5-7-1数值原理与数的进制_题库教师版

5-7位置原理与数的进制

教学目标

本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨

一、位值原理

位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。二、数的进制

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n ”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

模块一、位置原理 【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；

【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设a ＞b ＞c 。

(abc -cba ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c ；

【巩固】 ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差；

【解析】 (ab -ba ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b ；

【巩固】 ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。

【解析】 (ab +ba ）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b 。

【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位

数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【解析】 设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，

(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即

9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．

【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原

数大8802．求原来的四位数． 【解析】 设原数为abcd ，则新数为dcba ，

(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．

根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ?-+?-==+．

推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．

【巩固】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数

为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位

数。请你写出所有的巧数。

【解析】 设这个巧数为ab ，则有ab+a+b=10a+b ，a(b+1)=10a ，所以b+1=10，b=9。

满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，

因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ?++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数

至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，

所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．

【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6

个三位数中最小的三位数．

【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：

2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++?+++?+++=?++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所

有这样的6个三位数中最小的三位数为139．

【巩固】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的例题精讲

三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6

＋7）×222。这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。

【巩固】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，

则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c 。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同

的三位数之和为222×（a ＋b ＋c ）＝3330，推知a ＋b ＋c ＝15。所以，当a 、b 、c 取1、5、9时，

它们组成的三位数最小为159，最大为951。

【巩固】 a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数

之和是2234，那么另一个三位数是几？

【解析】 由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ?++．因为223422210>?，所以10a b c ++>．

若11a b c ++=，则所求数为222112234208?-=，但2081011++=≠，不合题意．

若12a b c ++=，则所求数为222122234430?-=，但430712++=≠，不合题意．

若13a b c ++=，则所求数为222132234652?-=，65213++=，符合题意．

若14a b c ++=，则所求数为222142234874?-=，但8741914++=≠，不合题意．

若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥?-=，但所求数为三位数，不合题意．

所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．

【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两

位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如

果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是ab ，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化

简得a ＋b ＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。

【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑

上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一

个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换

所得的三位数。

【解析】 设第一个2位数为10a+b ；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a ）

=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a ，0≤a,b ≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所

得的三位数。

【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没

有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．

【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a ，b ，c ，d (91a b c d ≥>>>≥)，

则有383443388172abcd dcba -=+=，

可得999()90()81727992180a d b c -+?-==+，

则8a d -=，2b c -=，9a =，1d =，194338M cb =+，且M 的四位数字分别为1、c 、b 、9，由于8917+=的个位数字为7，所以b ，c 中有一个为7，但2b c -=，所以c 不能为7，故7b =，5c =，157943385917M =+=．

【例 5】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.

【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，推知b

＝2；进而推知c ＝3，d=4所以abcd =1234。

【巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．

【解析】 设这样的四位数为abcd ，则2008abcd a b c d ++++=，即10011011122008a b c d +++=，则1

a =或2．

⑴若2a =，则1011126b c d ++=，得0b c ==，3d =，2003abcd =；

⑵若1a =，则10

1112b c d ++=，由于11211929117c d +≤?+?=，所以10110071b ≥-=，所以8b >，故b 为9，112100790998c d +=-=，则c 为偶数，且

11982980c ≥-?=，故7c >，由c 为偶数知8c =，5d =，1985abcd =；

所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：200319853988+=．

【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它

的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这

两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．

【解析】 设原来的两位数是ab ，则得到的两个三位数分别为3ab 和3ab ，四位数为33ab ，由题知

33333600ab ab ab ++=，即1033003003103600a b a b a b ?+++++?=

，21294ab ?=，故14ab =．

【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这

个数和A 。

【解析】 设这个数为x ，则10x+5-x=1111A ，

化简得9x=1106A ，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。 【巩固】 某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是多少？

【解析】 设abcdefg x =，则72210a b c d e

f g x =?+，4104abcdefg x =+，根据题意，有()72103104x x ?+?=+，得77610459999996x =?-=，所以8571428x =． 【例 7】 一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ?=，则称abcdef 为“迎春数”(例如4102564?=

410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．

【解析】 由于是把六位数abcdef 的末位f 调到首位构成了新六位数fabcde ，所以不妨把abcde 看成一个整

体，设abcde A =，则根据位值原理可知“迎春数”是()10A f +，并满足关系式：()410100000A f f A ?+=+．对等式化简得：3999996A f ?=?．

所以：2564A f =?．

因为A 是五位数，f 是一位数，所以f 可以为4，5，6，7，8，9．

而“迎春数”1010256425641abcdef A f f f f =+=??+=?，

那么，所有“迎春数”的总和是：()256414567892564139999999?+++++=?=．

【巩固】 (2008年“华杯赛”决赛)设六位数abcdef 满足fabcde f abcdef =?，请写出这样的六位数．

【解析】 令abcde x =，则：510fabcde f x =?+，10abcdef x f =+，所以()51010f x f x f ?+=?+，可得

()

510101

f f x f -=-．此时可将1f =，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当1f =时，111111x =；当4f =时，102564x =．只有这两个数满足条件．

