第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：
一、向量的概念
1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。
3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4． 量的模：向量的大小，记为a
。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算
1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)(
3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为
0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ
0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0
a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么
a
a a 0=
定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，
使b ＝a λ
例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用
a 和
b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行
四边形对角线的交点。（见图7－5）
图7－4
解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2
1
b a +-
=→
MA 由于→
→
-=MA MC ， 于是)(21
b a +=
→
MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2
1
a b -=→MD
由于→→-=MD MB ， 于是)(2
1
a b --=→MB
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2
π
角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别
为xoy 面、yoz 面、
zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图
图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若
),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用
直角三角形勾股定理为：
2
2
2
2
12
2
212
2
12NM pN p M NM N M M M d ++=+==
而 121x x P M -=
12y y PN -=
122z z NM -=
所以
21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==
特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o
222z y x oM d ++==
例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222
21=-+-+-=M M
6)23()12()75(2222
3
2=-+-+-=M M
6)13()32()45(2222
13=-+-+-=M M
由于 1332M M M M =，原结论成立。
例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。
解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x
()
1132222
21+=++
=x x PP ()211222
22+=+-+=x x PP
212PP PP =Θ 22112
2+=+∴x x
1±=?x
所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(- 四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分
别表示 图7－5
沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：
)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k
或
a = a x i + a y j + a z k
上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。
有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就
叫做向量a 的坐标，并记为
a ＝ {a x ，a y ，a z }。
上式叫做向量a 的坐标表示式。
于是，起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为
},,{12121221z z y y x x M M ---=
特别地，点),,(z y x M 对于原点O 的向径
},,{z y x OM =
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ，
向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2．向量运算的坐标表示 设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=，k j i b z y x b b b ++=
则
(1) 加法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-
◆ 乘数： k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++=
◆ 或
},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a },,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a
},,{z y x a a a λλλλ=a
◆ 平行：若a ≠0时，向量a b //相当于a b λ=，即
},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=
也相当于向量的对应坐标成比例即
z
z
y y x x a b a b a b =
= 五、向量的模、方向角、投影
设},,{z y x a a a =a ，可以用它与三个
坐标轴的夹角γβα、、（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称γ
βα、、为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、
称为方向余弦。
1． 模
2
22z
y x a a a ++=a
2． 方向余弦
由性质1
知??
?????=====γγββααcos cos cos a a a a a a z y x ，当02
22≠++=z y x a a a a 时，有
????
?
?
?
????++=
=++==++=
=2222222
22cos cos cos z y x z z z y x y y z y x x
x a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质：1cos cos cos 2
2
2
=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为：
}cos ,cos ,{cos },,{1γβα==
=
z y x a a a a
a
a a 0
例：已知两点M 1(2,2,2)、M 2(1,3,0)，计算向量21M M 的模、方向余弦、方向角以及与
21M M 同向的单位向量。
解：21M M ＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}
2)2(1)1(222=-++-=
21cos -=α，2
1
cos =β，22cos -=γ 32πα=
，3πβ=，4
3π
γ= 设0
a 为与21M M 同向的单位向量，由于}cos ,cos ,{cos γβα=0
a
即得
}2
2
,21,21{--=0a
3． 向量在轴上的投影
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，是轴u 上的有向线段，如果数λ满足
=λ且当AB 与轴u 同向时λ是正的，当AB 与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫
做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。设e 是与u 轴同方向的单位向量，则
e λ=AB
(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =，
b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧
(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。
(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'
A 和'
B ，那么轴u 上的有向线段的值'
'
B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做
j u Pr 。
2．投影定理
性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：
?Pr j u =
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
a a j j u Pr )(Pr λλ=
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
作业：
第二节 数量积 向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂
直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用
教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容：
一、数量积：
a) 定义：θcos b a b a =?，式中θ为向量a 与b 的夹角。 b) 物理上：物体在常力F 作用下沿直线位移s ，力F 所作的功为
θcos s F =W
其中θ为F 与s 的夹角。
c) 性质：Ⅰ.2
a a a =?
Ⅱ.两个非零向量a 与b 垂直b a ⊥的充分必要条件为：0=?b a Ⅲ. a b b a ?=?
