新人教版高中数学必修知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全

等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一

点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

（1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

（3）直观图：斜二测画法

（4）斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

（5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

I

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线）

3）柱体、锥体、台体的体积公式

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 (1) 平面 ① 平面的概念：

A.描述性说明；

B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母a 、B 、丫表示，如平面a (通常写在一个锐 角内)；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面

BC 。

③ 点与平面的关系： 点A 在平面 二内，记作 A^::i ；点A 不在平面芒内，记作 A'j 点与直线的关系： 点A 的直线丨上，记作：

A € l ； 点A 在直线丨外，记作A - l ； 直线与平面的关系：直线丨在平面a 内，记作丨a ；直线丨不在平面a 内，记作丨二a

(2) 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

(即直线在平面内，或者平面经过直线)

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理

1： A- l,B 三1, Aw :;,B ?

丨二：；

(3) 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面 公理2及其推论作用：①它是空间内

确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

(4)

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点

，那么它们有且只有

一条过该点的公共直线

符号：平面a 和B 相交，交线是 a ,记作a n 3 = a 。 符号语言：P AflBh A 「|B =I,P ?丨 公理3的作用：

① 它是判定两个平面相交的方法。

② 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③ 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

「相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线彳 一 L 平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表示为：设 a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由 a 、b 的相互位置来确定，与 0的选择无关，为简便，点 0 —般取在两直线中

的一条上；

② 两条异面直线所成的角 e €(0，)刁

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a 丄b ；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(4)球体的表面积和体积公式:

V

球

= 4-.R 3

S 球面

=R

第二章 直线与平面的位置关系

a II

b

c b

=>a// c

1、直线与平面有三种位置关系：

(1)

直线在平面内 ——有无数个公共点

(2) 直线与平面相交一一有且只有一个公共点 (3) 直线在平面平行一一没有公共点

指岀：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用

a a 来表示

a 二 a a A a =A a

II a

22直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 简记为：线线平行，则线面平

行。 符号表示：

A ~ a ' b - p => a II a a II b -

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a p B

p

a A

b = P a //

a b I

a

2、判断两平面平行的方法有三种: (1) 用定义; (2) 判定定理;

(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行

2.2.3 —

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表

示：

a // P

aAy = a a - II b p A Y = b -

作用：可以由平面与平面平行得岀直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 1、定义

如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时

，它们唯一公共点 P 叫做垂足。

简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

L 与平面a 互相垂直，记作 L 丄a ，直线L

L

A P

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

汪意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想

1、二面角的概念：表示从空间一直线岀发的两个半平面所组成的图形

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

本章知识结构框图

平面（公理一1、公理2、公理3、公理一4）空

间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线丨与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线丨向上方向之间所成的角a叫做直线丨的倾斜角.特别地，当直线丨与X轴平行或重合时，规定a = 0 ° .

2、倾斜角a的取值范围：0 ° < a < 180 ° .当直线丨与X轴垂直时，a = 90 ° .

3、直线的斜率：

一条直线的倾斜角 a （a工90° ）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是k = tan a

⑴当直线丨与x轴平行或重合时，a =0 ° , k = tan0 ° =0;

⑵当直线丨与x轴垂直时，a = 90 ° , k 不存在.

由此可知，一条直线丨的倾斜角a —定存在，但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式：

给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1 工x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式：k=y2-y1/x2-x1

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它

们平行，即一-■- ； - ■'

解：解方程组

3x 4y - 2= 2x 2y 2

0 得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 M (-2，2)

3.3.3

点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式：

Ax o By o C

点P(x °, y °)到直线l:Ax+By+C=0的距离为：d=

, ----------

v'A^B 2

2、两平行线间的距离公式:

已知两条平行线直

线l 1和l 2的一般式方程为l 1 : Ax By '

- 0，

l 2 : Ax+By+C2= 0,贝 U l 1 与 l 2 的距离为

-A 2

B

第四章 圆与方程

注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立?即如果

k1=k2,那么一定有 L1 II L2 如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数,

3.2.1 直线的点 斜式方程

2、、直线的斜截式

方程：已知直线

I 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0,b ） 3.2.2 直线的两点式方程

P (X 1,X 2), P ?(X 2,y 2)其中(X 1 式 X 2, y 丰 y 2)

y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

I 与X 轴的交点为 A （a,0）， 与y 轴的交点为 B （0,b ）， 其中a - 0,b 0 3.2.3 直线的一般式方程

1、 直线的一般式方程：关于 x, y 的二元一次方程 Ax By ? C = 0（ A ，B 不同时为0）

2、 各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.两直线的交点坐标

1、给岀例题：两直线交点坐标

4.1.1圆的标准方程

2 2 2

2、两条直线都有斜率,

那么它们互相垂直，即

y - y 。=k(x - X o )

1、 直线的点斜式

2 2

PP=J(%-%)+(y2-yj

方程：直线

I 经过点P 0（x 0, y 0），且斜率为k

1、直线的两点式方程：已知两点

2、直线的截距式方程：已知直线

L1 : 3x+4y-2=0

L1: 2x+y +2=0

1、圆的标准方程：（x-a）?（y-b） = r

圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程

2 2 2

2、点M（x o,y°）与圆（x-a），（y-b）=r的关系的判断方法：

2 2 2 2 2 2

（1）（X。—a）?（y o—b）> r2，点在圆外（2）（沧—a）（y^b）= r2，点在圆上

2 2 2

（3）（x。—a） - （y。—b）

4.1.2圆的一般方程

1、圆的一般方程：x2y2Dx Ey F =0

2、圆的一般方程的特点：

（1）①x2和y2的系数相同，不等于0. ②没有xy这样的二次项.

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数 D E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.

（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指

出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线I : ax by ^0，圆C : x2y2Dx Ey F =0，圆的半径为r，圆心（一卫,--）到直线

2 2

的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当d r时，直线I与圆C相离；（2）当d = r时，直线I与圆C相切；

（3）当d ::: r时，直线I与圆C相交；

4.2.2圆与圆的位置关系

两圆的位置关系.

设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当I F，「2时，圆C1与圆C2相离；（2）当I汀-「2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|「1 —「2 | ：：：I :::「1 ■「2 时，圆G 与圆C2 相交；

（4）当I斗m - r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当I <| r1一r2|时，圆C1与圆C2内含；

4.2.3直线与圆的方程的应用

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：