由于将f 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行： ()552544242410101010101010101101101101f f f f f f f x f f f f ---+--====+----，所以4241010101f x f --=-，则 ()52522541010101010101010101101101

f f f f f x f f f f f --+---?+=+==---是整数． 设其为a ，则666101010101011019999991011101101101101f f f a f f f f --+--+=+===----是整数，所以101f -是

999999的约数．

当1f =，2，3，4，5，6，7，8，9时，101f -分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由399999937111337=????容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时f 分别为1和4．这样的六位数有111111和102564．

【例 8】 记四位数abcd 为X ，由它的四个数字a,b,c,d 组成的最小的四位数记为X *，如果*999X X -=，

那么这样的四位数X 共有_______个．

【解析】 *999X X -=得到99910001X X X **=+=+-，所以如果a 、b 、c 、d 组成的四位数X *末位数

字不是0，那么X 等于将X *的千位数字加1，个位数字减1，反过来X *等于X 的千位数字减1，个位数字加1，所以X *为()()11a bc d -+，与X 比较，b 和c 位置没有换，交换的是a 和d ，X *

表示为dbca ，可以得到等式1a d -=，即1a d =+．所以a 和d 的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况．

对于其中任意一种组合，由于dbca 是由四个数字a b c d 、、、组成的最小的四位数，分别考虑b 、c 中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则0b =，d c a ≤≤)；以及b 、c 都不为0的情

况(此时d b c a ≤≤≤)，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：00d a 0d da 0d aa ddda ，

ddaa ，daaa ．比如以4a =，3d =为例，dbca 可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8648?=种．

如果a 、b 、c 、d 组成的最小的四位数X *末位数字是0，显然X *的百位、十位都是0，此时a 、b 、c 、d 无法组成其它的四位数，不合题意．

由于每一个X *对应一个X ，所以满足条件的四位数X 共有48个．

【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124???=)．将这24个四位数

按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整

除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中

最大的那个．

【解析】 从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d ，它们组成的

24个四位数中，第二小的是abdc ，是5的倍数，又c 不为0，所以5c =．

它们组成的24个四位数中，第二大的是dcab ，是2的倍数但不是4的倍数，所以b 是偶数，而ab

不是4的倍数．由b 是偶数且5b c <=知b 为4或2．若为2，那么1a =，但此时12ab =是4的

倍数，矛盾，所以，又ab 不是4的倍数，所以a 为1或3．

它们组成的24个四位数中，第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd ，abdc ，acbd ，acdb ，adbc )，第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba ，dcab ，dbca ，dbac ，dacb )，所以dacb adbc -得到的四位数的千位为3．由于a d <，所以acb dbc <，那么减法算式中百位要向千位借位，所以13d a --=，故4d a =+．又5d c >=，所以1a >，那么3a =，7d =，

它们组成的24个四位数中最大的为dcba ，即7543．

模块二、数的进制

【例 10】 ① 222(101)(1011)(11011)?-=________；

② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；

③ 4710(3021)(605)()+= ；

④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；

⑤ 若(1030)140n =，则n =________．

【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：

2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)?-=?-==；

② 可转化成十进制来计算：

222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））；

如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都

是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；

③ 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：

32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=?+?++?+=(；

④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方 法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．

原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+

8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；

⑤若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =．

【巩固】 ①852567(((=== ） ） ）；

②在八进制中，1234456322--=________；

③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．

【解析】 ①本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））；

②原式1234(456322)12341000234=-+=-=；

③原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438=++-+=+-=．

【例 11】 在几进制中有413100?=？

【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：

由于101010(4)(3)(12)?=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．

所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．

但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．

另外，由于101010(4)(13)(52)?=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于

是知道10n <，那么n 不能是12．

所以，n 只能是6．

【巩固】 在几进制中有12512516324?=？

【解析】 注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到

16324，所以10n <．

再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)?=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．

所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．

因为出现了6，所以n 只能是7．

【巩固】 算式153********?=是几进制数的乘法？

【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520?=，但是现在为4，说明进走

20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214?=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1

×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

【巩固】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？

【解析】 根

。

【巩固】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A 代表10、B 代表11、C 代表12、

D 代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B 。

【巩固】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是

几?

【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用

位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.

【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？

【解析】 因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，

23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。

【例 14】 在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?

