμN ，则

()()

()1,1~11112112212121------=∑∑==n n F Y Y n X X n F n i i n i i . 即()1,1~2122

21--=n n F S S F

数理统计的基本概念知识点

10 06 数理统计的基本概念 知识网络图 正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→???? ?????????????? 主要内容 一、样本 我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 二、.统计量 1.定义：称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量 2.常用统计量 样本均值 .11 ∑==n i i x n x 样本方差 ∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111 2∑=--=n i i x x n S 样本k 阶原点矩 ∑===n i k i k k x n A 1 .,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩

∑==-=n i k i k k x x n B 1 .,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2 )(σ=， 22)(σ=S E ，221)(σn n B E -=, 其中∑=-=n i i X X n B 1 22)(1，为二阶中心矩。 三、抽样分布 1.常用统计量分布 （1）设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，且均服从与标准正态分布)1,0(N ，则222212n n X X X X Λ++=，服从自由度为n 的-2χ分布，记为()n 2~χχ. （2）设()()n Y N X 2~,1,0~χ，且X 与Y 相互独立，则.n Y X T =服从自由度为n 的-t 分 布，记为()n t T ~. （3）设X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布，则1 22 1n n Y X n Y n X F ?==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布，记为()21,~n n F F 2.正态总体场合 设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本，记 ()2 1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ，则 （1）;,~2??? ? ??n N X σμ （2）X 与2 n S 相互独立. （3）()()1~1222 --n S n χσ；或()1~)(2212 --∑=n X X n i i χσ

统计学中的基本概念

1、2 统计学得几个基本概念 1、2、1 总体与总体单位 1、总体 (1)总体得概念:总体就是指客观存在得、具有某种共同性质得许多个别事物组成得整体; 在统计研究过程当中,统计研究得目得与任务居于支配与主导得地位,有什么样得研究目得就应该有什么样得统计总体与之相适应。例如:要研究我们学院教师得工资情况,那么全体教师就就是研究得总体,其中得每一位教师就就是总体单位;如果要了解某班50个学生得学习情况,则总体就就是该班得50名学生,每一名学生就是总体单位。根据我们研究目得得不同,我们要选取得研究对象也就就是研究总体相应地要发生变化。 (2)总体得分类: 总体根据总体单位就是否可以计量分为有限总体与无限总体: ★有限总体:指所包含得单位数就是有限得总体。 如一个企业得全体职工、一个国家得全部人口等都就是有限总体; ★无限总体:指所包含得单位数目就是无限得,或准确度量它得单位数就是不经济或没有必要得,这样得总体称为无限总体。 如企业生产中连续生产得大量产品,江河湖海中生长得鱼得尾数等等。 划分有限总体与无限总体对于统计工作得意义就在于可以帮助我们设计统计调查方法。很显然,对于有限总体,可以进行全面调查,也可以进行非全面调查,但对于无限总体不能进行全面调查,只能抽取一部分单位进行非全面调查,据以推断总体。 (3)总体得特征: ★大量性:就是指构成总体得单位数要足够得多,总体应由大量得单位所构成。大量性就是对统计总体得基本要求。 个别单位得现象或表现有很大得偶然性,而大量单位得现象综合

则相对稳定。因此,现象得规律性只能在大量个别单位得汇总综合中才能表现出来。只有数量足够得多,才能准确地反应我们要研究得总体得特征,达到我们得研究目得。 ★同质性:指总体中各单位至少在某一个方面性质相同,使它们可以结合起来构成总体。同质性就是构成统计总体得前提条件。 ★变异性:即构成总体得各个单位除了至少在某一方面具有共同性质外,在其她方面具有一定得差异。差异性就是统计研究得主要内容。 如以一个班级得所有学生作为一个总体,则“专业”就是该总体得同质性,而“性别”、“籍贯”等则就是个体之间得变异性;以我院全体教师为一个总体,则“工作单位”就是其同质性,而“学历”、“月工资”等则就是它得变异性。 需要特别说明得三个问题: ★变异就是客观存在得,没有变异得事物就是不存在得; ★变异对于统计非常重要,没有变异就没有统计。这就是因为,如果总体单位之间不存在变异,我们只需要了解一个总体单位得资料就可以推断总体情况了; ★变异性与同质性之间相互联系、相互补充,就是辩证统一得关系。用同质性否定变异性或用变异性否定同质性都就是错误得。 2、总体单位 就是构成总体得每一个个体。 【思维动起来】 对2015年10月份某市小学生得近视情况进行调查: 统计总体就是什么?总体单位就是什么? 总体得同质性就是什么？变异性就是什么？ 3、总体与总体单位得关系 在统计研究中,确定统计总体与总体单位就是十分重要得,它决定于统计研究目得与认识对象得性质。在一次特定范围、目得得统计研究中,统计总体与总体单位就是不容混淆得,二者得含义就是确切得,

