微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第八章习题详解
第七章
习题7-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：
(1)z=(2)
1
ln()
z
x y
=
-
；
(3)z=arcsin y
x
；(4)z
arccos（x２+y２）．
解：（1）要使函数有意义，必须
22
22
10
x y
a b
--≥即
22
22
1
x y
a b
+≤，
则函数的定义域为
22
22
(,)|1
x y
x y
a b
??
+≤
??
??
，如图8-1阴影所示
.
图8-1 图8-1
（2）要使函数有意义，必须
ln()0
x y
x y
-≠
?
?
->
?
即
1
x y
x y
-≠
?
?
>
?
，
则函数的定义域为{(,)|
x y x y
>且1}
x y
-≠,如图8-2所示为直线y x
=的下方且除去1
y x
=-的点的阴影部分（不包含直线y x
=上的点）.
（3）要使函数有意义，必须
1
y
x
x
?
≤
?
?
?≠
?
,即
11
y
x
x
?
-≤≤
?
?
?≠
?
，即
x y x
x
-≤≤
?
?
>
?
或
x y x
x
≤≤-
?
?
<
?
，所以函数的定义域为
{(,)|0
x y x>且}{(,)|0,}
x y x x y x x y x
-≤≤<≤≤-
，
如图8-3阴影所示.
图8-3 图8-4
（4
）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ??
≥??+≤?
即
2
22001x y x y x y ≥??≥?
?≥?
?+≤?
, 所以函数的定义域为
222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,
如图8-4阴影所示.
２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ??
???
； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）3
2
(2,3)(2)2(2)33331f -=--?-?+?=;
（2）2
3
321211221412
,23f x y x x y y x xy y ??????=-??+=-
+ ? ? ???????
; （3）3
2
(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3
2
2
2
()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )
f
，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式． 解：由(,1)F x x =
得1)x f =
即
1)1f x =-
1t =则2
(1)x t =+代入上式有
2()(1)1(2)f t t t t =+-=+
所以 ()(2)f x x x =+
于是
(,)1)1) 1
F x y f x ===-
４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：
(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２
＋y ２
＞０｝； (4)(0,2]A =． 解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<
边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点? 边界点A 聚点A （3）内点A
边界点（0，0） 聚点A
（4）内点? 边界点[0,2] 聚点[0,2]
习题7-2
１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：
(1) z =2
24
xy x y
+； (2) z =x y x y +-． 解：(1)当(,)P x y 沿曲线2
x ky =趋于（0，0）时，有2
424
4200lim (,)lim 1y y y kx
ky k
f x y k y y k →→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数2
24
Z=xy x y
+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有
00
1lim (,)lim
(1)1y x y kx
x kx k
f x y k x kx k
→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数
Z=
x y
x y
+-在(0,0)处的极限不存在. ２．求下列极限：
(1) 00
sin lim
x y xy x →→； (2)2201
1lim x y xy
x y
→→-+；
(3)00
x y →→ (4)22
sin lim x y xy x y →∞→∞
+．
解：（1）0000
sin sin()
lim
lim 0x x y y xy xy y x xy →→→→=?=
（2）2222
1
1101
lim
101x y xy x y →→--?==++
（3
）0000
00
1)2x x x y y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，
22
1
x y
+是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim
0x y xy
x y →∞→∞
=+.
３．求函数z =2222y x
y x
+-的间断点．
解:由于2
20y x -=时函数无定义，故在抛物线2
2y x =处函数间断，函数的间断点是
2{(,)|2,R}x y y x x =∈.
习题7-3
１．求下列各函数的偏导数：
(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntan
y x
； (3) z =arctan y
x
； (4) u =z
x y ．
解：（1）
1(1)y z
y x x
-?=+?
(1)ln(1)y z
x x y
?=++?; （2）22221sec cot sec ;tan z y y y y y y
x x x x x x x
?-=??=-? 2
21
11sec cot sec ;tan z y y y y
y x x x x x
x
?=??=? （3）
2
2221;1z
y y
x
x x y
y x ?--=?=?+??+ ???