【解析】 (abc)6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；

于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，

5)=1．所以，b=0或5．

①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．

②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0。所以c=2或者2+7k(k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212。这个三位数在十进制中为212。

【巩固】 在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？

【解析】 首先还原为十进制：

27()77497abc a b c a b c =?+?+=++；29()99819cba c b a c b a =?+?+=++．

于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．

因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．

但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．

所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．

所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；

所以77()(503)5493248abc ==?+=．

于是，这个三位数在十进制中为248．

【巩固】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人

的年龄．

【解析】 ①设这个人为a 岁，得(10)(3)0a a =，又10(3)(10)03033a a a =?+?=，解得0a =，不合题意，所以

这个人的年龄不可能是一位数．

②设这个人是ab 岁，由题意得：(10)(3)0ab ab =．

因为210(10)(3)10,0330393ab a b ab a b a b =+=?+?+?=+，所以1093a b a b +=+，即2a b =．又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2a =，1b =．所以，这个人为21岁．

③设这个人为abc 岁，由题意有，(10)(3)0abc abc =，因为(10)10010abc a b c =++，

32(3)03332793abc a b c a b c =?+?+?=++，

所以100102793a b c a b c ++=++．即732a b c +=．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立．所以这个人的年龄不可能是三位数．

综上可知这个人的年龄是21岁．

【巩固】 N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．

【解析】 设b 是所求的最小正整数，()

24777b b x x N +++=∈，因为质数7能整除2777b b ++，所以也能

整除x ，不妨设7x m =，m 是大于0的自然数。则：()427777b b m ++=，化简得：23417b b m ++=，易知，b 的值随m 的增大而增大，当m=1时，b=18。

【例 15】 试求(22006-1)除以992的余数是多少?

【解析】 我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：

(992)10=(1111100000)2，(22006-1)2=20062111...1?? ? ???个1我们知道在2进制中502

111...10000...0?? ? ???5个1个或以上一定能整除

(1111100000)2，于是我们注意到502

111...10000...0?? ? ???5k 个1个或以上， 所以2111...1?? ? ???2006个1=602111...1000...0111111??+ ? ???2000个1个 因为602111...1000...0?? ? ???2000个1个能整除(1111100000)2，所以余数为(111111)2=25+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为63。

【巩固】 计算2003(31)-除以26的余数．

【解析】 题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成3进制下的数再进行计算．

20033332003200331(1000...0)(1)(2222)-=?-=个2

个0，而326(222)=，

所以，2003332003(31)26(222

2)(222)-÷=÷个2．

由于3(222)整除3(222)，20033667

2÷=，所以332003(222

2)(222)÷个2余3(22)8=．

所以2003(31)-除以26的余数为8．

【巩固】 计算2003(21)-除以7的余数． 【解析】 由于328=除以7余1，而200336672÷=，所以200321-除以7的余数为2213-=．

本题也可以转化为2进制进行计算：2003220031

21(1111)-=个，27(111)=，

所以20032220031(21)7(1111)(111)-÷=÷个．

而200336672÷=……，所以2220031

(1111)(111)÷个余2(11)3=．

所以2003

(21)-除以7的余数为3．

【巩固】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的

余数为多少？

【解析】 类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数

等于这个数的各位数字之和除以7的余数．

本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为5．

【例 16】 (2009年清华附中小升初入学测试题)已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么

在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？

【解析】 与十进制相类似，有：288(12345654321)(111111)=．

根据8进制的弃7法，8(111111)被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而2636=除以7的余

数为1，所以8(111111)的平方被7除余1，即8(12345654321)除以7的余数为1；

另外，89(11)=，显然8(111111)能被8(11)整除，所以其平方也能被8(11)整除，即8(12345654321)除以9的余数为0．

因此两个余数之和为101+=．

位值原理与数的进制

本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学 习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f 。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n ，我们有n 0=1。 n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 进制间的转换：如右图所示。 知识点拨 教学目标 5-7位置原理与数的进制

一年级数学思维训练4 找规律填空

一年级数学思维训练4 找规律填空 1、找规律画图 例1仔细观察，寻找规律，在问号处填上合适的图形。 例2 想一想，接着怎么画？ 例3 从下列四个选项中选出与其他三个图不同的一个图形. 例4 有一堵墙上的砖坏了一部分，现在请你仔细观察排列规律，猜一猜要补上多少块同样的砖，才能把墙补好？

2、找规律填数 例5 (1)1，3，5，7，（），（），（），15，…； (2)3，6，12，24，( )，( )，…； (3)1，2，3，5，8，（），（），34，…； 例6 按规律填空 . 例7 根据图中已知数的规律，填出图中空圆圈里的数。 例8 如图所示，小狗和公鸡的“?”处分别填几？

练习 1、仔细观察，寻找规律，在问号处填上合适的图形. 2、按着图形变化规律，接着画图. 、按照变化规律接着画. 4、数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？ 5、找规律填数字. （1）2，3，5，8，12，17，23，（），（）；

（2）1,4,9,16，（），（）； （3） 6、找规律填数. 7、一列火车的车厢按一定规律编号，你能写出被树挡住的那两节车厢的号码吗？ 8、找规律填数. 9、仔细观察，寻找规律，在方框中填上合适的图形。

10、按规律填上第五个数组中的数. {1,5,10}，{2.10,20}，{3,15,30}，{4,20,40}，{_____,_____,_____} 提高练习 １.找出下面数列的排列规律，并填空。 （1）1，2，5，10，（），26，37； （2）1，7，13，（），25，31； （３）1，50，2，45，3，40，（），（），5，30； ２.在括号里填上适当的数。 （1）（2，6）；（5，10），（8，18），（14，22）； （2）（1，25）；（2，36）；（4，49）；（8；81）； ３.找出下面数列的规律，并填空。 1，3，7，15，31，（），127，255，511； ４.找出下面数列的规律，并填空； 1，4，9，16，25，（），（），64，81，100； 规律： ５.从2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101；可以看出，2是这列数的第一项，5是这列数的第二项，8是这列数的第三项，等等。问：32是第几