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《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? A 2所含样本点数：36342 3=??C A 3所含样本点数：4433=?C 注：由概率定义得出的几个性质：

1、0

逆概率公式：) () ()/(B P B A P B A P i i =),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） 1=∑k k p （可加性和规范性） 补例1：将一颗骰子连掷2次，以ξ 表示两次所得结果之和，试写出ξ的概率分布。解：Ω所含样本点数：6×6=36 所求分布列为：

补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以ξ表示取出3只球中最大号码，试写出ξ的概率分布。 解：Ω所含样本点数：35C=10 以上计算只要求这种离散型的。 补例1：设ξ的概率分布为： 4

求：⑴1-=ξη，2 ξη=的概率分布；⑵ηE 。 解：因为 三、求ξ 或η的方差D ξ =？D η=？ 实用公式ξD =2ξE －ξ2E 其中，ξ2E =2 )(ξE =2)(∑k k k p x 2ξE =∑k k k p x 2

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

统计学中的基本概念

1.2 统计学的几个基本概念 1.2.1 总体和总体单位 1.总体 （1）总体的概念：总体是指客观存在的、具有某种共同性质的许多个别事物组成的整体； 在统计研究过程当中，统计研究的目的和任务居于支配和主导的地位，有什么样的研究目的就应该有什么样的统计总体与之相适应。例如：要研究我们学院教师的工资情况，那么全体教师就是研究的总体，其中的每一位教师就是总体单位；如果要了解某班50个学生的学习情况，则总体就是该班的50名学生，每一名学生是总体单位。根据我们研究目的的不同，我们要选取的研究对象也就是研究总体相应地要发生变化。 （2）总体的分类： 总体根据总体单位是否可以计量分为有限总体和无限总体： ★有限总体：指所包含的单位数是有限的总体。 如一个企业的全体职工、一个国家的全部人口等都是有限总体； ★无限总体：指所包含的单位数目是无限的，或准确度量它的单位数是不经济或没有必要的，这样的总体称为无限总体。 如企业生产中连续生产的大量产品，江河湖海中生长的鱼的尾数等等。 划分有限总体和无限总体对于统计工作的意义就在于可以帮助我们设计统计调查方法。很显然，对于有限总体，可以进行全面调查，也可以进行非全面调查，但对于无限总体不能进行全面调查，只能抽取一部分单位进行非全面调查，据以推断总体。 （3）总体的特征： ★大量性：是指构成总体的单位数要足够的多，总体应由大量的单位所构成。大量性是对统计总体的基本要求。 个别单位的现象或表现有很大的偶然性，而大量单位的现象综合则相对稳定。因此，现象的规律性只能在大量个别单位的汇总综合中

