机械振动学
《机械振动学》（研究生）（46学时内容与实施计划）
Part Ⅰ.线弹性系统的振动
Chapter1.多自由度系统的振动分析
Chapter2.弹性体的振动分析
Chapter3.多自由度系统的特征值、特征向量的计算
Chapter4.振动分析的数值方法
PartⅡ.随机振动
Chapter1.随机过程概论
Chapter2.随机过程的时域分析
Chapter3.随机过程的频域分析
Chapter4.系统的响应函数
Chapter5.系统的随机振动分析
Chapter6.结构随机响应的安全评估
PartⅢ.系统的参数识别（4学时）
参考文献：
【1】季文美《机械振动》科学出版社
【2】郑兆昌等《机械振动》（上、中册）机械出版社
【3】Meirovitch.L Element of Vibration Analysis McGrow-Hill
Part Ⅰ 第一篇 线弹性系统的振动 特点：（1）系统的恢复力和阻力分别于位移和速度成线性关系：
kx
x
c
(2)迭加原理成立；
第一章 多自由度系统的振动
研究对象： 多自由度系统-----有限多自由度的离散系统
离散系统-----其运动力学模型以集中参数表示，弹性元件无惯性，惯性元件无弹性 数学工具：常微分方程、线性代数
§1.系统运动微分方程
一、方程：
对于n 个自由度系统，其振动微分方程的最一般形式为：
[]{}[]{}[]{}{}F X K X C X
M =++ (1) 运动平衡方程 这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，称之为阻尼受迫振动方程 一般地，对于线弹性系统，[]M 、[]C 、[]K 均为实对称矩阵，即：
[]T M =[]M ，[]T C =[]C 、[]T K =[]K
说明：下面的讲解中，x =()t x ,()t x x =,()t x
x =,()t F F =
（1）若系统无干扰，即{}F ={}0，则方程为：
[]{}[]{}[]{}=++X K X C X
M {}0 （2） （2）式为阻尼衰减自由振动方程（在初始干扰下的振动） 若系统无阻尼，即[]C ={}0，则方程为:
[][]{}{}F X K X M =+?
??
???.. (3)
（3）式为无阻尼受迫振动方程（忽略阻尼的理想系统） 若系统既无阻尼又无干扰，即{}F ={}0，[]C ={}0，则方程变为
[][]{}{}0..=+?
??
???X K X M （4）
（4）式为无阻尼自由振动方程，这是运动方程的最简形式 可见：[]M 、[]K 是产生振动的最基本的原因
二、建立方程的方法
1、牛顿第二定律及其推论（质心、动量矩定理，动静法）--理论力学中方法，适用于质点系和刚体。
例1.图示三自由度系统：
以系统的静平衡位置为坐标原点，取分离体：
由牛顿第二定律，即：∑=i i
f
x
m
有：
()()f x x
c x c x x k x k x m 1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
.+-+--+-=
()()()()f x x c x x c x x k x x k x
m 2
2
3
3
1
2
2
2
3
3
1
2
2
2
2
+-+-----=+
()()f x x c x x k x
m 3
2
3
3
2
3
3
3
3
+---=-
用矩阵表示为：
???
????
???????=????????????????????+-++??????????????????
??+++???????????????????
?-------f
f f x x x k k k k k k k k k x x
x c c c c c c c c c x x x m m
m 321
3
21
3
3
3
3
2
2
2
2
1
3
21
3
3
3
3
2
22
2
1321
32
100000
00
000
可以简记为：
[]{}[]{}[]{}{}M C K X F X
X ++=
由此可见，[]M 、[]C 、 []K 均为实对称矩阵。
2、影响系数法（柔度法、刚度法）---结构力学中的方法，适用于以集中质量表示的弹
性体作自由运动的情况。
（1）柔度法：通过弹性体的柔度影响系数建立位移（变形）与外力之间的联系—力法 例2.图示具有2个集中质量的简支梁，设在集中力f
1
，
f
2
作用下，
m 1
、m 2
处的
挠度分别为
x 1
、x 2
。
由结构力学的力法方程（位移分别迭加）可得正则方程（位移方程）为：
????
?+=+=f
r f r x f
r f r x 2
22
1
21
22
121
111 矩阵表示为：??
??????????????
=??????f f r
r r
r x x 21222112
11
21 即：
{}[]{}f R x =--位移方程，其中[]R 为柔度矩阵，其元素
r
ij
称为柔度影响系数，表
示仅在系统的第j 个坐标上作用单位力，在第i 个坐标上引起的位移。
由位移互易定理（麦克斯韦尔定理）
[][]
T
ji ij R R r r =∴=
（柔度影响系数
r
ij
可以通过实测或单位力法计算获得）
若此梁作自由振动，则梁上的作用力只有惯性力，由动静法（达伦贝尔原理）：
x
m f
i i i
-= （i=1，2…），代入位移方程（5）中，经整理，得到：
?
??
???=??????+??
???
?????????????????00 0
0212121
22
21
1211x x x x m m r r r r （6） 即：
[][]{}{}{}0=+x x
M R ---以柔度矩阵表示的系统自振动方程 （2）刚度法
通过弹性体的刚度影响系数建立外力与位移（变形）之间的联系—位移法 例3 同前例2，
由结构力学的位移法可得正则方程（力方程）为：（力的分解与迭加）：
?????+=+=x k x k f x k x k f 22212122121111 矩阵表示为：?
??
???????
??=??????????x x k
k k
k f f 212221
12
11
21 （7） {}[]{}x K f = ---力方程
其中[]K 表示为刚度矩阵，其元素
k
ij
称为刚度影响系数，表示仅使第j 个坐标上产生单位
位移，需在第i 个坐标上施加的力。它可以通过单位位移计算获得。 由反力互易定理:
[][]
T
ji ij K K k k =∴=
若此梁作自由振动，作用梁上的力只有惯性力，且
x
m f
i i -=i
???