2
22
1
1;1z
x y
x x y y x ?=?=?+??+ ???
（4）22ln ln ;z z
x x u z z y
y y y x x x
?-=??=-??
1;1ln ln .z
x
z
z x x
u z y y x
u y y y y z x x
-?=??=??=??
２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．
解：sin sin sin (,)e (cos )(2)e e [cos (2)1]x x x x f x y x x y x x y ---'=?-++=-?++ s i n
s i n
(,)e
2
2e
x x y f x y --
'=?= 所以sin0(0,1)e (cos0(021)1)1x f -'=-?+?+=- s i n 0
(0,1)2e 2
y f -'=
= ３．设z =x +y +(y -
，求
11281
1
,
x x y y z z x y
=
=
==????．
解：
1122
1
1
2
d (,1)d
(1)1d d x x y x z f x x x
x x
=
=
==?=
=
+=?
又
2
3
211(3z x x y y y y
-
???-=+-? ????
所以
181
1π11arcsin 126
x y z y
=
=?=+=+=+?. ４．验证z =11+e
x y ??
- ???
满足2
22z z
x
y z x y
??+=??． 解：11
11
()()2211e e
x y
x y z x x x
-+-+?-=?-=? 11
11
()()2211e e
x y
x y
z y y y
-+-+?-=?-=?
所以1111
()()2
2222211e e
x y
x y z z x y x y x y x y
-+-+??+=?+??? 11
()
2e 2x y
z --+==
５．设函数z =222
24
22,00,0xy x y x y x y ?+≠?+??+=?
,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?
解：0
0(0,0)(0,0)00
(0,0)lim lim 0y y y f y f z y y ?→?→+?--'===?? 0
0(0,0)(0,0)00(0,0)lim
lim 0x x x f x f z x x
?→?→+?--'===?? 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.
６．求曲线22(),4z x y y ?
=+?
??=?
14
在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 解：因为 242z x x x ?==?，故曲线221()44z x y y ?=+???=?
在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)
1z x ?=?,
所以切线与x 轴正向所成的倾角π
arctan14
α==
.
７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ． 解：,z z
y x x y ??==??
∴ d d d z z
z x y x y
??=
+?? 而()()z x x y y xy x y y x x y ?=+?+?-=?+?+?? 当0.1,0.2,2,3x y x y ?=?=-==时，
d 30.12(0.2)0.1z =?+?-=-
2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ?=?-+?+?-=-. ８．求下列函数的全微分：
(1) 设u =()z
x y
，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z
，求d z ．
解：（1）
1121(),()z z u x u x x z z x y y y y y --??-=??=????;
()ln ,z u
x x z
y y ?=? (1,1,1)
(1,1,1)
1,1,
u
u x y
??∴
==-?? (1,1,1)
0u z
?=?,于是(1,1,1)
(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)
d d d d d d z z z u
x y z x y x
y
z
???=
++
=-???
（2
）z x
?==?
2z
y
?==? ∴
2
2
d d d d d z z z x y x
y
x y ??=+=??
习题7-4
１．求下列各函数的导数：
(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1
t
，y
．
解：（1）
d d d d d d z z x z y
t x t y t
??=+??? 2
2323232cos 3e 2(sin )e 32=2e
(3sin )
2e (3sin )
x y x y x y
t t t t
t t t t ++++=??-+??-=-
（2）
d d d d d d z f f x f y t t x t y t
???=+?+????
2232232
22321sec (32)3sec (32)4 sec (32)3t x y t x y x
t t x y y -=++?+++?+++?
