数列极限练习题[1]

3322

11

1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3

4

4.lim ______1234....(21)2

5.lim _____1

(2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n →∞→∞++→∞→∞

→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题

21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____

(2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞

→∞

→∞

→∞

--=+??-+++-=??????+--=== ?+??

-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1

(3)1,lim()1

13(1)

12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n

n n a b a b n n n a S a n n a S →∞

-→∞

→∞

-=-??≤≤?+?=???≥??求的值

若为数列的前项和求

{}{}12123101511113.,9,27,,lim 3114.,1,,,

32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n

n n n n

n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞

→∞

++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且

求范围

数列都是公差不为的等差数列12211212

22

1121

,lim 2,

...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n

n n n

n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n

a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围

数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521

111,1...20.lim

...121.{},lim()12

n n n n

n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-=

+求范围求等比数列公比为求取值范围

1122241222

13212

22.{},1,3

(1)lim (2)lim(...)

23.{},4,16,lg lg ...lg lim 24.{},53,lim(...)

25.()2(2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x →∞

→∞

++→∞-→∞

=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求

设正数等比数列求数列前项和为求已知函数111122

1

1)(1)()

(2){}1()2,{}{},

2lim()n n n n n n n n n n n n n n f x a n S n S f S a a a

a n T a a T n ---++→∞

==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式(3)设C 又设数列C 前项和为求的值

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为

数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3

【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，

数列的极限经典习题

Chap1 数列的极限 1. 设()01,2, n x n >=及lim n n x a →∞ =,用N ε-语言, 证明 : n =. 证 0n x >, 0a ∴≥. (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 下证0n =. 0ε?>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<. ε<, 0ε<. 0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε?>, 存在 0N >, 当n N >时 , n x a -<. ε= < <. n ∴= 综上两方面 ,即证. 2. 已知lim n n x a →∞ =, 用N ε-语言, 证明 : n =. 证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时, 2n x ε< ; ε<, 此即0n ==. (2) 当 a ≠时, 因 为 2 2 2 2 2 3 3 04 4 +=+ ≥>. 令2 3 4 M = , lim n n x a →∞ =, 则对0ε?>,存在0N >, 当n N >时,有 n x a M ε-<.

2 2 n x a -= 1 n x a M M M εε-≤, 存在10N >, 使当1n N >时, 有 2 n x a ε -<. ① ( ) 1112111 n N N n x x x a x a x a x a x a n n +++ +-≤ -++-+-+ +- 令1 11N c x a x a =-++-, 那么 1212 n x x x n N c a n n n ε++ +--≤ +? . ② 存在20N >, 使当2n N >时, 有2 c n ε <. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有 1212 222 n x x x n N a n n ε εεε ε++ +--< + ?<+=. 12lim lim n n n n x x x a n ξ→∞→∞ ++ ∴==.

高中数学复习――数列的极限

●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2

12-函数与极限习题与答案(选择题)

高等数学 一、选择题（共 191 小题，） 1、 下列函数中为奇函数的是 ；　； ； 答（ ） ()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+== --2 2 4 22 π 2、 [][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ） x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22 3、 关于函数的单调性的正确判断是 当时，单调增；当时，单调减； 当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。 答（ ） y x A x y x B x y x C x y x x y x D x y x x y x =- ≠=-≠=-<=->=-<=- >=- 1010101010101()()()() 4、 答（ ） ；； ； 的是 下列函数中为非奇函数 7 373)( 1arccos )()1lg()( 1 2 12)(2 2 2 2 +--++= +=++ =+-= x x x x y D x x x y C x x y B y A x x 5、

函数　是 奇函数； 偶函数； 非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ） f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 6、 f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是 有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ）　 7、 设，，，则此函数是 周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。 答（ ）　 f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤?????3 3 0ππ 8、 设，，，则此函数是 奇函数； 偶函数；有界函数；　周期函数。 答（ ） f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤?????3330 02 9、 f x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333 23 2 在其定义域，上是 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为 的周期函数；　非周期函数。 答（ ） πππ 10、 f x x x A B C D ()cos()()()()()()= ++-∞+∞212 在定义域，上是 有界函数； 周期函数；奇函数； 偶函数。 答（ ）

第一讲数列地极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．

第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案

第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n =

解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?==

高等数学极限习题100道

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0 )sin 1(sin lim n n n -+∞ →求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 设　其中、为常数，，求的表达式； 确定，之值，使，． f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos() ()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121 1 21 021211π π 求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n x x x x x f ---+∞→++=12lim )( ． ，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞ →=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x x x x x n n ()lim ()()=+++++++????? ?→∞-11122221 ．，求，其中设n n k n k k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1

上海高中数学数列的极限(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在

②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：

高考数学一轮复习数列的极限知识点

17年高考数学一轮复习数列的极限知识点 极限是微积分中的基础概念，下面是整理的数列的极限知识点，希望考生可以认真学习。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极

限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解. e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然

高中数学复习数列的极限

●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2

数列极限练习题

3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求

{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围

高考数学二轮复习 数列、极限、数学归纳法(1)

2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1） 教学目标： 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点： 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点： 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计：“五步”教学法 教学用具：三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。

理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构，构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--；解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，

最新3第一讲__数列的极限典型例题汇总

3第一讲__数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 ?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 注1 ?Skip Record If...?的双重性.一方面,正数?Skip Record If...?具有绝对的任意性,这样才能有 ?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...? 另一方面,正数?Skip Record If...?又具有相对的固定性,从而使不等式?Skip Record If...?.还表明数列?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...?的渐近过程的不同程度,进而能估算?Skip Record If...?趋近于?Skip Record If...?的近似程度. 注2若?Skip Record If...?存在，则对于每一个正数?Skip Record If...?，总存在一正整数?Skip Record If...?与之对应，但这种?Skip Record If...?不是唯一的，若?Skip Record If...?满足定义中的要求，则取?Skip Record If...?，作为定义中的新的一个?Skip Record If...?也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个?Skip Record If...?则必存在无穷多个正整数可作为定义中的?Skip Record If...?． 注3?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是：对?Skip Record If...?的预先给定的任意?Skip Record If...?邻域?Skip Record If...?，在?Skip Record If...?中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入?Skip Record If...?． 注4?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 2.子列的定义

数列极限练习题

3 3221 1 1 321.lim _____212.lim _____ 3(5)33.lim _____ (5) 34 4.lim ______ 1234....(21)25.lim _____ 1 (2) 6.lim ______ 124...(2)7.lim ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ ++→∞ →∞ →∞ +-→∞ →∞ +=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题2 1213)______ 2 11118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim (12),_____ (2)4,__11.lim (2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+?? -+++-=??????+--=== ?+??-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1(3)1,lim ()113(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-?? ≤≤?+?=? ??≥??求的值 若为数列的前项和求

{}{}121231015 11 113.,9,27,,lim 3114.,1,,, 32 lim 15.,3 21111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ + +--→∞ →∞+===-= ∈-??=-+-++-??+? ?数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 2 2 1 121,lim 2, (i) 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞ →∞ ++→∞ →∞ ++→∞ =+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2 4 23 5 21 111,1...20.lim ...121.{},lim ( )12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞ →∞ -++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围

3第一讲__数列地极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记

高考数学专题三 数列与极限

专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值

解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有

数学分析-数列极限

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．