才能表现出来。只有数量足够的多，才能准确地反应我们要研究的总体的特征，达到我们的研究目的。 ★同质性：指总体中各单位至少在某一个方面性质相同，使它们可以结合起来构成总体。同质性是构成统计总体的前提条件。 ★变异性：即构成总体的各个单位除了至少在某一方面具有共同性质外，在其他方面具有一定的差异。差异性是统计研究的主要内容。 如以一个班级的所有学生作为一个总体，则“专业”是该总体的同质性，而“性别”、“籍贯”等则是个体之间的变异性；以我院全体教师为一个总体，则“工作单位”是其同质性，而“学历”、“月工资”等则是它的变异性。 需要特别说明的三个问题： ★变异是客观存在的，没有变异的事物是不存在的； ★变异对于统计非常重要，没有变异就没有统计。这是因为，如果总体单位之间不存在变异，我们只需要了解一个总体单位的资料就可以推断总体情况了； ★变异性和同质性之间相互联系、相互补充，是辩证统一的关系。用同质性否定变异性或用变异性否定同质性都是错误的。 2.总体单位 是构成总体的每一个个体。 【思维动起来】 对2015年10月份某市小学生的近视情况进行调查： 统计总体是什么?总体单位是什么? 总体的同质性是什么？变异性是什么？ 3.总体和总体单位的关系 在统计研究中，确定统计总体和总体单位是十分重要的，它决定于统计研究目的和认识对象的性质。在一次特定范围、目的的统计研究中，统计总体与总体单位是不容混淆的，二者的含义是确切的，是包含与被包含的关系，但是随着统计研究任务、目的及范围的变化，统计总体和总体单位可以相互转化。

第六章数理统计学的基本概念

第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率

函数(联合密度函数为)

3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ，则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑L （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑L 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤L 则称(1)(2)(),,n X X X L 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 1 2 211 ()()()() 11()()n n i i i i i i xy n n x y i i i i x x y y x x y y r S S x x y y n n ====----= = --∑∑∑∑

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

数理统计的基本概念

6 数理统计的基本概念 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 疑难解答 1、采用抽样的方法推断总体，对样本应当有怎样的要求？ 答：为了对总体X的分布进行研究，逐个研究每个个体是不现实的。采用抽样推断总体，其出发点是利用局部认识整体，因此抽出的样本要具有代表性。即要求每个个体被抽取的机会均等，并且抽取一个个体后总体成分不变。首先要求抽样具有“随机性”，第一次抽取的样品X1的可能取值应与总体的可能取值是完全一样的，且去取个个值的概率相同。因此，X1是一个随机变量，并且是与X同分布的随机变量。其次，应具有“独立性”，第一次抽样不改变总体成分，第二次抽取的样品X2可能的值也与X完全一样，且取值的概率也是相同的，因此X2也是与X同分布的一个随机变量且与X1是相互独立的，同样道理，X3，X4，…，X n都是与X同分布的随机变量，并且X1，X2，…，X n是一组相互独立的随机变量，故要求X1，X2，…，X n是简单随机样本。 2、什么是简单随机样本？在实践中如何获得简单随机样本？ 答：设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果它满足以下两个条件，则称它为简单随机样本： （1）X1，X2，…，X n与总体X具有相同的分布 （2）X1，X2，…，X n相互独立 由简单随机样本的定义知，用简单随机样本研究总体，可以更好地用概率论中独立条件下的一系列结论，正是这些结论为概率统计提供了必要的理论基础。 一般说来，对总体进行独立重复观测，便可以获得简单随机样本。 具体来说，当抽取样本容量n相对于总体数N很小时（一般) ≤ n），则连续抽 N 10 1 取n个个体，就近似地看做一个简单随机样本。这是因为抽取的个数很小时，可认为对总体不影响或影响很小。 如果采取有放回抽样，则不必要求n相对很小。 3、什么叫大样本和小样本？它们之间的区别是否是一样本容量的大小来区分的？ 答：在样本容量固定的条件下，进行的统计推断、分析问题称为小样本问题，而在样本容量趋于无穷的条件下，进行的统计推断、分析问题称为大样本问题。 然而，众多统计推断与分析问题与统计量或样本的函数的分布相关联。能否得到有关统计量或样本的函数的分布常成为解决问题的关键。所以，大、小样本的区分常与这一分布 *该部分内容考研不作要求。

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P

A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0

统计学基本概念

基本概念 1、统计的含义：统计工作、统计资料、统计学 2、社会经济统计学的特点：数量性、社会性、综合性 3、统计工作的职能：统计信息职能、统计咨询职能、统计监督职能 4、统计工作过程：统计调查、统计整理、统计分析 5、统计调查的质量要求：准确性、全面性、及时性、有效性 6、专门调查的方法：普查、重点调查、典型调查、抽样调查 7、统计调查的方法：直接观察法、报告法、采访法、通讯法、实验调查法、网上调查法 8、次数分布的主要类型：钟型分布、U型分布、J型分布 9、统计表的结构，从组成要素看，由总标题、横行与纵栏标题、指标数值等三部分组成 10、统计表的结构，从容上看，由主词、宾词两部分构成 11、统计分析方法：综合指标、动态数列、统计指数、相关回归、抽样推断 12、综合指标从它的作用和方法特点的角度可概括为三类：总量指标、相对指标、平均指标 13、相对指标的种类：计划完成相对指标、结构相对指标、比例相对指标、比较相对指标、强度相对指标、动态相对指标 14、平均指标的种类：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数 15、测定标志变动度的主要方法：全距、四分位差、平均差、标准差、离散系数