32
23242(3(3)t t t t
=-++. ２．求下列各函数的偏导数：
(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;
(2) z =e uv , u =
v =arctan
y x
． 解：（1）
z z x z y
u x u y u
?????=?+?????? 2222222222
2(2)cos (2)sin 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 3sin cos (cos sin )
xy y v x xy v
u v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-
z z x z y v x v y v
?????=?+?????? 2232333332
3333(2)sin (2)cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )
xy y u v x xy u v
u v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++
（2）
221e e 1()uv uv z z u z v y v u y x u x v x x x
?????-=?+?=???????+
arctan
2222
e e
()(arctan
y
uv
x
y
xv yu x y x y x y x
=-=-++
211
e e 1()uv uv z z u z v
v u y y u y v y
x
x
?????=?+?=+?
??????+
2222
e e
()(arctan
ln y uv
x
y
yv xu x x x y x y x
=
+=+++ ３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (
,x y
y z
)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )． 解：（1）
121110u f f f x y y ?'''=?+?=?
12212211u x x f f f f y y z z y ?-''''=?+?=-?
122220u y y f f f z z z
?-'''=?+?=? （2）令22,u x y =+则()z f u =
22d ()22()d z f u f u x xf x y x u x
??''=?=?=+??
22d ()22()d z f u f u y yf x y y u y
??''=?=?=+?? （3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.
123123d 1d u f t f v f w f f y f yz f yf yzf x t x v x w x
??????''''''=?+?+?=?+?+?=++?????? 12323d 0d u f t f v f w f f x f xz xf xzf y t y v y w y
??????'''''=?+?+?=?+?+?=+??????
1233d 00d u f t f v f w f f f xy xyf z t z v z w z
??????''''=?+?+?=?+?+?=?????? ４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =y
x
，Ｆ（u ）可导．证明：
2z z
x
y z x y
??+=??． 证：222()()2()()z y
y xF u x F u y xF u yF u x x
?-''=++?=+-?
21
()()z x x F u x xF u y x
?''=+?=+?
22()()()z z
x
y xy x F u xyF u xy xyF u x y
??''∴==+-++?? 22[()]x y x F u z
=+=? ５．利用全微分形式不变性求全微分：
(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =
222
()
y
f x y z --，f 可微． 解：（1）令22,sin(2)u x y v x y =+=+，则v
z u =
122d d d d()ln d sin(2)v v z z
z u v vu x y u u x y u v
-??=
+=++?+??
122sin(2)22
22
(2d 2d )ln cos(2)d(2)[2(d d )ln cos(2)(2d d )]
2sin(2)()(d d )cos(2)ln()(2d d )v v v x y vu x x y y u u x y x y v
u x x y y u x y x y u
x y x y x x y y x y x y x y x y -+=++?++=?++?++??+=++++++??+??
（2）22222222111d d d d ()d()y
u y y f y f x y z x y z f f f f
-'=
+?=-----
2222
2
2
2
22222221()d (2d 2d 2d )12()
d (d d d )
()()
yf x y z y x x y y z z f f yf x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=
-------
６．求下列隐函数的导数：
(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设
x z =ln z
y
，求
,z z x y ????． 解：（1）设(,,)e e 0x y
x F x y z xyz +=+-=，则
e
e ,e ,x y
x x y x y z F yz F xz F xy ++'''=+-=+=
故e e e ,x x y x y
y x y z F Fx yz xz
z z Fz xy F xy
++'--+''=-==-=-
（2）设(,,)ln 0x z
F x y z z y
=
-=,则 2221111
,,x y z y z x y x F F F z z y y z z y z z
--'''=
=-?==-?=--
故
21
x z F z z z x
F x z z z '?=-=-=
'?+--
221
1()y z F z z y
x y
F y x z z z
'?=-=-=
'?+-- ７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z z
z
y x x y
??+=??． 证：设22(,,)()F x y z x z yf x z =+--
则2212()x F xyf x z ''=--
222
2
()12()
y z F f x z F yzf x z '=--''=+-
故2222
2()112()x z F z
xyf x z x F yzf x z ''?--=-=''?+- 2222
()12()y z
F z f x y y yzf x z F '?-=-='?+-' 从而22222222
()()
12()12()
z z xyzf x z z yf x y z y x y yzf x z yzf x z '???---+=+''??+-+- 222222222222222()()
12()
2()12()
[2()1]12()
xyzf x z z yf x y yzf x z xyzf x z z x z
yzf x z x yzf x z x yzf x z '--+-=
'+-'--++=
'+-'-+=='+-
８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求
z x ??及z y
??． 解法一：由e cos ,e sin u u
x v y v ==得
221ln(),arctan ,2y
u x y v z uv x
=
+== 故
22(cos sin )e u
z z u z v xv yu v v u v x u x v x x y
-?????-=+==-?????+
22
(sin cos )e u
z z u z v yv xu v v u v y u y v y x y
-?????+=+==-?????+ 解法二：设方程组e cos e sin u
u
x v
y v
?=??=??确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得
1e cos e sin 0e sin e cos u
u u u u v v v x x
u v v v x x ???=-?????