???=?
???????????+????????????000
021222112
1121
21
x x k
k k
k x x m m （8）
即：[]{}[]{}{}0=+x k x
m
关于[]K 、[]R 阵的讨论：
① []K 为正定或半正定阵，即[]0≥K 证明：用
()T
x 2
1左乘方程（7），得到： (){}()[]{}()[]{}0
2
10
2121U
左端是外力功之和
≥=∴≥=x K x U W x K x f x T
T
T
系统的弹性势能
即二次型对应的矩阵为正定阵或半正定矩阵。 若系统约束充分，无刚体运动，[]K 为正定； 若系统约束不足，有刚体运动，[]K 为半正定； ②[]K 与[]R 阵的关系
对于同一问题，虽然以柔度和刚度矩阵表示的系统的自由振动的微分方程的形式不同，但二者的本质是相同的，因为它们描述的是同一系统的振动规律。事实上，二者是可以相互转化的：
将方程6改写成如下的形式：
{}[][]{}x M R x -=，并代入方程8中，得到：
[]{}[][][]{}{}0=-x M R K x M ， [][][]()[]{}{}0=-x
M R K I [][][][]
I R K M =∴≠,
即[]K 、[]R 互为逆阵，[][]1
-=R K
若系统有刚体运动（约束不足），则对应的矩阵[]K 为半正定的，即[]0=K ，其逆阵
[][]1-=K R 将不存在。
因此，对于弹性体正定或半正定的系统，其[]K 存在，但对于半正定系统，其[]R 将不存在。
3、拉格朗日方程方法---分析力学中的方法，它是利用广义坐标、广义力，以能量的观点来研究系统的动力学问题，从而具有较大的普遍性，适用于复杂的多自由度系统（关于拉氏方程的推导，可参阅季文美《机械振动》Ch8，P318） 拉氏方程的一般形式为：（对于n 自由度的系统）
Q q q q q j j U T T dk d j j j =??+??+??-?????
?
??? ?
（j=1，2……n ） （9） 其中
q j
、q
j
表示第j 个广义位移和速度。
{}[]{}q q j
T
j
M T 2
1
=
为广义坐标下系统的动能
{}[]{}q K q U T
2
1=为广义坐标下系统的势能
Q
j
表示第j 个广义非势力（重力外的力），
{}[]{}q q c q C q j i n i n j
ij T ∑∑==2121?表示瑞利耗散函数 由此拉氏方程可导出振动系统运动微分方程的一般形式—阻尼受迫振动方程。 若系统无阻尼，即[]0=C ,则0=? 若系统为保守系统，则0=?，
0'=j
Q
（j=1，2……n ）
（无非势力） 特别说明：
（1）若系统的静平衡位置为势能零点，则U 中只需计算弹性势能； （2）计算T 时需用绝对速度 （3）阻尼力和相对速度成正比
例4 同例1的三自由度弹簧—质量系统 解：用拉氏方程建立系统的运动方程： 取:
x 1
、x 2、x 3、x 4
为广义坐标，以静平衡位置为势能零点
动能为：2
3
3222211321212121x k x k x k T T T T ++=
++=
势能为：2
2332122211321)(2
1)(2121x x k x x k k U U U x U -+-+=++=（以静平衡位
置为势能零点）
耗散函数()
()
?
??
?
?
??
?
=-+-+22332
1222121.
1x x c x x c x c ?（阻尼力与相对速度成正比）
非势广义力：
f
Q
j
j
=
' （j=1，2，3）
代入拉氏方程（9）
Q q q q q j j U T T dk d j j j =??+??+??-?????
?
??? ?
得到系统的运动方程为（以矩阵形式表出） ???
????
???????=????????????????????+++??????????????????
??+++???????????????????
?--------f
f f x x x k k k k k k k k k x x
x c c c c c c c c c x x x m m
m 321
3
21
3
3
3
3
2
2
2
2
1
3
21
3
3
3
3
2
22
21321
32
1
000000
例5自由度转子系统（半正定系统），用拉氏方程建立系统运动方程 解：取各转子的转角
θ
θθθ4
3
2
1
、、、为广义坐标，以静平衡位置为势能零点
。
动能：???? ??=+++24423322221
121T J J J J .
θθθθ 势能：()()()[]
2
34322322121k k k 2
1U θθθθθθ-+-+-=
因为是保守系统，所以0=?
，0'=j
Q （j=1，2，3，4）
代入拉氏方程得到系统扭转自由振动方程：
???????
???????=???
?????????
????????????????+++???
?????????????????????????------0000000
04321
3
3
3
3
2
2
2
2
1
111432143
2
1
θ
θ
θθθθθθ
k k k k k k k k k k k k J J
J
J 矩阵简记为
[]{}[]{}{}0=+θθK J
显然因系统的约束不足，具有刚体运动（整体转动）--自由转子 故刚度矩阵[]K 为半正定矩阵，其逆阵[]R 不存在
§2 方程的静、动力耦合 一、 静、动力耦合
在系统运动方程[][][]
{}{}F x K C M x x =+?
??
???+??????...中： 1．
若[]K 为非对角阵，即
0≠k
ij
，则系统为（静力耦合）弹性耦合的，例4、例
5中的[]K 阵均是三对角阵，这反映了串联质量系统的弹性耦合特性。
2．
若[]M 为非对角阵，即
0≠m
ij
，则系统是（惯性耦合）动力耦合的，对于串
联质量系统，[]M 是对角阵，如例1、2；对于非串联系统，[]M 通常不是对角阵。
3．
[]C 为非对角阵，即0≠c ij ，则系统是（速度耦合）动力耦合的，如例1系统。
显然，对应于具有耦合关系的系统运动方程是一个联立的二阶微分方程组，需要
注意的是：方程耦合与否取决于选定的广义坐标系，而与系统的固有特性无关。为了说明之，现举一个简单的例子。
例6.汽车车体用质量为m 的刚性梁表示，轮子简化为弹簧k ?1、k
?
