点、线、面的位置关系

2.1.1 平面

自主探究学习

能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.

1.平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.

2.如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）

3.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

4.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

5.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

6.公理2的三条推论：

①推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

②推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

名师要点解析

要点导学

1.点A在直线上,记作A a

∈；点A在平面α内,记作Aα

∈；直线a在平面α内,记作

aα

?.

2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1 公理2 公理3

图形语言

文字语言如果一条直线上的两点在

一个平面内，那么这条直线在此平面内.

过不在一条直线上的三点，

有且只有一个平面.

如果两个不重合的平面

有一个公共点，那么它们有

且只有一条过该点的公共

直线.

符号语言

,

,

A l

B l

l

A B

α

αα

∈∈?

??

?

∈∈?

,,

,,

A B C

A B Cα

?

不共线

确定平面

,

l

P P

P l

αβ

αβ

=

?

∈∈??

∈

?

3.公里的作用

（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；

（2）公理2作用：确定一个平面的依据；

（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1.两条直线的三种位置关系

（1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

（2）平行直线：同一平面内，没有公共点；

（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

要点导学

1. 空间两条直线的位置关系：????????相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角

（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，

为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]?，如果两

条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角

的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

3. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.

【经典例题】

【例1】判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ）

（2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ）

（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ）

（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 （ ）

（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等 （ ）

（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）

相等 （ ）

【分析】依据公理4、异面直线所成角的定义及等角定理进行判断.

【解】（1）（ √ ）；（2）（ × ）；（3）（ √ ）；（4）（ × ）；（5）（ × ）；（6）（ √ ）.

【点拨】注意在空间中思考问题，如问题（4），与已知直线平行且距离等于定长的直线

在一个平面内是只有两条，但在空间中就有无数条.

【例】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点.

（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；

（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.

【分析】依据异面直线所成角的定义，借助正方体本身的性质，

依照选点、平移、定角、计算的步骤进行解答.

【解】（1）如图，连接DC 1 ， ∵DC 1∥AB 1，

∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角.

∵ ∠CC 1D =45°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°.

（2）如图，连接DA 1，A 1C 1，

∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角.

∵ΔA 1DC 1是等边三角形， ∴ ∠A 1DC 1=60o，即直线AB 1和EF 所成的角是60o.

【点拨】求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两

异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思

想将陌生问题熟悉化.

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4 平面与平面之间的位置关系

1.直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

2. 两个平面之间有两种位置关系：

（1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线

要点导学

1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相

交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：

l α?；l P α=；//l α.

2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//αβ；

l αβ=.

【经典例题】

【例1】a //b 且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）

A ．必相交

B ．有可能平行

C ．相交或平行

D ．相交或在平面内

【分析】可借助手边的模型进行判定.

【解】A

【点拨】解题时利用手边的模型或教室中的长方体模型可快速解

决问

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此

平面平行.

简记为：线线平行，则线面平行

要点导学

1.判定定理的符号表示为：,,////a b a b a ααα???.

2. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线

定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.

【经典例题】

【例1】如果平面α外有两点A ，B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位

置关系一定是 （ ）

A .平行

B .相交

C .平行或相交

D .AB ?α

【分析】α外有两点A ，B ，它们到平面α的距离都是a ，并不能说明直线AB 一定与α平

行，因为两点A ，B 有可能在平面α的异侧.

【解】C

【点拨】思考问题时，思维要发散，不能定向思维.

【例2】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、

N 分别是AB 、PC 的中点

（1）求证：MN //平面P AD ；

（2）若4MN BC ==，43PA =，求异面直线P A 与MN 所成

的角的大小.

【分析】利用中位线或平行四边形找平行线，再利用线面平行

的判定定理.

【解】（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点，

∴ NH //=12

DC . 由M 是AB 的中点， ∴ NH //=AM ， 即AMNH 为平行四边形.

∴//

MN AH.

由,

MN PAD AH PAD

??

平面平面，∴//

MN PAD

平面.（2）连接AC并取其中点为O，连接OM，ON，

∴OM//=1

2

BC，ON//=

1

2

P A，

所以ONM

∠就是异面直线P A与MN所成的角，且MO⊥NO.

由4

MN BC

==，43

PA=, 得OM=2，ON =23

所以0

30

ONM

∠=，即异面直线P A与MN成30°的角

【点拨】已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，或通过找平行四边形得到线线平行，再通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.

2.2.2 平面与平面平行的判定

要点导学

1.面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行．用符号表示为：

,,

// //,//

a b a b P

a b

ββ

βααα

??=?

?

?

?

.

2.垂直于同一条直线的两个平面平行.

3.平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是平行或相交.

【经典例题】

【例1】判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）平面α内有一条直线与平面β平行，则α与β平行（）（2）平面α内有两条直线与平面β平行，则α与β平行（）（3）平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β平行（）（4）平面α内有两条平行直线与平面β平行，则α与β平行（）（5）平面α内任一条直线与平面β平行，则α与β平行（）【分析】依据面面平行的定义与判定定理进行判断.