???=+????
解方程组得e cos e sin u u u
v x
v v x --??=??????=-???
又方程组的两个方程关于y 求偏导得
0e cos e sin 1e sin e cos u
u u u u v v v y y u v v v
y y ???=-????
?
???=+????
解方程组得：
e sin e cos u
u u v y v v y
--??=???
?
??=??? 从而
e (cos sin )u z z u z v
v v u v x u x v x
-?????=?+=-?????
e (s i n c o s )u
z z u z v v v u v y u y v y
-?????=?+?=+????? ９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0xy
e y -=和e z -xz =0确定，求d d u
x
． 解：方程e 0xy
y -=两边对x 求导得
d d
e ()0d d xy
y y y x x x +-=，解得2
d e d 1e 1xy xy y y y x x xy
==
-- 方程e 0z
xz -=两边对x 求导得
d d
e 0d d z
z z z x x x
--= 解得
d d
e z z z z x x xz x
==-- 从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y z
f f f f x x x xy xz x
''''''=++=++
--
习题8-5
１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctan
y x
； (3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )．
解：（1）232
22248, 128;z z x xy x y x x
??=-=-??
232
2222
48, 128;1622z z y x y y x y y z
xy x y
??=-=-???=-
（2）
222
21,1()z y y y x x x y x
?-=?=-?++ 22
222222222
22222222
22222
2222
22
11,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y x x y x
z y xy
x x x y x y z x xy
y y x y x y z x y y y y x x y x y x y ?=?=?++?-=-?=?++?--=?=?++?+-?-=-=??++
（3）
1ln , ,x x z z
y y xy x y
-??==??
222
2222
11ln , (1),1
ln (1ln )x x x x x z z y y x x y x y z xy y y y x y x y y
---??==-???=+?=+??
（4）
1
ln()1ln(),z xy x y xy x xy
?=+??=+?
222
22
211
,1,11
.z y x xy x z x x x y xy y z x
y y z x x y xy y
?=?=??=??=??=-??=?=??
２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微： (1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )．
解：（1）2222, 22224z z
xf f xf x f x f x x
??'''''''==+?=+?? 2222, 22224z z
yf f yf y f y f y y ??'''''''==+?=+??
2224z
xf y xyf x y
?''''=?=??