找规律填数

1、1，3，6，10，（），（），（）。 2、4．9．16．25．（），（），（）。 3、60，63，66，69，（），（），（）。 4、180，160，140，120，（），（），（）。 5、2，5，8，11，（），（），（）。 6、64，32，16，8，（），（），（）。 7、1，1，2，3，5，8，（），（），（）。 8、5，8，8，6，11，4，（），（）。 9、1．2．2．4．3．8．4．16．5，（），（）。 10、1，2，2，4，8，（），（）。 11、100，95，90，85，80，（）70 12、5，9，13，17，21，（），（） 13、2，6，18，54，162，（），（） 14、2，3，5，8，12，（），（） 15、2，3，5，9，17，（），（） 16、8，16，17，34，35，（），（），142，143 17、1，1/2，1/4，1/8，1/16，（），（） 18、1，1，1，3，5，9，（），（） 19、2，98，96，2，94，92，（），（） 20、1，8，27，64，125，（），343，（） 21、1，9，2，8，3，（），4，6，5，5 22、0，1，3，4，5，9，7，（），（）

下面数列的每一项由3个数组成，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……，请问第50个数组内三个数的和是多少？(用两种方法解) ○、△、☆分别代表什么数？ （1）、○+○+○=18 （2）、△+○=14 （3）、☆+☆+☆+☆=20 ○=（）△=（）☆=（） △+○=9 △+△+○+○+○=25 △=（）○=（） 珠珠和立立一共有40支铅笔，珠珠的铅笔是立立的3倍，珠珠和立立各有多少支铅笔？ 珠珠比立立多40支铅笔，珠珠的铅笔是立立的3倍，珠珠和立立各有多少支铅笔？

计算机各种进制转换练习题(附答案)

进制转换练习题 1.十进制数1000对应二进制数为______，对应十六进制数为______。 供选择的答案 A：① 1111101010 ② 1111101000 ③ 1111101100 ④ 1111101110 B：① 3C8 ② 3D8 ③ 3E8 ④ 3F8 2.十进制小数为0.96875对应的二进制数为______，对应的十六进制数为______。 供选择的答案 A：① 0.11111 ② 0.111101 ③ 0.111111 ④ 0.1111111 B：① 0.FC ② 0.F8 ③ 0.F2 ④ 0.F1 3.二进制的1000001相当十进制的______。 ① 62 ② 63 ③ 64 ④ 65 4.十进制的100相当于二进制______，十六进制______。 供选择的答案 A：① 1000000 ② 1100000 ③ 1100100 ④ 1101000 B：①100H ②AOH ③ 64H ④10H 5.八进制的100化为十进制为______，十六进制的100化为十进制为______。 供选择的答案 A：① 80 ② 72 ③ 64 ④ 56 B：① 160 ② 180 ③ 230 ④ 256 6.十六进制数FFF.CH相当十进制数______。 ① 4096.3 ② 4096.25 ③ 4096.75 ④ 4095.75 7.2005年可以表示为______ 年。 ① 7C5H ② 6C5H ③ 7D5H ④ 5D5H 8.二进制数10000.00001将其转换成八进制数为______；将其转换成十六进制数为______。 供选择的答案 A：① 20.02 ② 02.01 ③ 01.01 ④ 02.02 B：① 10.10 ② 01.01 ③ 01.04 ④ 10.08 9.对于不同数制之间关系的描述，正确的描述为______。 供选择的答案 A：①任意的二进制有限小数，必定也是十进制有限小数。 ②任意的八进制有限小数，未必也是二进制有限小数。 ③任意的十六进制有限小数，不一定是十进制有限小数。 ④任意的十进制有限小数，必然也是八进制有限小数。 10.二进制整数1111111111转换为十进制数为______，二进制小数0.111111转换成十进制数为______。

小学数学 位值原理.教师版

5-7-1.位值原理 教学目标 1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题 知识点拨 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 模块一、简单的位值原理拆分 【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分 【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。 【答案】10 【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上） 【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第5题

一年级找规律练习题集汇总

仅供参考小学教育资料 姓名：__________________ 班级：__________________ 第1 页共13 页

找规律练习卷（一） 姓名：__________ 一、找规律填数字 （1）2、3、4、5、6、（） （2）3、6、9、12、（） （3）19、17、15、13、（） （4）1、3、2、6、3、9、（）、（） （5）12、5、13、5、14、5、（）、（） （6）1、4、7、10、13、（） （7）10、1、9、2、8、3、7、4、（）、（）（8）21、18、15、12、( )、( ) 、( ) （9）2、6、10、14、18、（） （10）5、10、6、11、7、12、8、13、（）、（）（11）5、8、11、14、17、（） （12）2、3、5、8、13、（） （13）4、8、12、16、（） （14）1、6、2、7、3、8、4、9、（）、（）