2
，建立车体在铅垂平
面内的运动方程。
解：取静平衡位置为坐标原点，因为只考虑车体在铅垂方向的上下运动和俯仰运动，因而在运动过程的任一时刻，可用车体上某一点的铅垂坐标与车体绕该点的转角就可以完全确定车体的位置，这样车体可简化为一个二自由度的系统。
（1） 以质心C 的铅垂坐标
x c
和转角θ为广义坐标，即()θ,x c
以系统的静平衡位置为坐标原点，由拉氏方程建立系统的运动方程，用矩阵表示为：
22
2121θ J x c
c m T +=
()()2
222112121θθl x k l x k c c U -++=
代入保守拉氏方程中得：
?
?????=????????????
??+----++???????????
?00))()(002222111122112221θθx l k l k l k l k l k l k k k x J c c
c m 可见，由于
()j i k m
ij ij
≠≠=0,0，故以
()θ,x c
为广义坐标建立的系统运动方程是弹性（静
力）耦合的。弹性耦合的含义是，每一个广义坐标的运动不能独立发生，即每个坐标值的改
变将必然引起其余坐标值的改变。 若仅有平移运动
x
c
，则引起弹性力
x k c
1
和x
k c
2
，它们对质心C 点之力矩为：
0)(11222
2
1
1
≠-=+-=∑x l k l k l
x k l x k m c c c c
，
（除非0)(1122=-l k l k ）由于力矩不为零，必然要引起刚体的转动，从而必然会引起转角θ。
反之，若仅有转动运动θ，则必然引起弹性力k l 1
1
θ-和k
l 2
2
θ，它们在铅垂方向上
投影之后，0)1
12
2
2
2
1
1
(≠-=+=-∑θθθl k l k k l k l F x
，
（除非0)(1
12
2=-l k l k ）由于合力不为零，必然要使刚体在x 方向上发生位移，从而引
起位移x c
。
（2）以刚体的刚度中心E 点的纵向坐标
x
E
和转角θ位广义坐标，
)
,(θx E
x
E
为刚度中心，是刚体作平移x 时两弹簧力合力的作用点。可由理论力学中两同向平移
引起之合力性质确定。
有坐标转换关系：
???????+=+=-=θe e e x x l l l l c
E 2'
21'1????
???-=-=+=θe e e x x l l l l E
c '22'
11 由惯性平移定理得：
2
me J J c
E += θθθ 22
2.
22)(2
1)(212121me E m m T J e x J x E c c -+=+=-
(
)
()[]
[]
2
2
2
2
11
2
'
22
2
'
1
1
)(21
)(2121
2
1θθθθe e U l
x k l x
k l x
k l x k E
E
E
E +-+-+=-++= 对E 点建立系统的运动方程为：
?
??
???=????????????
??+++????????????--000
2'222'1121θθx l k l k k k x J E E
E me me m
可见，由于
()j i m k ij ij ≠≠=0,0，故以刚度中心和转角
)
,(θx E 为广义坐标系建立的系
统的运动方程是惯性（动力）耦合的。
与弹性体耦合的意义相类似，惯性耦合的力学含义是：每一个广义坐标的加速度是不能独立发生的。 （3）以刚体的一端A 的坐标
x
A
和转角θ为广义坐标，即),(
θx A
?????+=+=2
11l J J l x x m c
A c A θ?????-=-=211l J J l x x m A c A c θ 代入T,U 中，再代入方程（9），得到最终的矩阵形式表达的运动方程为：
?
??
???=?????
?????
??++????????????00222
22111θθx k k k k k x J l l A A A l l l m m m 可见，
()j i m k
ij ij
≠≠≠,0,0，即以),(θx A 为广义坐标建立的系统的运动方程既有静力
（弹性）耦合，又有动力（惯性）耦合。这是方程耦合最一般的形式。
从上例讨论可知，对于同一系统，由于选取的广义坐标系不同，所建立的系统运动方程的表达形式也是不同的，即方程表达式取决于坐标系的选取。但是，由这些不同坐标系所求的系统的运动特性（固有频率、振型）都是相同的，因为系统的固有特性是由系统的物理参数决定的，而与坐标的选取无关。
这类似于一个既定物体的运动（如圆周、曲线运动），对于不同的坐标系（如直角、自然、极坐标系），其运动方程和轨迹方程的表达形式是不尽相同的，但是所描述的物体的运动规律是相同的。轨迹曲线的形状只有一个，它不因坐标系的选取而改变。
事实上，一个系统的运动方程的表达式随不同的坐标而改变，恰恰体现了系统本身力特性不随坐标而改变的重要本质—形式变而本质不变的辩证思想。（变是为了不变的思想） 二、 主坐标—使运动方程既无静力耦合又无动力耦合的一组广义坐标，即成为无耦合
的坐标系 在主坐标中，系统运动方程中的[]M 、[]C 、[]K
都成为对角阵，从而系统微分方程成为
一组彼此独立的微分方程组，每一方程（成为单自由度系统运动方程）可独立求解。 对于任何振动系统，总存在着主标系，有些且不止一组。利用线性变换的方法，将其变换成主坐标系，即通过线性变换可使方程组去耦，这类似于解析几何中二次曲线的标准化过程（二次型化为标准的过程）。 在oxy 坐标系下，曲线方程
02
2
=+++++F Ey Dx Cxy B A y x 耦合项，通过坐标变换，使原
方程在主坐标系
y x o '''下，成为如下的形式：
0122=-'+'y b x a
当然对于多自由度系统的线性变换没有这样简单，具体的方法将在学至主振型时再详细介绍，这里先给出方法。
示意图：
主坐标系非主坐标系线性变换???→? 与此同时，非耦合方程耦合方程解耦??→?