16、动态数列按构成其指标数值的性质不同分为：绝对数动态数列、相对数动态数列、平均数动态数列 17、动态数列的水平分析指标：发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量 18、动态数列的速度分析指标：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度 19、测定长期趋势常用的主要方法：间隔扩大法、移动平均法、最小平方法 20、指数按其反映指标性质不同分为：数量指标指数和质量指标指数 21、指数按其表现形式不同分为：综合指数、平均指数、平均指标对比指数 22、相关关系按其方向不同分为:正相关和负相关 23、相关关系按其涉及因素多少分为：单相关和复相关 24、相关关系按其形式不同分为：直线相关和曲线相关 25、抽样调查的组织形式：简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整群抽样、多阶段抽样 26、总体参数的抽样估计方法为点估计和区间估计。 统计分析 1．某市某“五年计划”规定计划期最末一年甲产品产量应达到75万吨，假定每天产量相等，实际生产情况如下表所示（单位：万吨）。试计算该市甲产品产量五年计划完成程度和提前完成计划的时间。 第一年第二年第三年56 58 62 第四年一季二季三季四季16 17 18 18

《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

第五章 数理统计的基本概念 一. 填空题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 ), 且随机变量)1(~) (22 1 χ∑==n i i X C Y , 则常数 C=___. 解. ∑=n i i X 1 ~ N(0, n σ2 ), )1,0(~1 N n X n i i σ ∑= 所以 2 1,1σ σ n c n c = = . 2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2 43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100) )1,0(~2022 1N X X -, )1,0(~1004343N X X - 20 1 ,20 1 = = a a ; 100 1,100 1 = = b b . Y 为自由度2的χ2分布. 3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以 E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n) ,)(n X E = 22) ()(2 2 1=?= =∑=n n n n X D X D n i i 二. 单项选择题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 )的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1 2 21的方差为 (A) σ2 (B) n 2 σ (C) n 42σ (D) n 4 σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以

最新概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 A与事件B的和事件，指当且仅当 A，B A与事件B的积事件，指当A，B同 A与事件B的差事件，指当且仅当 A发生、B 则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A 与事件B互为对立事件 2．运算规则 §3．频率与概率 定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A 件A发生的频数A发生的频率 概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率 1 （1）非负性：对于每一个事件 （2）规范性：对于必然事件

（3）可列可加性 2．概率的一些重要性质： （i （ii ） （iii ）设A ，B （iv ）对于任意事件A （v （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B §4等可能概型（古典概型） 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件 A 包含 k 个基本事件， 即 ，里 §5．条件概率 （1） 定义：设A,B A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 （2） 条件概率符合概率定义中的三个条件 1。 非负性：对于某一事件B 2。 规范性：对于必然事件S 3可列可加性：设是两两互不相容的事 件，则有

（3） 乘法定理 设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式 （4） 全概率公式： ∑== n i i i B A P B P A P 1 )|()()( 贝叶斯公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( §6．独立性 定义 设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与— ———与，与， B A B A B 第二章 随机变量及其分布 §1随机变量 定义 设随机试验的样本空间为X(e)X {e}. S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量 §2离散性随机变量及其分布律 1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量 k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞ =1 k k P =1 2． 三种重要的离散型随机变量 （1） 分布 设随机变量 X 只能取 与 1 两个值，它的分布律是 )101,0k p -1p )k (k -1k <<===p X P （，）（，则称X 服从以p 为参数的 分布或两 点分布。 （2）伯努利实验、二项分布 设实验E 只有两个可能结果：A 与— A ，则称E 为伯努利实验.设