（15）1、2、3、5、8、13、（） （16）3、4、7、11、18、（） （17）20、3、19、6、18、9、17、12、（）、（）（18）1、2、4、7、11、16、（） （19）1、3、5、7、（） （20）2、5、8、11、14、（） （21）1、5、2、6、3、7、4、8、（）、（）（22）25、2、20、4、15、6、10、8、（）、（）（23）9，（），5，（），1 （24）6，（），10，（），14，16 （25）2，4，6，10，（），26 （26）10、1、9、2、8、3、7、4、（）、（）（27）5、10、6、11、7、12、8、13、（）、（）（28）26、22、18、14、( )、( ) 、( ) （29）4、7、10、13、16、（）、（） （30）2、4、7、11、16、（）、（） （31）2、4、8、14、22、（）、44、（）

一年级找规律填数

一年级找规律填数（1）2、3、4、5、6、（） （2）3、6、9、12、（） （3）19、17、15、13、（） （4）1、3、2、6、3、9、（）、（） （5）12、5、13、5、14、5、（）、（） （6）1、4、7、10、13、（） （7）10、1、9、2、8、3、7、4、（）、（）（8）5、10、15、20、（） （9）2、6、10、14、18、（） （10）5、50、6、51、7、52、8、53、（）、（）（11）5、8、11、14、17、（） （12）2、3、5、8、13、（） （13）4、8、12、16、（） （14）1、6、2、7、3、8、4、9、（）、（）（15）1、2、3、5、8、13、（） （16）3、4、7、11、18、（） （17）20、3、19、6、18、9、17、12、（）、（）（18）*1、2、4、7、11、16、（） （19）1、3、5、7、（） （20）2、5、8、11、14、（） （21）1、5、2、6、3、7、4、8、（）

（22）25、2、20、4、15、6、10、8、（）、（） 先找规律，再填数。 数的顺序： ①16的前面是（），后面是（） ②2个十是（），他前面的数是（） ③8和17的中间有（） ④与12相邻的两个数是（） ⑤比14多5的数是（） ⑥按规律填数1、3、（）、7、（） ⑦按从大到小排队8、15、13、6、2、20、9（） 数的组成： （）＋（）＝9，（）＋（）＝12 大小比较： 5○1219○209○1113○1518○811○10 ○○○○○○○○○○○○○ 1、把左边第四个○涂成黑色，把最右边的3个○涂成蓝色 2、 3、

进制转换练习题及答案

进制转换练习题及答案39 进制转换练习题；姓名成绩；1．完成下列进制转换；（11110111）B＝（）D＝（）H；(6DF7)16=()2(143)10=()2（；(110111)2=()10(110111110；（32）10=（）16；（1AD）H=（）B=（）D；每题5分；2、在计算机部，信息的存储和处理都采用二进制，；A．便于存储B数据输入便；C．可以增大计算机存储容量D． 进制转换练习题 姓名成绩 1．完成下列进制转换 （11110111）B＝（）D＝（）H (6DF7)16=( )2 (143)10=( )2 （82）10 =（）2 (110111)2= ( )10 (1)2 =( )16 （32）10 =（）16 （1AD）H =（）B = （）D 每题5分 2、在计算机部，信息的存储和处理都采用二进制，最主要的原因是（）

A．便于存储B 数据输入便 C．可以增大计算机存储容量D．易于用电子元件实现 3．“半斤八两”指古时候用的是十六进制，一斤是十六两，半斤等于八两，如果是不熟悉十，十六进制之间的转换时，可以借助的工具软件是（）（A）画图（B）记事本（C）录音机（D）计算器 4．(2004)10 + (32)16的结果是（） A. (2036)10 B. (2054)16 C. (4006)10 D. (0)2 E. (2036)16 5．算式（31）10-（10001）2的运算结果是（） A．（1101）2 B （15）10 C （1111）2 D （E）16 6．汉字“人”的码是11001000 1100 1011 ，那么它的十六进制编码是（） A．B8 CB B B8 BA C D8 DC D C8 CB 7．（08年10月高考题）二进制数1011与十进制数2相乘的值是（）A．(10110)2 B．(11010)2 C (11100)2 D．(11111)2 8．下列数中最大的是（） A．1111B B 111D C 1101D D 0AH

五年级奥数位值原理

位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 知识点一：位值原理的认识 【例 1】填空：

365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？ 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？ （2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这 三个数字分别是多少？ 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？

一年级找规律练习题集汇总

找规律练习卷 班级：姓名：__________ 学号__________ 一、找规律填空。 1．10、13、、、22、25 2．5，7，9，，，，17，19 3． 二．找规律涂一涂，画一画。 三、按图形的排列规律接着画。 四、找规律填数。 七、涂一涂 自己涂出有规律的颜色 1、★★☆★★☆☆☆☆☆☆☆ 2、◇◇◆◇◇◆◇◇◆◇◇◇ 3、○○●○○●○○○○○○ 八、画一画。 1、