这是一个同步的过程。 第一讲结束！
§3.固有频率、主振型（特征值、特征向量）
系统在无阻尼自由振动时的动力特性---固有特性（固有频率、主振型）是多自由度系统振动的关键，故先讨论之。
n 个系统的无阻尼自由振动方程式：
[]{}[]{}{}0x K M =+x
（1） 无阻尼自由振动也成为简谐振动，故设解的形式为：
(){}{})sin(φ+=pt X t x （2）
其中{X}—振幅列向量，p —固有频率，φ—初相角 即各坐标以不同振幅、同频率、同相位做简谐运动 将（2）式代入方程（1）中得：
[]{}[]{}{}0)sin()sin(2=+++-φφpt X K pt X M p [][]{}{}0)(2=-X M p K （3）振型方程
{}}0{=X 表示静止的状态，因此（3）是以{}X 为未知解向量的线性齐次方程组，{}X 有
非零解的充要条件是：
[][]02=-M p K （4）（特征方程或频率方程），以2
p 为未知量的n 次代数方程，从中
解出方程的n 个根（特征值）为：
221
2
3
22
2
1
p
p
p
p
p
n
n ≤
≤
≤
≤
- （按从小到大的顺序排列）
数学上可以证明：当系统为正定系统时，其特征值
)1(0n i p i
=>
p
i
为系统的第i 阶固有圆频率，固有频率计算公式为：
)1(2n i p
f
i
i
==
π
将
p i
)1(n i =分别代入线性方程组（3）中，求得解向量（特征向量）为：
{}i X )1(n i =--系统的第i 阶主振型，表示系统以第i 阶固有频率作自由振动时各点的振幅比值（振动模态）
{}T
ni i i i i x x x x X ),,(321 = 其分量为?
?
?--表示振型阶数表示坐标
i j x ji 由线性方程组理论可知，若{}i X 是方程组（3）的解向量，则{}i X α（α是任意常数）也是方程组的解向量。为此可将每一个解向量（主振型）做归一化处理，如用每一个解向量中
的最大（小）元素通除向量中各元素。
将n 阶主振型向量，按固有频率顺序组成一个n 阶方阵，记为：
[]{}{}{}[]n X X X 21P =---振型矩阵
注：（1）n 个自由度的系统有n 阶固有频率和n 阶主振型（数学上称为特征值与特征向量问题，是线性代数计算方法研究的主要内容，在实际中常用数值方法求解）
（2） 固有频率和主振型仅由系统本身的物理参数（[]M 、[]K ）确定，而与初始条件和干扰力无关
（3） 主振型表示系统以某一固有频率振动时各点振幅相对值（振动模态），而并非为各
点振幅的绝对值。 例
7.图示弹簧质量系统：已知：
m m m m m
m ===32
1
,5.1,2，
k k k k k k
===321
,2,3
求系统的各固有频率
p i
和主振型{}i
X
解：选取系统的静平衡位置为坐标原点，取x x x 3
2
1
,,为广义坐标
系统的自由振动方程为：
??
??
?
?????=????????????????????----+????????????????????00003202505.102321321
x x x x
x x k k
k k k k k m m m 其对应的振型方程为: [][]02
=-M p K (*)
其特征方程为：
05.1322252
2
2
=-------m p k k
k m p k k
k m p k
展开后，整理得：
0)(2)(5.75
.532246=-+-m
k
p m k p m k p 用数值方法解得三个根（固有频率）为：
m
k m
k m
k
p
p
p
54
.3,61
.1,351
.023
22
2
1
=== 将
)3,2,1(2=i p
i
分别代入线性方程组（*）中，即[][]{}{}02
=??
? ?
?-
i
i
X M K p ，解得对应的特征向量（主振型）为：（为了便于比较，将每一主振型中的第三个分量取基准1）：
{}{}{}T
T T T T
T x x x x x x x x x X X X ),,()1,542.2,440.2(),,()1,607.0,679.0(),,()1,649.0,302.0(332313332221223121111=-==--=== []{}{}{}[]n X X X P 21,=
主振图（模态图）为：
结论：节点数=振型阶数-1
对于位移方程（运动微分方程的反形），亦可进行类似上述的分析。 设系统为正定系统，方程为：
[][](){}{}{}0)(=+t x t x
M R （4-20） 令其解为：(){}{})sin(φ+=pt X t x ，代入上式，得：
[][]{}{}{}0)sin()sin(2=+++-φφpt X pt X M R p [][]{}{}{}02=+-X X M R p [][][]{}{}0)(2=-X I M R p
[][]{}{}0)1
(2
=-
X I p D 其中，[][][]M R D =为系统的动力矩阵 令：2
1
p =
λ，则[][]{}{}0)(=-X I D λ （*）（振型方程） {}}0{≠X 的充要条件为：[][]0=-I D λ 此即为频率方程、特征方程
展开后为λ的n 次代数方程，可解得特征根为i λ：
n λλλ≥≥≥ 21 （从大到小排列）
由于21i
i p =
λ，有 2
2221n p p p ≤≤≤ 将i λ（i=1.2……n ）依次代入到方程（*）中，解得对应的主振型为：{}{}{}n X X X 21, 从而振型矩阵为[]{}{}{}[]n X X X P 21,= 例
8.一个三自由度的简支梁，已知
m
m m m ===3
2
1
，求
{}()
3,2,1,=i X i
i
p
解：以系统的静平衡位置为坐标原点，取广义坐标为
x x x 3
2
1
,,
用柔度法建立梁的自由振动方程：
[][](){}{}{}0)(=+t x t x
M R 补充知识：由材料力学公式，各柔度系数为：
)
3,2,1(6)()
3,2,1(3)(2
2
2
22
=--=
==-=i EJl
l i EJl
l l l l l r
r l l r
j i j
i
ji
ij
i i
ii
因此，得到：[]????