Ⅳ. c b c a c b a ?+?=?+)( Ⅴ. )()(c a c a ?=?λλ λ为数
d) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则
z z y y x x b a b a b a ++=?b a
Ⅱ.投影表示式：a b b a b a b a j j Pr Pr ==? Ⅲ.两向量夹角可以由b
a b
a ?=
θcos 式求解 e) 例子：已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2)，求AMB ∠
提示：先求出向量→MA 及→
MA ，应用上求夹角的公式。 二、向量积：
a) 概念：设向量c 是由向量a 与b 按下列方式定义：
c 的模θsin b a c =，式中θ为向量a 与b 的夹角。
c 的方向垂直与a 与b 的平面，指向按右手规则从a 转向b 。
※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式：b a c ?= f)
性质：Ⅰ.0a a =?
Ⅱ.两个非零向量a 与b 平行a ∥b 的充分必要条件为：0b a =? Ⅲ. a b b a ?-=?
Ⅳ. c b c a c b a ?+?=?+)( Ⅴ. )()()(c a c a c a ?=?=?λλλ
λ为数
c) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 则
k j i b a )()()(x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a -+-+-=?
Ⅱ.行列式表示式：z
y x
z y x
b b b a a a k j i
b a =? d) 例子：已知三角形ABC 的顶点分别为：A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7)，求三角
形ABC 的面积。
解：根据向量积的定义，C S ABC =∠=
? 由于AB ＝{2,2,2}，AC ＝{1,2,4}
因此k j i k
j i
2644
21222
+-==?
于是142)6(42
1222
=+-+==?S ABC
小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）
作业：
第三节 平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重
要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点
),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即
n 00=?M M
代入坐标式有：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
（1）
此即平面的点法式方程。
例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。
解：先找出这平面的法向量n ，
k j i k j i
n -+=----=?=9141
3
26433121M M M M
由点法式方程得平面方程为
0)4()1(9)2(14=--++-z y x
即：
015914=--+z y x
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
0=+++D Cz By Ax
几个平面图形特点：
1）D ＝0：通过原点的平面。
2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。
3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。
同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知0=D
由平面过点)2,3,6(-知0236=+-C B A ，
}2,1,4{-⊥n ρΘ 024=+-∴C B A C B A 3
2-==?
所求平面方程为0322=-+z y x 三．两平面的夹角 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面0:11111=+++∏D z C y B x A ，0:22222=+++∏D z C y B x A
},,{1111C B A n =ρ， },,{2222C B A n =ρ
按照两向量夹角余弦公式有：
2
2
2
22
22
12
12
1212121||cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=
θ
三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111C B A =n 和},,{2222C B A =n 1) 两平面垂直：0212121=++C C B B A A （法向量垂直）
2) 两平面平行：
2
1
2121C C B B A A == （法向量平行）
3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),,(0000z y x P ，平面的方程为
0=+++D Cz By Ax ，则点到平面的距离为
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(=-+=+-+-z y z y x
01224,012)2(=--+-=-+-z y x z y x 02224,
012)3(=-++-=+--z y x z y x
解：(1)60
13
1)1(2)1(|311201|cos 2
2
2
2
2
=
+?-++-?-?+?-=
θ，
两平面相交，夹角60
1arccos
=θ }1,1,2{1-=n ρ，}2,2,4{2--=n ρ
2
1
2142-=
-=-?
两平面平行
21
)0,1,1()0,1,1(∏?∏∈M M Θ
两平面平行但不重合。
（3）2
12142-=-=-Θ
两平面平行
21)0,1,1()0,1,1(∏∈∏∈M M Θ 所以两平面重合小结：平面的方程三种常用
表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业：
第四节 空间直线及其方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：
??
?=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为
),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有： p
z z n y y m x x 0
00-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）
如设
t p
z z n y y m x x =-=-=-0
00 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）
??
?
??+=+=+=pt
z z nt y y mt x x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例1：用对称式方程及参数方程表示直线??
?=++-=+++0
43201z y x z y x
解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ???=--=++?0630
200
0z y z y 解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-
因所求直线与两平面的法向量都垂直取}3,1,4{--=?=21n n s 对称式方程为：
321041-+=
--=-z y x 参数方程：?????--=-=+=t
z t y t
x 3241例2 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程 解：因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为)0,3,0(-B
→
==}4,0,2{BA s ，
所求直线方程：
4
4
0322-=
+=-z y x 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线1L 和2L 的方向向量依次为},,{1111p n m =s 和},,{2222p n m =s ，两直线的
夹角可以按两向量夹角公式来计算
22
22
22
21
21
2
1
2
12121cos p
n m p n m p p n n m m ++?++++=
?