2、□△□△□△ 3 4、♀♂♀♂♀♂ 5、○○□○○□○○□ 6 7 1．(探究题)哪一行的规律与其他三得不一样，画“X”。 (1) 3，4，5， 6 ( ) (2) 2，5，7，9 ( ) 7，8，9，10 ( ) 1，3，5，7 ( ) 1，3，2， 3 ( ) 2，4，6，8 ( ) 1，2，3， 4 ( ) 5，7，9，1l ( ) 2．(挑战题)按规律接着画。 3．(拓展题)在六组横格中涂画出不同规律的图案。 13、15、17、19、( )、( ) 、( )、( ) 22、24、26、28、( )、( ) 、( )、( ) 35、38、41、44、( )、( ) 、( )、( ) 55、50、45、40、( )、( ) 、( )、( ) 66、60、54、48、( )、( ) 、( )、( ) 21、18、15、12、( )、( ) 、( )、( )

1、2、1、2、1、2、1、2、( )、( ) 、( )、( ) 1、2、4、7、( )、( ) 、( )、( ) 找规律2 、4 、7、11 、( )、( ) 、( )、( ) 找规律3、 4、 7 、11 、( )、 ( ) 、( )、 ( ) 一、找规律画图 （1）———— （2—————— （3—————— ——— —————— 二、涂色 （１） （２） （３） 三、请你涂出有规律的颜色。 （１）

第一讲 从数表中找规律

第一讲从数表中找规律 在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。 例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字. 分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。 例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题： ①这个三角阵的排列有何规律？ ②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。 ③推断第20行的各数之和是多少？ 分析与解答 ①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1 个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。 ②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。 ③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。

至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。 [本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用] 例3将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？ 分析与解答 方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。 方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为2000÷16=125，所以 2000位于A列。 学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举一反三，不断进步。 就例 3而言，如果把偶数改为奇数， 2000改为 1993，其他条件不变，你能很快得到结果吗？

西师大版小学三年级奥数第一讲找规律填图形

第一讲找规律填图形 【芝麻开门】 同学们，一年有春、夏、秋、冬四个季节，这四个季节按一定的顺序交替变化。在数学 王国里，有许多美丽的图形，如果把它们按照一定的规律排列也是很有趣的，比如：○△□ ○△□……小朋友，你一定能找出其中的奥秘，其实图形的变化规律不仅是排列顺序，还有 数量、大小、颜色、方向、形状、位置等方面的变化呢。让我们一起来探讨图形的奥秘吧! 【范例点播】 要点1：根据排列顺序找规律 例1：根据规律接着画。 (1)□○○△□○○△ ______ ______ ______ ______ (2)○☆○□△○☆○□△○☆ ______ ______ ______ 第(1)题从左到右按照□○○△一个接一个按顺序排列，图中给出了两组□○○△，所 以后面的四个图形为□○○△。 第(2)题从左到右按照○☆○□△一个接一个按顺序排列，图中给出了两组○☆○□△， 还多出○☆，所以后面的三个图形为○□△。 解：(1) □○○△ (2) ○□△ 要点2：根据位置找规律 例2：仔细观察图形变化规律，然后画出横线上的图形。 通过观察可以发现，三个图形从左到右是依次按顺时针旋转90°得到的，依次类推， 横线上的图形是由它前面的一个图形按顺时针旋转90°得到。 解：如下图所示： 要点3：根据数量找规律 例3 仔细观察图形的变化规律，在空白处画上合适的图形。 通过观察发现，这三幅图存在两个方面的变化：一个是正方形内的图形，一个是正方形 内的点数。(1)给出的图形是由4笔、3笔、1笔画成的，因此空白处的图形应为2笔画成。 (2)给出的图形内部有4个点、3个点、1个点，因此空白处的图形内部应有2个点。

进制转换练习题_四川专升本

进制练习题 1、十进制数1000对应二进制数为______，对应十六进制数为______。 供选择的答案 A：① 10 ② 00 ③ 00 ④ 10 B：① 3C8 ② 3D8 ③ 3E8 ④ 3F8 2、十进制小数为对应的二进制数为______，对应的十六进制数为______。 供选择的答案 A：①②③④ B：①②③④ 3、二进制的1000001相当十进制的______，二进制的可以表示为______。 供选择的答案 A：① 62 ② 63 ③ 64 ④ 65 B：① 23+2–3② 22+2–2③ 23+2–2④ 22+2–3 4、十进制的100相当于二进制______，十进制的相当二进制的______。 供选择的答案 A：① 1000000 ② 1100000 ③ 1100100 ④ 1101000 B：① 2–1+2–2+2–4+2–5② 1–(2–3+2–4) ③ 1+(–2–3–2–4) ④ 1–2–3–2–4–2–6 5、八进制的100化为十进制为______，十六进制的100化为十进制为______。 供选择的答案 A：① 80 ② 72 ③ 64 ④ 56 B：① 160 ② 180 ③ 230 ④ 256 7、十六进制数相当十进制数______。 供选择的答案 A：①②③④ 8、 2005年可以表示为______ 年；而37308年是指______ 年。 供选择的答案 A：① 7C5H② 6C5H③ 7D5H④ 5D5H B：① 200010② 200210③ 200610④ 200810 9、二进制数可以表示为______；将其转换成八进制数为______；将其转换成十六进