（2）
1212, =+2 z z
yf f xf f x y
??''''=+?? 22111221221112222
(1)12z
y f y f f y f y f yf f x
?''''''''''''''=?+?+?+?=++? 22
111221*********
(2)2(2)44z x f x f f x f x f xf f y
?''''''''''''''=?+?+?+?=++? 2111
122122111
1222(2)2 (2)2z
f y f x f f x f x y f xyf x y f f ?'''''''''=++?+?+???'''''''=++++
３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数． 解：设(,,)e 0z
F x y z xyz =-=，则
,,e z x y z F yz F xz F xy '''=-=-=-
于是
,e x z z F z yz z
x F xy xz x
?=-==?--
e z z xz z
y xy yz y
?==
?-- 从而
2
22()
(1)()z z xz x z z x z
x x x
xz x ??--+-???=?-23
2223
(1)221.(1)(1)
z z z z z z z z x z x z --+---==-- 2
23222223()(1)(1)221.()(1)(1)
z z
z yz y z z y z z z z z z z y y z y yz y y z y z ??--+---+?--??-===?--- 2
22
2233
()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z z xz x z x z z z z z y y y y z x y xz x x z xy z xy z ??---?---??-====??----
习题8-6
１．求下列函数的极值： (1) z=x ３
-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0． 解：（1）由方程组：
23820
220
x
y z x x y z x y ?'=-+=??
'=-=?? 得驻点（0，0），（2，2） 又68,2,2,xx xy yy z x z z ''''=-==-
在点（0，0）处，2
120B AC -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B AC -=>该点不是极值点.
（2）由方程组
222e (2241)0e (22)0
x x
x y z x y y z y ?'=+++=??'=+=?? 得驻点1
(,1)2
-.
又22
22e (4484),e (44),2e x
x
x
xx xy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，
在点1
(
,1)2
-处22202e 2e 4e 0,B AC -=-?=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值
11(,1) e.22
f -=- （3）由方程组
(2)0
(2)0
x
y z y a x y z x a y x ?'=--=??
'=--=?? 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.
33a a a a ?? ???
又2,22,2xx xy yy z y z a x y z x ''''''=-=--=-.
在点（0，0）处，220,B AC a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，2
2
0B AC a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，2
2
0B AC a -=>,该点不是极值点.
在点,33a a ?? ???
处,22
03a B AC -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3
,3
327
a
a a f ??= ???,由于23xx A z a ''==-故 当0a >时，(0)A <，函数有极大值3
27a ,
当0a <时，(0)A >，函数有极小值3
27
a .
２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以
(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函
数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.
解：由方程23820
220
x
y z x x y z x y ?'=-+=??'=-=??得驻点（0，0），（2，2）
（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.
D 的边界可分为四部分：
12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤
在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ?-=---=-≤≤
因为()2(1)0,y y ?'=-+≤所以()y ?单调递减，因而(1)4?-=-最大，
(1)8?=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤
令()0g x '=得124433
x x =
=
.
而122227
min{(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==
,
1214227
m a x {(1),(),(),(4)}
()27
g g x g x g g x -==
分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.
类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.
比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数
(,)f x y 在D 上的最大值，116.1f ?-=≈-????
. ３．求函数z =x +y 在条件11
1x y
+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值． 解：构造拉格朗日函数
11(,)1F x y x y x y λ??
=+++- ???
解方程组
22
10
10111x y F x F y x y
λλ?'=-=??
?'=-=??
?+=?? 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。
又2
2
d d d d d F x y x y x
y λ
λ
=+-
-,
2
22
3322d (d )(d )F x y x y λλ=
+ 223388(d )(d )x y x y
=
+ 由0,0x y >>知2
d 0F >，所以函数z x y =+在(2,2)处有极小值4z =.
*４．求曲线y
(a ,0)的最小距离． 解：设(,)p x y
为曲线y =
p 到定点(,0)a 的距离为d ，则
22()d x a y 2=-+
此问题可转化为求222()d x a y =-+
在条件y =.
先构造拉格朗日函数
22(,)()(F x y x a y y λ=-++
解方程组
2()020
x
y F x a F y y λ?'
=-=???
'=+=??
=???
得 12
x a =- 由题意0,x ≥故12
a ≥
. 于是当12a ≥
时，2
14d a =-
又1
2
a <
时，最短距离||d a =. ５．把正数a 分解成三个正数之和，使它们的乘积最大．
解：设三个正数为,,x y z ,则要求函数u xyz =在条件(0,0,0)x y z a x y z ++=>>>下的极值.
