1、分数的裂项(裂差)
第1讲 分数的裂项（裂差）
【内容综述】
在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：
1）1+2+3+?+n =()12
n n +； 2）1?2+2?3+?+n ?(n +1)=()()123
n n n ++； 3）1?2?3+2?3?4+?+n ?(n +1)?(n +2)=()()()1234
n n n n +++； 4）1?n +2?(n -1)+3?(n -2)+?+(n -1)?2+n ?1=()()126
n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626
n n n n ??++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216
n n n n -??++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216
n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()
2214n n +；
这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）
11111111111223341n n n n n
--+-+-++-=-=- 裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法。
11b a a b a b -=-?，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ??=- ?++??
。 例1. 计算：111112233499100
++++???? =________； 【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。
【解答】原式=1111111112233499100
-+-+-++- =111100
- =99100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
例2. 计算：123101224474656
++++???? =_______； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。 【解答】原式=
2142745646----++++
=111111111224474656
-+-+-++- =11156
- =
5556
【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果。
例3. 计算：1111255881198101
++++???? =__________； 【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13
，然后裂差吧。 【解答】原式=133333255881198101??++++ ???????
=1111111113255881198101??-+-+-++- ???
=11132101??- ???
=33202
【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项。
例4. 计算：11111353575799799101
++++???????? =_________； 【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？
【解答】原式=1111111114133535575779979999101??-+-+-++- ???????????
=11141399101??- ?????
=8339999
【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：
11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ??+-=?=?- ??+?+?+?+?++?+??
； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ??+--=?=?- ?-??+-??+-??+??
。
例5. 计算：11111121231234123100
+++++++++++++++ =_________； 【分析】分母先使用公式：1+2+3+?+n =()12
n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1?2，2?3，3?4，4?6，……，可以直接裂项了。
【解答】原式=11111251223103441001??+++++ ????????
=101121??- ???
=
200101
【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律。
例6. 计算：22222222
1223342012016122334201201556
++++++++???? =__________； 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。
【解答】原式=1111222212233420120165????????++++++++ ? ? ? ?????????????
（共2015项） =11112201122334201552016???++++ ??????+?
=1403012016??- ???
+ =201540302016
【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1
n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦。
【练习题】
1. 计算：
11111223344950++++???? =__________；
2. 计算：
1111144771097100
++++???? =__________；
3. 计算：
()()()()()2310011212123129912100+++?++?+++++?+++ =__________；
4. 计算：2
3
4
101
1212231223341223100101++++??+??+?+??+?++? =__________；
5. 计算：()()()()
2222
1223349910012233499100++++++++???? =__________；
【参考答案】1、49
50； 2、33
100； 3、5049
5050；、 4、2757
3434；
5、99396100；