第6章 数理统计的基本概念1内容框图

第6章 数理统计的基本概念 6.1 内容框图 6.2 基本要求 （1） 理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常用统计量的公式. （2） 掌握矩法估计和极大似然估计的求法，以及估计无偏性、有效性的判断. （3） 掌握三大抽样分布定义，并记住其概率密度的形状. （4） 理解并掌握有关正态总体统计量分布的几个结论，如定理6.4~6.9及定理6.11. 6.3 内容概要 1) 总体与样本 在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为 ξ，η，… 。对总体进行 n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（n X X X ,,,21Λ），（n Y Y Y ,,,21Λ），……，其中，试验次数 n 称为样本容量。样本（n X X X ,,,21Λ）中的每一个 i X 都是随机变量。样本所取的一组具体的数值，称为样本观测值，记为

（n x x x ,,,21Λ） 。 具有性质： （1）独立性，即 n X X X ,,,21Λ 相互独立。 （2）同分布性，即每一个 i X 都与总体 ξ 服从相同的分布。 称为简单随机样本 。 如果总体 ξ 是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合概率分布为∏∏====== ===n i i n i i i n n x P x X P x X x X x X P 1 1 2211}{}{},,,{ξΛ。 如果总体 ξ 是连续型随机变量，概率密度为 )(x ?，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合概率密度为 ∏∏==== n i i n i i X n x x x x x i 1 1 21)()(),,,(*?? ?Λ 。 如果总体 ξ 的分布函数为 )(x F ，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合分布函数为 ∏∏====n i i n i i X n x F x F x x x F i 1 1 21)()(),,,(*Λ 。 2)用样本估计总体的分布 数理统计的一个主要任务，就是要用样本估计总体的分布。 参数估计又可以分为两种，一种是点估计，另一种是区间估计。 3) 矩法估计 求矩法估计的步骤为： （1）计算总体分布的矩),,,()(21m k k f E θθθξΛ=，m k ,,2,1Λ=，计算到m 阶矩 为止（m 是总体分布中未知参数的个数）。 （2）列方程 ?????????======∧ ∧∧ m m m m m m X E f X E f X E f )()?,,?,?()()?,,?,?()?,,?,?(2122212211ξθθθξθθθξθθθΛΛ ΛΛΛ 从方程中解出m θθθ?,,?,?21Λ，它们就是未知参数m θθθ,,,21Λ的矩法估计。

统计学中的基本概念

统计学的几个基本概念 总体和总体单位 1.总体 （1）总体的概念：总体是指客观存在的、具有某种共同性质的许多个别事物组成的整体； 在统计研究过程当中，统计研究的目的和任务居于支配和主导的地位，有什么样的研究目的就应该有什么样的统计总体与之相适应。例如：要研究我们学院教师的工资情况，那么全体教师就是研究的总体，其中的每一位教师就是总体单位；如果要了解某班50个学生的学习情况，则总体就是该班的50名学生，每一名学生是总体单位。根据我们研究目的的不同，我们要选取的研究对象也就是研究总体相应地要发生变化。 （2）总体的分类： 总体根据总体单位是否可以计量分为有限总体和无限总体： ★有限总体：指所包含的单位数是有限的总体。 如一个企业的全体职工、一个国家的全部人口等都是有限总体； ★无限总体：指所包含的单位数目是无限的，或准确度量它的单位数是不经济或没有必要的，这样的总体称为无限总体。 如企业生产中连续生产的大量产品，江河湖海中生长的鱼的尾数等等。 划分有限总体和无限总体对于统计工作的意义就在于可以帮助我们设计统计调查方法。很显然，对于有限总体，可以进行全面调查，也可以进行非全面调查，但对于无限总体不能进行全面调查，只能抽取一部分单位进行非全面调查，据以推断总体。 （3）总体的特征： ★大量性：是指构成总体的单位数要足够的多，总体应由大量的单位所构成。大量性是对统计总体的基本要求。 个别单位的现象或表现有很大的偶然性，而大量单位的现象综合则相对稳定。因此，现象的规律性只能在大量个别单位的汇总综合中