【解】（1）（×）；（2）（×）；（3）（×）；（4）（×）；（5）（√ ）.

【点拨】可借助于教室中的长方体模型进行面面平行的判断.

【例2】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在P A、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

【分析】利用平面与平面平行的判定定理进行证明，可寻找满足定理的5个条件.

【证明】PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

∴MQ//AD，NQ//BP，

而BP?平面PBC，NQ?平面PBC, ∴NQ//平面PBC.

又ABCD为平行四边形，BC//AD，∴MQ//BC，

而BC?平面PBC，MQ?平面PBC, ∴MQ//平面PBC.

由MQ NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，

∴平面MNQ∥平面PBC.

【点拨】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

2.2.3 直线与平面平行的性质

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经

过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.βa

α

b

即：////a a a b b α

βαβ??????=?

.

要点导学

1. 如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

2. 直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用．证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行．循环往复直至证得结论为止.

【经典例题】 【例1】 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．

(2)A 是两异面直线a ，b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a ，b 平行．

【分析】(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α?b ． (2)因为

过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'

b 的平面也是惟一的．所

以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了．

【解】（1）α//b 或α?b ．（2）1．

【点拨】考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．

【例2】如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD

各边上，求证：BD //平面EFGH .

【分析】欲证//BD 平面EFGH ，须证BD 平行于平面内一条直

线，显然，只要证//BD EH 即可．

【证明】∵ //EH FG ,EH ?平面BCD ，FG ?平面BCD ，

∴ //EH BCD 平面.

又 ∵ EH ABD ?平面，BCD ABD BD =平面平面,

∴ //EH BD .

又 ∵ EH EFGH ?平面,BD EFGH ?平面,

∴ //BD EFGH 平面.

【点拨】证明线面平行的转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 2.2.4 平面与平面平行的性质

1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==?.

2. 其它性质：

①//,//l l αβαβ??；

②//,l l αβαβ⊥?⊥；

③夹在平行平面间的平行线段相等.

【经典例题】 【例1】已知三个平面α，β，γ，α∥β∥γ，a ,b 是异面直线，

a 与α，β，γ分别交于A ，B ，C 三点，

b 与α，β，γ分别交于D ，

E ，

F 三点，连接AF 交平面β于

G ，连接CD 交平面β于

H ，则

四边形BGEH 必为__________．

【分析】由α∥β∥γ，a 与AF 相交于A 有：BG ?面ACF ，

∴ BG ∥CF ,同理有：HE ∥CF ，∴BG ∥HE ．同理BH ∥GE

，

∴ 四边形BGEH 为平行四边形．

【解】平行四边形

【点拨】面面平行的性质有三条，均应熟记.

【例2】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、

F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD . 【分析】证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与

已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平

行移动、补形等方法，本题可以用平行四边形找平行线，也可以用面面平行的性质定理.

【证明】证法一：过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，EM ，FN

分别交AB ，BC 于M ，N ，连接MN .

∵ BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴ EM ∥BB 1，

FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ，

∵ AB 1=BC 1，B 1E =C 1F ，∴AE =BF ， 又∠B 1AB =∠C 1BC =45°，

∴ Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM =FN .

∴ 四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN .

又MN ?平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .

证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，

∴1111B E B G B A B B =，11B E C F =，11B A C B =，∴1111C F B G C B B B

=， ∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又∵EG FG =G ，AB BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD .

b 又EF ?平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD .

【点拨】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行?线面平行?面面平行”之间的互相转化而完成证明. G N M F E

E C D B A D 1C 1B 1A 1

点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc

精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面

(精编)点线面之间的位置关系测试题)

点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （ A ）过只能作一条直线与平面相交 （ B ）过可作无数条直线与平面 垂直 （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．． 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（ ） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时， 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2

点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结 【空间中的平行问题】 （1）直线与平面平行的判定及其性质 ①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 （线线平行→线面平行） ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行→线线平行） （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理： ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理： ①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 【空间中的垂直问题】 （1）线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 【空间角问题】 （1）直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0 ,a b ''0

空间点线面的位置关系教案教学文案

精品文档 精品文档 空间点线面的位置关系 （一）教学目标： 1. 知识与技能 （1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。 （3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进 行简单的体积或面积运算 2. 过程与方法 （1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观 （1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生 活中的应用。 （二）教学重点和难点： 1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定； 2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。 （三）教学过程： 【复习引入】 提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种? 如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？ 【新课讲授】 根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。 1、高考数学（文科）考试说明的了解 2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥a C.l 1//a 且l 2?a D. l 1//a 且l 2 ?a （2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥?⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面 通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。 公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0，); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b; a// b 2公理4：平行 =>a // c

高中数学必修点线面的位置关系知识点习题答案

D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面 的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。 推论2：两条平行直线确定一个平面。 推论3：两条相交直线确定一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： A · α C · B · A · α P · α L β

c a b c b a //////?? ??ααα////b b a b a ??? ? ????相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线： ①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便， 点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，]； ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定 1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线线平行 线面平行 共面直 2π

点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系 ● 知识梳理 （一）.平面 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．． 的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面 1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； 1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交 （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点. ②判定定理：////a b a a b αα α???????? ③性质定理：////a a a b b αβαβ??????=?