五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)

“位值原理与数的进制” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握 的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字 和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……， =1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110) 2 ×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号

内的。 【试题来源】 【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。 【试题来源】 【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？ 【试题来源】 【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【试题来源】 【题目】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【试题来源】 【题目】a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？

一年级 找规律填数

姓名（1）2、3、4、5、6、（） （2）3、6、9、12、（） （3）19、17、15、13、（） （4）1、3、2、6、3、9、（）、（） （5）12、5、13、5、14、5、（）、（） （6）1、4、7、10、13、（） （7）10、1、9、2、8、3、7、4、（）、（） （8）5、10、15、20、（） （9）2、6、10、14、18、（） （10）5、50、6、51、7、52、8、53、（）、（）（11）5、8、11、14、17、（） （12）2、3、5、8、13、（） （13）4、8、12、16、（） （14）1、6、2、7、3、8、4、9、（）、（） （15）1、2、3、5、8、13、（） （16）3、4、7、11、18、（） （17）20、3、19、6、18、9、17、12、（）、（）（18）*1、2、4、7、11、16、（）

姓名1、空格中应填什么数？ 12 10 16 15 5 7 2 8 13 3 9 2、找出规律，“？”处填几？ 9 14 ？12 2 4 9 4 4 6 8 2 3 1 4 ？ 3、在空格里填上合适的数 2 3 4 5 10 9 8 4 4、按规律填数 5 8 7 9 10 15 16 24 14 21

5、按规律在空格处填上合适的数 2 5 8 11 1 3 16 9 3 6 9 12 1 4 17 6、在下面的圆中填上合适的数，使每条线上的三个数相加的各都是13 7、在下面的圆中填上合适的数，使每条线上的三个数相加的各都是15 8、1、3、5、7、（） 2、5、8、11、14、（） 1、5、 2、6、 3、7、 4、8、（） 25、2、20、4、15、6、10、8、（）、（）

计导 课后习题参考答案(第3章分析

第3章数的表示 一、复习题 1.如何把十进制数转换成二进制数? 答：除2逆向取余。 2.如何把二进制数转换成十进制数? 答:将每个二进制位乘以它的位权，将所有结果相加得到对应的十进制数。 3.在二进制系统中,每一位是哪一个数的幂? 答:2。 4.在十进制系统中,每一位是哪个数的幂? 答:10。 5.表示有符号整数有哪三种方法? 答:（1）符号加绝对值（原码）（2）二进制反码（3）二进制补码 6.最大的无符号整数的含义是什么? 答:计算机中分配用于保存无符号整数的二进制位数所确定的最大无符号整数，最大无符号整数取决于计算机中分配用于保存无符号整数的二进制位数N，无符号整数范围：0～ (2N-1)。 7.位数分配指什么? 答:用以表示整数的二进制位数. ８．为什么不可以将十进制数256存储在８位存储单元中？ 答:八位存储单元最大存储到255，存储256会产生溢出。 9.试述无符号整数的两种用途? 答:(1)计数。计数时,不需要负数,可以从0或1开始。 (2)寻址。因为地址是从0开始到整个存储器的总字节数的正数。 10.将十进制数130以符号加绝对值表示法存储在8位存储单元中会怎样? 答:会溢出。因为符号加绝对值表示法在八位存储单元中存储数据的的范围是：-127到+127. 11.分析比较正整数在符号加绝对值、二进制反码、二进制补码三种表示法中的异同。 答：没有不同。 12.分析比较负整数在符号加绝对值、二进制反码、二进制补码三种表示法中的异同。 答：相同点：最左边的位定义的都是符号。如果为0，则表示正数，如果为1，则表示负数。