才能表现出来。只有数量足够的多，才能准确地反应我们要研究的总体的特征，达到我们的研究目的。 ★同质性：指总体中各单位至少在某一个方面性质相同，使它们可以结合起来构成总体。同质性是构成统计总体的前提条件。 ★变异性：即构成总体的各个单位除了至少在某一方面具有共同性质外，在其他方面具有一定的差异。差异性是统计研究的主要内容。 如以一个班级的所有学生作为一个总体，则“专业”是该总体的同质性，而“性别”、“籍贯”等则是个体之间的变异性；以我院全体教师为一个总体，则“工作单位”是其同质性，而“学历”、“月工资”等则是它的变异性。 需要特别说明的三个问题： ★变异是客观存在的，没有变异的事物是不存在的； ★变异对于统计非常重要，没有变异就没有统计。这是因为，如果总体单位之间不存在变异，我们只需要了解一个总体单位的资料就可以推断总体情况了； ★变异性和同质性之间相互联系、相互补充，是辩证统一的关系。用同质性否定变异性或用变异性否定同质性都是错误的。 2.总体单位 是构成总体的每一个个体。 【思维动起来】 对2015年10月份某市小学生的近视情况进行调查： 统计总体是什么总体单位是什么 总体的同质性是什么变异性是什么 3.总体和总体单位的关系 在统计研究中，确定统计总体和总体单位是十分重要的，它决定于统计研究目的和认识对象的性质。在一次特定范围、目的的统计研究中，统计总体与总体单位是不容混淆的，二者的含义是确切的，是包含与被包含的关系，但是随着统计研究任务、目的及范围的变化，统计总体和总体单位可以相互转化。

统计学中的基本概念

1、2统计学得几个基本概念 1. 2. 1总体与总体单位 1、总体 ⑴总体得概念:总体就是指客观存在得、具有某种共同性质得许多个别事物组成得整体； 在统计硏究过程当中，统计研究得目得与任务居于支配与主导得地位， 有什么样得硏究目得就应该有什么样得统计总体与之相适应。例如:要硏究 我们学院教师得工资情况，那么全体教师就就是研究得总体，其中得每一位 教师就就是总体单位;如果要了解某班50个学生得学习情况，则总体就就是该班得50名学生，每一名学生就是总体单位。根据我们研究目得得不同,我们要选取得研究对象也就就是研究总体相应地要发生变化。 ⑵总体得分类： 总体根据总体单位就是否可以计量分为有限总体与无限总体：★有限总体:指所包含得单位数就是有限得总体。 如一个企业得全体职工、一个国家得全部人口等都就是有限总体； ★无限总体:指所包含得单位数目就是无限得，或准确度量它得单位数就是不经济或没有必受寻这样得总体称为无限总体。 如企业生产中连续生产得大量产品，江河湖海中生长得鱼得尾数 划分有限总体与无限总体对于统计工作得意义就在于可以帮助我们设计统计调查方法。很显然，对于有限总体，可以进行全面调查，也可以进 行非全面调查，但对于无限总体不能进行全面调查，只能抽取一部分单位 进行非全面调查，据以推断总体。 ⑶总体得特征: ★大量性:就是指构成总体得单位数要足够得多，总体应由大量得单位所构成。大量性就是对统计总体得基本要求。 个别单位得现象或表现有很大得偶然性，而大量单位得现象综合则相对稳定。因此,现象得规律性只能在大量个别单位得汇总综合中才能表现出来。只有数量足够得多，才能准确地反应我们要研究得总体得特征，达到我们得研究目得。

自考概率论与数理统计知识点汇总复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0)(>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）

数理统计的基本概念汇总

6数理统计的基本概念 6.1 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 6.2 内容提要 6.2.1 总体和样本 1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。 2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。 3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。 4 样本的联合分布 *该部分内容考研不作要求。 149

150 若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为 ∏==n i i n x F x x x F 1 21) (),,,( 若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为 ∏== n i i n x f x x x f 1 21) (),,,( (6.1) 若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为 ∏======n i i i n n x X P x X x X x X P 1 2211} {},,,{ (6.2) 其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。 6.2.2 样本分布 1 频率分布 设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中 x 1* < x 2* <…< x l *且 n n l i i =∑=1 。 则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅 当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅 当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=??

徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）