?
?????=????
?
???
??=9117111611711976833332
31232221
13
1211
EJ l R r
r
r r r r r r r ，非奇异阵 []][1110032
1
I m m M m m
m =??
???
?????=????
???
??
?= 动力矩阵[]????
?
?????=911711161171197683
EJ m l D
振型方程：[][]{}{}0)1
(2=-
X I p
D （*） 如前所述，特征方程为：[][]{}{}0)(=-X I D λ （2
3768p ml EJ
=
λ），从中解得λ的三个根：
444.0,2,556.3132
1
===λλ
λ
2
3
2
2
2
1
6
.41,6
.19,93
.4ml EJ
ml EJ ml EJ p
p
p
=== 将
λ
i
)3,2,1(=i 分别代入振型方程，解得对应的主振型：
{
}()
{}()
{
}()
12311
1011
1
T
T
T
X X X ==-=
则对应的振型矩阵为：[]{}{}{}[]????
??????--==11
1
20
2
111
,321X X X P ， 主振图（模态图）为：
振型的对称、反对称是由于结构的对称性（刚度、质量、约束）而造成的。 结论2：对称结构，其奇数次振型均为对称的，其偶数次振型均为反对称的。 关于对称结构，有3种对称类型：（1）几何对称：形状、尺寸等；（2）物理对称：刚度、质量（惯量）；（3）约束的对称性
§4主振型的正交性、方程解耦 一、 正交性
设n 个自由度的正定系统，其n 个特征对为：
2
2
2
2
1
0p
p
p
n
<
<<
<
{}{}{}n X X X ,,21
由系统的特征对应满足的齐次线性方程组（振型方程）为：
[][]{}{}[]{}[]{}
X M X K X M K p p 2
20)(=?=-
对第i 个特征时：
[]{}[]{}i i X M X K p 2
= （1）
对第j 个特征时：
[]{}[]{}j j X M X K p 2
= （2）
用{}j T
X 前乘（1），得：{}
j
T X []{}{}[]{}i j T i X M X X K p 2
= （3）
用{}i T
X 前乘（2），得：{}
i
T
X []{}{}[]{}j i T j X M X X K p 2
= （4）
因为[][]T
M M =、[][]T
K K =，
因此(3)、(4)式中的二次型（{}[]{}11???n n n T
n ）
均是个11?矩阵（即为一个数），其转置就是其本身，即：
{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}j
T i j T T i T
i T j i T j j
T i j T T i T i T j i T j X M X X M X X M X X M X X K X X K X X K X X K X ======)()(
利用上述2式，由（3）-（4）式得：
{}[]
{})2,1(0)(22n j i X M X p p j T
i j i =≠=- (5)
因为无重根，即)2,1(n j i p p j
l
=≠≠
故{}[]
{})2,1(,0n j i X M X j T
i =≠= （6）
这表明：各阶振型是关于[]M 正交的
将（6）式代入（4）式中，有：{}[]{})2,1(,0n j i X K X j T
i =≠= （7）
这表明：各阶振型矩阵是关于[]K 正交的。
正交性的物理意义是：各阶主振型关于[]M 和[]K 阵的加权正交性反映各个不同的主振型之间既无惯性耦合又无弹性耦合。
（6）式反映了各主振型振动之间无惯性耦合； （7）式反映了各主振型振动之间无弹性耦合；
例：设系统的第i 阶主振动位移为：{})
sin(
}{)(t X t X p i
i i =，速度为：
(){})cos(}{t X t X p p i
i
i i
= ，加速度为：(){})sin(}{2
t X t X p p
i
i
i i
-= ，系统的惯性力为：
())sin(}]{[}]{[}{2
t X M t X M f p p
i
i
i
i =-= ，第j 阶主振动的微位移为：
t d t p p X dt X dX j
j j j j cos }{}{}{== ，则第i 阶惯性力i f }{在第j 阶位移j dX }{上所做功为：
{}{}{}[]{}0sin
cos 2
===t t X M X f dX p p p p l
j
l
j i T j i T
j
这说明：各主振型之间不存在惯性耦合。同理，由[]K 的正交性可得各主振型之间亦不存在弹性耦合。 将
[]{}j X M 21
, []{}j X K 2
1分别视为第j 阶的广义惯性力和广义弹性力向量（均差系数为1/2）,则：
{}[]{})(,021j i X M X j T i ≠=-第j 阶广义惯性力在第j 阶主振型上做功为零 {}[]{})(,02
1j i X K X j T i ≠=-第j 阶广义弹性力在第j 阶主振型上做功为零 即：第j 阶广义惯性力对于其他主振型不发生作用，即任何两个主振型之间不存在惯性耦合和弹性耦合，从而各阶主振型的能量（动能、势能）彼此独立，各主振型之间不发生能量的交换。
二、 主质量、主刚度矩阵
用{}T
i X 前乘（1）式，得：{}[]{}
{}[]{}i T
i i i
T i
X M X p X K X 2= （8）
由于系统为正定的，即[]M 、[]K 均为正定阵，则上式两端均恒大于0。 左端：{}[]{}0)(
>=∑∑x
x k mi
li
n l
n
m lm
i T
i
X K X
右端：{}[]{}0)(
>=∑∑x
x m mi
li
n l
n
m
lm
i T i
X M X
定义如下：
{}[]{}M i i T i X M X ?),2,1(n i =为系统的第i 阶主质量（广义质量） {}[]
{}K i i T i X K X ?),2,1(n i =为系统的第i 阶主刚度（广义刚度） 将（9）、（10）代入（8）中，得：
{}[]{}{}[]
{}),2,1(,2n i X M X X K X p M
K
i
i i T i i T
i i ==
=
（11）
即系统的第i 阶固有频率的平方等于第i 阶主刚度与主质量之比。 若主刚度↑↑?2
i i
p K 若主质量
↓↑?2i i
p M
这与单自由度系统固有频率与刚度、质量之间的关系完全相同。 用振型矩阵][P 和其转置阵T
P ][分别左乘和右乘[]M ，则有：
[]{}{}{}{}{}{}[]{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{})
2,1(],[)(00][][][][][][][][][][n 2
1
9612212121112121n i diag X M X X M X X M X X M X X M X X M X X M X X X X M X X X P M P M M M M
M p i n T
n T n T T n T T
T n T n T T
T
===??????