两直线1L 和2L 垂直： 0212121=++p p n n m m （充分必要条件） 两直线1L 和2L 平行：
2
12121p p n n m m == （充分必要条件）
例3：求过点)5,2,3(-且与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行的直线方程 解：设所求直线的方向向量为},,{p n m =s ，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取}1,3,4{---=?=21n n s 所求直线的方程1
5
3243-=-=+z y x 三、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)2
0(π
??≤≤称为直线
与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为
2
π。 设直线L 的方向向量为},,{p n m =s ，平面的法线向量为},,{C B A =n ，直线与平面的夹角为?，那么
2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
?
直线与平面垂直：s //n 相当于
p
C n B m A == （充分必要条件）
直线与平面平行：s ⊥n 相当于0=++Cp Bn Am （充分必要条件）
平面束方程：
过平面直线??
?=++-=--+0
10
1z y x z y x 的平面束方程为
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ
四、杂例：
例1：求与两平面x －4z ＝3和2x －y －5z ＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。 解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s 一定与两
平面的法线向量垂直，所以
)34(5
1240
1
k j i k
j i s ++-=---=
因此，所求直线的方程为
1
5
3243-=
-=+z y x
例2：求过点（2，1，3）且与直线
1
2131-=-=+z
y x 垂直相交的直线方程 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为
0)3()1(2)2(3=---+-z y x
再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为 x = -1+3t
y =1+2t
z=-t
并代入上面的平面方程中去，求得t ＝
7
3
，从而求得交点为)73,713,72(-
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s 即为所求直线的方向向量
}4,1,2{7
6
}733,7131,722{-=+--=s
故所求直线方程为
4
3
1122-=
--=-z y x 例3：求直线?
??=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程
解：应用平面束的方法
设过直线?
?
?=++-=--+010
1z y x z y x 的平面束方程为
0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ
即
01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x
这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是
01)1(1)1(1)1(=?+-+?-+?+λλλ
解之得
1-=λ
代入平面束方程中得投影平面方程为 y －z －1＝0 所以投影直线为
??
?=++=--0
01z y x z y
小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。 作业：
第五节 曲面及其方程
教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程 教学难点：旋转曲面 教学内容：
一、曲面方程的概念
1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。
2. 曲面方程的定义：如果曲面S 与三元方程
0),,(=z y x F
（1）
有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1） （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）
那么，方程（1）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。 3．几种常见曲面 （1）球面
例1：建立球心在),,(0000z y x M 、半径为R 的球面的方程。 解：设),,(0000z y x M 是球面上的任一点，那么
R M M =0
即： R z z y y x x =-+-+-202020)()()(
或：
2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-
特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）2
2
2
2
R z y x =++ （2）线段的垂直平分面（平面方程）
例2：设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程。
解：由题意知道，所求平面为与A 和B 等距离的点的轨迹，设),,(z y x M 是所求平面上
的任一点，由于||||MB MA =，那么
()()()()()()2222
22412321-+++-=
-+-+-z y x z y x
化简得所求方程
07262=-+-z y x
研究空间曲面有两个基本问题：
（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（2） 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。 二、旋转曲面的方程
设在yoz 坐标面上有一已知曲线C ，它的方程为
f （y ，z ）＝0
把这曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面，设),,0(111z y M 为曲线C 上的任一点，那么有 f （y 1，z 1）＝0
（2）
当曲线C 绕z 轴旋转时，点M 1也绕z 轴旋转到另一点),,(z y x M ，这时z ＝z 1保持不变，且点M 到z 轴的距离
122y y x d =+=
将z 1＝z ，2
2
1y x y +±=代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为
0),(22=+±z y x f
旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角α（0°<α<90°）），方程为：
)(2222y x a z +=
其中αcot =a 三、柱面
同济大学高等数学教学大纲
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
高数同济7版教案第一章函数与极限
广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限
（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 、OM 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a b c
－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→ → ==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换
线性代数教学教案 第五章线性空间与线性变换 授课序号01 是一个非空集合，为实数域 中任一数 ): ββ +=+
就称为实数域是实数域 上线性空间，上线性空间}++∈ 1010,,,n a x a a a a ， 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间. ()[]} ,b x a 为上的连续函数[,a (212 1n ij m m mn a i a a a ??? ≤??? )是非空的， ()m n M ?对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间(1112 2122212 1,n ij n m nn a a a a M a i a a a ?? ? ? ≤???