2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈?? 3.面面平行：①定义：//αβαβ=??； ②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥?. ③面面平行的性质：（1）////a a αββα????? ； （2）////a a b b αβαγβγ? ? =???=? （四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥. ②判定：,a b a b O l l l a l b ααα?? ?=? ???⊥??⊥? ⊥?? ③性质：（1） ,l a l a αα⊥??⊥； （2）,//a b a b αα⊥⊥?； 3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈?? ②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥； （2）判定定理： a a ααββ?? ?⊥?⊥?

点线面之间的位置关系的知识点汇总

点线面之间的位置关系的知识点汇总

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高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2

高中数学空间点线面之间的位置关系讲义

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α

四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题

1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.

空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

高中数学点线面的位置关系及三视图考点精析

专题点线面的位置关系及三视图 考点精要 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图. 3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 4．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 5．理解空间直线、平面位置关系的定义，并掌握公理体系，掌握平面基本性质. 热点分析 结合三视图考察组合体的体积和表面积公式. 平面的基本性质，空间两条直线的位置关系仍然是考察的重点. 知识梳理 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。2．平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面。通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画（面实背虚）。 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字 母来表示. 3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）图形符号语言文字语言（读法） ?直线a在平面α内。 A a ∈点A在直线a上。aα ?点A不在直线a上。aα=?直线a与平面α无公 A a

空间直线与平面平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_

D D所成的角， 2 = 3

D C P A B 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o ，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 2 7 , PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31 217 cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 31 217 巩固练习： 1 选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o ） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④ 两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线 条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条 （C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题 （1）设斜线与平面?所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .

即二面角A BC D --的大小为 2 arctan 2 （3）取AC的中点E，连接, EF OF，则//,// EF AB OE CD ∴OE与EF所成的锐角或直角即为异面直线AB和CD所成角 易求得45 OEF ∠= 即异面直线AB和CD所成角为45 例5、设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置． （1）P到三角形各边的距离相等． （2）P到三角形各顶点的距离相等． （3）PA、PB、PC两两垂直． 解析：设P在平面M内的射影是O． （1）O是△ABC的内心； （2）O是△ABC的外心； （3）O是△ABC的垂心．

空间中点线面位置关系

高一升高二暑假衔接立体几何 第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

专项---线与面、面与面的位置关系

1. 下面命题中，正确结论有 ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 2. 给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________． 3. (10年广东)若a 不平行于平面α，且a ?α，则下列结论成立的是______． ①α内的所有直线与a 异面 ②α内与a 平行的直线不存在 ③α内存在唯一的直线与a 平行 ④α内的直线与a 都相交 4. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是________． ①,,m n m n αα若则‖‖‖ ②,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ ③,,m m αβαβ若则‖‖‖ ④,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 5. 已知βα,、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 6. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,,m l A A m l m αα?=?I 点则与不共面； ②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα； ④若,,,//,//,//.l m l m A l m ααββαβ??=I 点则 其中为真命题的是 . 7. 【江苏·苏州】已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面， 有下列四个命题：

点线面之间的位置关系的知识点总结

点线面之间的位置关系 的知识点总结 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

必修二数学点线面之间的位置关系

必修二数学点、线、面之间的位置关系 一、基本位置关系 【知识要点】 1. 公理： 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示：ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,,。 公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示：l P l P P ∈=??∈∈,,βαβα。 2. 直线之间的位置关系 （1）平行：在同一平面内，且没有交点。 （2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。 （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理4（平行公理）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：313221////,//l l l l l l ?。 定理：空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3. 直线与平面之间的位置关系 （1）直线在平面内----有无数个公共点 （2）直线与平面相交--有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行----没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 4. 平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行---没有公共点 （2）两个平面相交---有一条公共直线 【基础训练】 1. 不共线的四点可以确定平面的个数可能为（ ） A.1或2个 B.2或3个 C.3或4个 D.1或4个 2. 若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ） A.直线在平面内 B.直线在平面外 C.直线上所有点都在平面外 D.直线与平面相交 3. 以下命题正确的是（ ） A ．两个平面可以只有一个交点 B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点

点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集

点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集 最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！ [整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1、不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立． 2、弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。 3、不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 4、透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。 5、使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。 专题1共点、共线、共面问题 （1）、证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。 （2）、证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。 （3）、证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。 [例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证： （1）、E，F，G，H四点共面； （2）、EG与HF的交点在直线AC上。 证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。 （2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。 设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。 因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。 归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做