???????
?????
?
??
??????
?=??
????????????=））和定义式（由正交性（ （12) 主质量矩阵（广义质量矩阵）
从数学角度看，上式即用振型矩阵][p 对[]M 阵进行线性变换（正交变换），使其变成对角阵，该对角阵即为主质量矩阵。
同理，利用振型矩阵关于刚度阵的正交性，可对[]K 进行对角化，即：
[]{}{}{}{}{}{}[]
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{})
2,1(],[)(00][][][][][][][][][][n 21
10712212121112121n i diag X K X X K X X K X X K X X K X X K X X K X X X X K X X X P K P K K K K K p i n T n T n T T n T
T T n T n T T
T ===?????
?
??????????????
????????=?
???
??????????=）
）和定义式（由正交性（（13） 主刚度矩阵（广义刚度阵）
将系统的n 个特征值排成n 个对角阵（特征值矩阵）
机械动力学论文
上海大学2015 ～2016学年秋季学期研究生课程考试 课程名称：机械动力学课程编号： 09Z078001 论文题目: 机械动力学在机械行业的应用与发展 研究生姓名: 学号: 论文评语: 成绩: 任课教师: 刘树林 评阅日期:
机械动力学在机械行业中的应用及发展 （上海大学机电工程与自动化学院，上海200072） 摘要：机械动力学在实际中的应用有很多方面，应用在机械行业是一个主要方向。机械动力学是数控机床和机器人实现智能化发展的基础之一。本文在阐述机械动力学发展的基础上，结合机器人中的实际应用重点分析。另外，引用最优控制理论的分析方法将会对机械动力学分析有着很大的促进作用。 关键字：机械动力学，机器人，智能化，最优控制 The application and development of mechanical dynamics in machinery industry (Mechanical and electrical engineering and automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China) Abstract: Mechanical dynamics in the actual application has many aspects, the application in the machinery industry is a main direction.Mechanical dynamics is one of the foundation for the development of the intelligence of NC machine and robots.In this paper, on the basis of the mechanical dynamics development, we are talking about robots combined with actual application.In addition,the reference analysis method of the optimal control theory will play great role in promoting of mechanical dynamics analysis. Key words: mechanical dynamics; robots; the intelligence;the optimal control 德国政府于2013年提出“工业4.0”的概念(1)，推出不久，便引起了全球广泛的关注。“工业4.0”的三大主题：智能工厂、智能生产、智能物流。都离不开智能二字，未来的工业发展的目标也是智能化。中国也在加紧制定自己未来“工业4.0”的发展规划。那么，说到智能工厂、智能生产具体到实际中就是数控机床和机器人的智能化发展。而机械动力学是实现上述规划的发展动力和基础。 1 引言 随着工业的不断发展，机械行业在不断进步的同时(2)，也呈现出了一些显著特点是，自动调节和控制装置日益成为机械不可缺少的组成部分。机械动力学的研究对象已扩展到包括不同特性的动力机构和控制调节装置在内的整个机械系统，控制理论已渗入到机械动力学的研究领域。高速、精密机械设计也都呈现了不同的特点，为了保证机械的精确度和稳定性，构件的弹性效应已成为设计中不容忽视的因素。例如，数控机床、机器人、车辆等设计。在某些机械的设计中，已提出变质量的机械动力学问题。各种模拟理论和方法以及运动和动力参数的测试方法，日益成为机械动力学研究的重要手段。 1.1 机械动力学研究的内容 任何机械，在存在运动的同时，都要受到力的作用。所谓机械动力学就是研究机械在力作用下的运动和机械在运动中产生的力，并从力与运动的相互作用的角度进行机械的设计和
机械振动试题(参考答案)
机械振动基础试卷 一、填空题（本题15分，每空1分） 1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。 2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（），（）元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。 4、叠加原理是分析（ ）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（ ）运动。 二、简答题（本题40分，每小题10分） 1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。 （10分） 2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动简述其能量集聚过程 （10分） 3、 简述刚度矩阵[K]中元素k ij 的意义。 （10分） 4、 简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。 （10分） 三、计算题（45分） 、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2 无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r 1、m 1、I 1和m 2、I 2。轮2的轮缘上连接一刚度为k 的弹簧，轮1悬挂质量为m 的物体，求： 1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I 1＝I 2，扭转刚度K r1＝K r2。 1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分） 、（15分）根据如图所示微振系统， 1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5 分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分） 参考答案及评分细则： 填空题（本题15分，每空1分） 1、线性振动；随机振动；自由振动； 2、势能；动能；阻尼 图2 图3
高中物理机械振动知识点总结