0a 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. x ，在其中定义加法及乘数运算为) ,验证对上述加法与乘数运算构成线性空间7 在实数域 上线性空间(212 1,n ij n m nn a i a a a ??? ≤??? nn a a ? ???? )的非空子集，且)关于)M 的加法和数乘是封闭的，所以)是()n M 的一个子空
授课序号02 个元素,,,ααα满足,,,ααα总可由,,,ααα那么，12,, ,n ααα就称为线性空间,, ,ααα是线性空间,,,x x x 12,, ,n x x x 12,, ,n ααα下的坐标，并记作,, ,ααα与,,,βββ
,,,ααα2,,,n βββ的基变换公式，矩阵P ,, ,ααα,,,βββ,,,βββ在基12,, ,n ααα下的坐标为，在基,,,βββ，且由基12,,,n ααα到基,,,n βββ的过渡矩阵为矩阵n n x y =? ?? ????P 或 =n n y x ? ? ? ????? P . )()21221,2ij A a i j a a ? ==≤≤∈?? ??? ??? ? 中，由于对任一向量 ()有 1112a a ?= ) 的一个
同济版高等数学教案定积分
第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1
天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
高等数学同济七版第一章电子教案
第一章 函数与极限 第一节 函数 一、集合 定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a . 设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径. 点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。 ，即 (),U a δ。 ()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-?+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-< 把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域. 二、函数 1．函数的定义 定义：对于任意x D R ∈?，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是 x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数， 由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域． 例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507?? =???? ， 1=，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥，
定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >． 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数） 对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x ==， 1 csc sin y x x == 反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22 ππ - arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]π
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章定积分的应用
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用
同济大学《高等数学》教学大纲
《高等数学》课程教学大纲 一、课程的性质、目的和任务 高等数学是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3. 常微分方程； 4.向量代数和空间解析几何； 5.多元函数微积分学； 6.无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学B(上) 一、函数、极限、连续 1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念(对极限的ε-N、ε-δ定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，掌握运用两个重要极限求极限的方法。 7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最
小值定理)。 二、一元函数微分学 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。 4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。知道某些初等函数n阶导数的求法与公式。 5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理。 7. 掌握洛必达(L’Hospi tal)法则求不定式的极限。 8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。 2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。 4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。 5. 了解反常积分的概念会求反常积分。 6. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功等)的方法。
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)
高等数学教案Word版(同济)第二章5
第五讲 I 授课题目： §2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 II 教学目的与要求： 1.熟练掌握隐函数求导； 2.熟练掌握参数方程求导。 III 教学重点与难点： 重点：隐函数和参数式所确定的函数的导数 难点：隐函数和参数式所确定的函数的导数 IV 讲授内容： 要讨论另外两个表现形式的函数的求导方法，即隐函数，由参数方程所确定的 函数的导数的求解方法。 一、隐函数的导数 1.隐函数的定义 定义 如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 取某个区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程0),(=y x F 在该区间内确定了个隐函数。 1. 隐函数求导数的方法 例1 求方程03275=--+x x y y 确定的隐函数y 在0=x 处的导数 0=x dx dy 解 方程两边分别的x 求导，方程两边的导数相等 2521102112546 64 ++==--+y x dx dy x dx dy dx dy y 当0=x 时，得0=y 2 10==x dx dy 对数求导法求隐函数的导数 方法：先在方程两边取对数，将所得式两边分别求导。 例2 求)0(sin >=x x y x 的导数 解 函数为幂指函数，先在两边取对数，得 x x y ln sin ln ?= 两边x 求导，注意y 是x 的函数，得
)sin ln (cos )sin ln (cos 1sin ln cos 1sin x x x x x x x x x y y x x x x y y x +?=+?='?+?=' 幂指函数 )0(>=u u y v 如果)(x u u =、)(x v v =的都可导，用对数求导法求出幂指函数的导数 先在两边取对数，得 u v y ln ln ?= 两边x 求导，注意y 、u 、v 是x 的函数，得 )ln ()ln (1ln 1u u v u v u u u v u v y y u u v u v y y v '+?'='+?'=''??+?'=' 幂指函数 )ln ()ln (ln ln u u v u v u u u v u v e y e y v u v u v '+?'='?+?'='= 一般形式的幂指函数，对数求导法求出幂指函数的导数。 二、由参数方程所确定的函数的导数 1.参数方程 参数方程 ???==) ()(t y t x ψ? y 与x 间的函数关系 2.参数方程所确定的函数的导数的求法 如果函数)(t x ?=的具有单调连续反函数)(1x t -=?，且反函数能与函数)(t y ψ=构成复合函数，函数)(t x ?=、)(t y ψ=可导。根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则得
同济大学-高等数学微积分教案设计
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
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