不同点：首先将整数的绝对值转换成二进制数，若是负数，符号加绝对值是将最左边的位置1，其余不变；反码是将所有二进制位中的0变为1。即按位取反。补码是最右边连续的 0和首次出现的1保持不变，其余位逐位取反。 13.分析比较0在符号加绝对值，二进制反码，二进制补码三种表示方法中的异同。 答：符号加绝对值：有两个0，正0（00000000）和负0（10000000） 二进制反码：有两个0，正0（00000000）和负0（11111111） 二进制补码：只有一个0（00000000） 14. 分析比较符号加绝对值，二进制反码，二进制补码三种表示方法中可以表示的数的范围。 答：符号加绝对值：－(2N-1-1)～+( 2N-1-1) 二进制反码：－(2N-1-1)～+( 2N-1-1) 二进制补码：－(2N-1)～+( 2N-1-1) 15.试述最左边一位在符号加绝对值，二进制反码，二进制补码三种表示法中的异同。 答：在三种表示法中，最左边一位都是符号位，0表示正，1表示负。 16.Excess-X系统的最主要用途是什么？x代表什么？ 答：用来存储小数的指数值。X代表幻数。幻数是进行数据转换时的基础数据。 17试述规范化的必要性 答：规范化使得浮点数的运算变得更简单。 18.什么是尾数 答：尾数是指浮点数规范化后小数点右边的二进制数，它定义了数的精度。 19.在一个数被规范化后,计算机内存储了哪些信息? 答：只储存了这个数的三部分信息：符号，指数和尾数。 二、选择题 20.在【】系统中只使用0和1。 A．十进制 B.八进制. C.二进制 D.十六进制 21.将二进制数转换成二进制数,需要不断用【】来除这个数. A.2 B.8 C.10 D.16 22.以下三种整数表示法中哪种既可以处理正数又可以处理负数【】 A.符号加绝对值表示法 B.二进制反码表示法 C.二进制补码表示法 D.以上都是 23.在无符号整数中,4位地址分配单元可以表示【】个非负数 A.7 B.8 C.15 D.16 24.在所有的有符号整数表示法中,四位地址分配单元可以表示【】个非负数. A.7 B.8 C.15 D.16

小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理

第4讲 进位制与位值原理（二） 同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)( )= 【答案】见解析 【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)= 位值原理法：210(101110)(46)= 2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11 【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011 100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11. 3. 在几进制中有12512516324?=? 【答案】7 【解析】注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10

第一讲规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导 一、数式规律探究 1.一般地，常用字母n 表示正整数，从1开始。 2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。 正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律 ① 1、4、9、16...... n 2 ② 1、3、6、10…… (1)2 n n + ③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2 n n + ⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n 2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1) ⑦ 12 +22 +32 ….+n 2 = 16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n 3=14 n 2 (n+1） 裂项：1 13?+135?+157 ?…+1(21)(21)n n -+= 。 解决此类问题常用的方法： 观察法 1、一组按规律排列的数字：1，3，5，7，9，11，13，15，…其中第13个数字是_______，第n 个数字是______ （n 为正整数） 2、一组按规律排列的数字：2，5，8，11，14，17，20，23，…其中第12个数字是_______，第n 个数字是_______（n 为正整数） 3、给定一列按规律排列的数：1111 1,,,,3579 它的第10个数是______，第n 个数字是_______（n 为 正整数） 4、一组按规律排列的单项式：a 、2 2a -、3 3a 、4 4a -，… 其中第5个式子是_______，第n 个式子是_______（n 为正整数），)第2007个式子是_______ 5、一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…(0ab ≠)，其中第7个式子是_______，第n 个式子是_______

数制转换练习答案

数制练习 填空 1. 两个8位二进制数10101011和01001011进行逻辑加的结果为 11101011 。 2. 十六进制数AB.CH对应的十进制数字是 171.75 。 3. 已知一个带符号整数的补码由两个1和六个0组成，则该补码能够表示的最小整数是 -127 。 4. 二进制数10111000和11001010进行逻辑“与”运算，结果再与10100110进行逻辑“或”运算，最终结果的十六进制形式为（10101110 ）。 5．Pentium处理器中的一个16位带符号整数，如果它的十六进制表示为FEDCH，那么它的十进制值为（-292）。 5. 对两个逻辑值1施行逻辑加操作的结果是1 。 6. .若A=1100，B=0010，A与B运算的结果是1110，则其运算可以是算术加，也可以是逻 辑加 判断 1.每个十进制整数都可以精确的转换为二进制整数形式。N 2. 一个整数的补码就是其原码除符号位外取反加1。Y 单选 1. 下面关于计算机中定点数与浮点数的一些叙述, 正确的是____B______ A. 定点数只能表示纯小数 B. 浮点数尾数越长, 数的精度就越高 C. 定点数的数值范围一定比浮点数的数值范围大 D. 定点数就是用十进制表示的数 2. 下列有关" 权值" 表述正确的是____B______ A. 权值是指某一数字符号在数的不同位置所表示的值的大小 B. 二进制的权值是" 二", 十进制的权值是" 十" C. 权值就是一个数的数值 D. 只有正数才有权值 3. 下列有关" 基数" 表述正确的是____B______ A. 基数是指某一数字符号在数的不同位置所表示的值的大小 B. 二进制的基数是" 二”,十进制的基数是" 十" C. 基数就是一个数的数值 D. 只有正数才有基数 4. 十进制数"13", 用三进制表示为____C______ A.lOl B.110 C.111 D.112 5. 下列各数都是五进制数, 其中____B______对应的十进制数是偶数。 A.111 B. 101 C.131 D.100 6. 一个某进制的数"lAl”,其对应十进制数的值为300, 则该数为 C A. 十一进制 B.十二进制 C. 十三进制 D. 十四进制

四年级奥数十进制的数字问题(位值原理)2

数的进制与位值原理 知识框架 一、位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。