一. 教案内容： 第十一章机械振动 本章知识复习归纳 二. 重点、难点解读 （一）机械振动 物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。 产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。 （二）简谐振动 1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－kx，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。 （三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。 1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。 （四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线 方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。 （五）振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表
机械振动论文机械振动论文
机械振动论文机械振动论文 浅谈京石高速铁路客运专线CFG桩的施工 摘要： CFG桩是水泥粉煤灰碎石桩的简称，一般有三种成桩施工方法：即振动沉管灌注成桩、长螺旋钻孔灌注成桩和长螺旋钻孔管内泵压混合料灌注成桩。介绍成桩试验的机械选择、材料及配合比、施工过程及工艺流程。 关键词：高速铁路；CFG桩；工艺性试验 工程概况：由中铁十二局集团承建的京石高铁客运专线JS-4标段第三项目经理部全长12.6公里，新建路基2.36km，采用长螺旋钻机成孔泵送混合料CFG桩施工。 1 CFG桩施工工艺及现场在各阶段的质量控制要点 长螺旋钻机成孔泵送混合料施工CFG桩施工工艺及施工顺序：1）钻机就位：钻机就位后，应使钻杆垂直对准桩位中心，确保CFG桩垂直度容许偏差不大于1%。现场控制采用在钻架上挂垂球的方法测量该孔的垂直度，也可采用钻机自带垂直度调整器控制钻杆垂直度。2）钻进成孔：钻孔开始时，关闭钻头阀门，向下移动钻杆至钻头触地时，启动马达钻进，先慢后快，同时检查钻孔的偏差并及时纠正。在成孔过程中发现钻杆摇晃或难钻时，应放慢进尺，防止桩孔偏斜、位移和钻具损坏。根据钻机塔身上的进尺标记，成孔到达设计标高时，停止钻进。3）混合料搅拌：混合料搅拌必须进行集中拌和，按照配合比进行配料，每盘料搅拌时间按照普通混凝土的搅拌时间进
行控制。混合料出厂时塌落度可控制在160mm～200mm。4）灌注及拔管：钻孔至设计标高后，停止钻进，提拔钻杆20～30cm后开始泵送混合料灌注，每根桩的投料量应不小于设计灌注量。钻杆芯管充满混合料后开始拔管，并保证连续拔管。施工桩顶高程宜高出设计高程30～50cm，灌注成桩完成后，桩顶盖土封顶进行养护。5）移机：灌注时采用静止提拔钻杆（不能边行走边提拔钻杆），提管速度控制在2－3米／分钟，灌注达到控制标高后进行至下一根桩的施工。 2 铁路客专《验标》对长螺旋钻施工CFG桩质量要求 1）施工前应进行成桩工艺性试验（不少于2根试验桩），以复核地质资料以及机械设备性能、施工工艺、施打顺序是否适宜，确定混合料配合比、塌落度、搅拌时间、拔管速度等各项工艺参数，根据试桩中发现的问题修订施工工艺。2）在工程施工前，所选用的设备型号应符合设计桩经、设计加固深度的要求。3）现场施工的CFG桩数量、布置形式及间距应符合设计要求。桩长、桩顶标高及直径应符合设计要求。4）钻机应先慢后快。在成孔过程中，如发现钻杆摇晃或难钻时，应放慢进尺，否则容易导致桩孔偏斜、位移，甚至使钻杆、钻具损坏。5）混合料应按设计配合比经搅拌机拌和，塌落度、拌和时间应按工艺性试验确定的参数进行控制，且不得少于一分钟。6）CFG桩成孔到设计标高后，停止钻进，开始泵送混合料。先拔管20cm～30cm后开始泵送混合料，当钻杆芯充满混合料后开始拔管，严禁先提管后泵料。成桩时的拔管速度控制在2-3米/分钟。成桩过程应连
机械振动 知识点总结
机械振动 1、判断简谐振动的方法 简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。特征是：F=-kx,a=-kx/m. 要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x 轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。 2、简谐运动中各物理量的变化特点 简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x 存在直接或间接关系： 如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况 3、简谐运动的对称性 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。 理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 4、简谐运动的周期性 5、简谐运动图象 简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。 6、受迫振动与共振 (1)、受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 位移x 回复力F=-Kx 加速度a=-Kx/m 位移x 势能E p =Kx 2/2 动能E k =E-Kx 2/2 速度m E V K 2
东北大学机械振动论文作业
谈振动利用工程的认识及应用举例 作者姓名：刘营 作者学号：1200462 指导教师：李朝峰 东北大学机械工程与自动化学院 东北大学 2012年11月
Talk About The Vibration Application Engineering And Application Examples By Liu Ying Northeastern University November 2012
摘要 在一般情况下，振动是一种不需要的、有害的现象，应该加以消除或隔绝，但在很多场合，振动是需要的和有益的，应该加以利用。随着现代科技的进步，消振、减振、隔振、降噪的研究得到了迅速的发展，并在实际中得到大量的应用，对提高产品质量和保护生产环境起到了很好的保证作用。而振动利用的研究，也取得了丰硕成果，在工程领域中得到了广泛应用，出现了一批利用振动的振动机械，以及各种振动加工技术，并且由于近代科学发展和学科交叉，振动利用的研究和应用已经和许多学科结合跨出了工程领域，进人了社会经济领域及自然界振动利用领域的扩展，充实了振动工程学科的内涵，说明人们已经由认识振动，控制振动发展到利用振动来改造世界。这是一个更为重要的转变，必将进一步推动振动工程的发展，更好地造福于人类。 关键词：振动；机械；振动利用工程
Abstract Usually, vibration is a harmful phenomenon that we don't need and should be eliminated in our life. But in many cases, vibration is beneficial to us and should be used. Along with the progress of modern science and technology, vibration reduction, vibration isolation, noise reduction research have got a rapid development and a lot of application have been used in our life. This play a good role in improving product quality and protecting the environment. And the research of vibration using have made great achievements. It get a wide range of applications in engineering field. This result in a batch of using of the vibration of mechanical