先构造拉格朗日函数
(,,)()F x y z xyz x y z a λ=+++-
解方程组
00
0x y z F yz F xz F xy x y z a
λλλ?'=+=??'=+=??
?'=+=?++=?? 得3a x y z ===,2
9
a λ=-.
又 d d d d (d d d F x y z x z y y z x x y z
λ=+++++ 由d()0x y z ++=得d (d d )z x y =-+
∴ 2d 2d d 2d d 2d d F y x z x y z z x y =++
22222
[d d (d d )]3
1
[(d d )(d )(d )]0
3
a x y x y a x y x y =
-+=--++<
所以当3a x y z ===时，乘积xyz 有最大值3
27
a u =.
６．设生产某种产品的数量f (x ,y )与所用甲、乙两种原料的数量x ,y 之间有关系式f (x ,y )＝
0.005x 2y ，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原料各多少，使产量f (x ,y )最大?最大产量是多少?
解：依题意知要求函数(,)f x y =0.0052
x y 在条件2150x y +=下的极值，为此，先构造拉
格朗日函数.
2(,)0.005(2150)F x y x y x y λ=++-,
解方程组
2
0.0100.005202150x y F xy F x x y λλ?'=+=??'=+=??
+=??
得 100
25x y =??
=? 或 0
75
x y =??
=?（依题意，舍去） 得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在，故当100,25x y ==时，产量(,)f x y 最大，最大产量为(100,25)1250f =.
７．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x 件甲产品和y 件乙产品的总成本为：
Ｃ=400+2x +3y +0.01 (3x 2+xy +3y 2)（万元）
又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量． 解：依题意销售x 件甲产品和y 件乙产量的总收入
(,)109R x y x y =+
总利润(,)(,)(,)L x y R x y C x y =-
22864000.01(33)x y x xy y =+--++
又知100x y +=，故要求函数(,)L x y 在约束条件100x y +=的极值，为此构造拉格朗日函数:
22(,)864000.01(33)(100)F x y x y x xy y x y λ=+--++++-
解方程组
80.060.01060.010.060100x y F x y F x y x y λλ?'=--+=??'
=--+=??
+=??
得唯一驻点(70,30)，由问题的实际意义知，最值一定存在，故当70,30x y ==时，即生产甲产品70件，乙产品30件时，企业获得最大利润，最大利润为(70,30)145L =万元.
习题8-7
1． 将二重积分
(,)d d D
f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成； (3) 由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成．
微积分 课后习题答案
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1 ),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f += +=+=2 2 2 ) ,(1; ),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(2 2 -+ -= y x y x f （2）;) 1ln(4),(2 2 2 y x y x y x f ---= （3）;1),(2 22 22 2c z b y a x y x f - - -= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---+ + = 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=
（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限： （1）2 2 1 01lim y x xy y x +-→→= 11 001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim 2 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）4 1) 42() 42)(42(lim 42lim 00 0- =++ +++- =+- →→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2)sin(lim )sin(lim 20 2=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0y x y x y x -+→→ （2）2 2 2 2 20 0) (lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 20 -=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 20 ==-+→→=→y y y x y x y y x y
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
微积分第五章第六章习题答案
习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
大学高等数学上考试题库及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
高等数学第七章微分方程试题及答案
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
微积分--课后习题答案
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1） （2） （3） （4） 4（1）1 lim y x →→（2）lim 1→→y x
（3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y 所以极限不存在。 （2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0( 则1lim )(lim 44 022 2220 0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244 0222220 20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。 6．指出下列函数的间断点： （1）x y x y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。 解 （1）为使函数表达式有意义，需022 ≠-x y ，所以在022 =-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z += ,21x y y x z -=??，2 1y x x y z -=??. (2) )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x z -=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y z -=-=??
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜
安徽大学高等数学期末试卷和答案
安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润 最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则
《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）
高等数学 课后习题答案第七章
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
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