vibration, and various vibration processing technology. Because of the modern scientific development and course cross, the research and application of vibration using have combined with a cultural and engineering field and expand the vibration field. This enrichs the connotation of the vibration engineering discipline and explains people has realized that we can use and control the vibration to change our world. This is a very important change and will promote the development of vibration engineering to benefit mankind. Keywords: vibration; machinery; vibration using engineering
大学 机械振动 课后习题和答案
试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++
求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+
两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&
机械振动和机械波知识点总结教学教材
机械振动和机械波 一、知识结构 二、重点知识回顾 1机械振动 （一）机械振动 物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。 产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。 （二）简谐振动 1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。 （三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。 （四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在 圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。 （五）振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。 （六）机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析 （1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动，受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。 （2）在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振，声音的共振现象叫做共鸣。 2机械波中的应用问题 1. 理解机械波的形成及其概念。 （1）机械波产生的必要条件是：<1>有振动的波源；<2>有传播振动的媒质。 （2）机械波的特点：后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。 （3）机械波运动的特点：机械波是一种运动形式的传播，振动的能量被传递，但参与振动的质点仍在原平衡位置附近振动并没有随波迁移。 （4）描述机械波的物理量关系：v T f ==? λ λ 注：各质点的振动与波源相同，波的频率和周期就是振源的频率和周期，与传播波的介质无关，波速取决于质点被带动的“难易”，由媒质的性质决定。 2. 会用图像法分析机械振动和机械波。 振动图像，例：波的图像，例： 振动图像与波的图像的区别横坐标表示质点的振动时间横坐标表示介质中各质点的平衡位置 表征单个质点振动的位移随时间变 化的规律 表征大量质点在同一时刻相对于平衡位 置的位移 相邻的两个振动状态始终相同的质 点间的距离表示振动质点的振动周 期。例：T s =4 相邻的两个振动始终同向的质点间的距 离表示波长。例：λ=8m
机械振动学习题解答大全
机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???
机械振动基础课后答案 机械振动课件
机械振动基础课后答案机械振动课件【--文秘基础】 引导语：振动物体受回复力等于零的位置;也是振动停止后,振动物体所在位置;平衡位置通常在振动轨迹的中点。下面是为你带来的机械振动课件，希望对你有所帮助。 1、什么是简谐运动？什么是回复力？ 2、掌握简谐运动的特点和各量的变化规律 1、机械振动：物体在平衡位置所做的往复运动叫机械振动 2、回复力：总是指向平衡位置，并使物体回到平衡位置的力叫回复力 注意：回复力是效果力，是物体所受力的合力或合力的分力 3、简谐运动 （1）定义：物体在与偏离平衡位置的位移大小成正比，总是指向平衡位置的力作用下的振动叫简谐运动 （2）简谐运动的特征：
回复力F：总是指向平衡位置，其大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。公式:F??kx 加速度a：总是指向平衡位置，其大小与偏离平衡位置的位移大小成正比。公式:a??kxm （3）各量的方向特点：位移x：方向偏离平衡位置回复力F：总是指向平衡位置加速度a：总是指向平衡位置， 速度v：除两个端点外的任何位置，速度有两个可能的方向 （4）各量的大小变化规律 请同学们思考：动量和动能的大小变化规律所以：简谐运动是加速度变化的变速运动。（5）简谐运动的对称性： 在简谐运动中对称的两个点有如下的几个关系：位移大小相等方向相反；回复力大小相等方向相反；加速度的大小相等方向相反；速度的大小相等，方向可能相同可能相反；动量的大小相等，方向可能相同可能相反；动能的大小相等；
弹簧振子：理想化的物理模型 音叉叉股的上各点的振动，弹簧片上 各点的振动，钟摆摆锤的振动等 简谐运动是最简单的振动形式，要研究振动只有从简谐运动开始 例1：下列哪些物体的运动属于机械振动（） A、在水面上随波运动的小舟 B、在地面上拍打的篮球 C、摩托车行驶时的颠簸 D、秋千的运动 例2、关于振动的平衡位置，下列说法正确的是（） A、位移为零 B、回复力为零 C、加速度为零 D、合力为零 E、速度最大 例3、弹簧振子在光滑的水平地面上做简谐振动，在振子向平衡位置运动的过程中（） A、振子受回复力逐渐增大 B、振子的位移逐渐增大 C、振子的速度逐渐减小 D、振子的加速度逐渐减小 例4、一个弹簧振子沿水平方向的x轴做简谐运动，原点O为平衡位置，在震动中某个时刻可能出现的情况是（）
机械运动知识点总结
机械运动知识点总结公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
1、机械运动 （1）参照物 人们判断物体是运动的还是静止的，总是先选取某一物体作为标准，相对于这个标准，如果物体的位置发生了改变，就认为它是运动的；否则，就认为它是静止的。这个被选作标准的物体叫做参照物。（2）机械运动 物理学中把一个物体相对于参照物位置的改变，叫做机械运动，简称为运动。 2．运动和静止 （1）由于运动的描述与参照物有关，所以运动和静止都是相对的。（2）自然界中的一切物体都是运动的，没有绝对静止的物体。平时所说物体是“运动的”或“静止的”都是相对于参照物而言的，这就是运动的相对性。 3．机械运动的分类 （1）根据物体运动的路线，可以将物体的运动分为直线运动和曲线运动。 （2）直线运动，可以分为匀速直线运动和变速直线运动。 匀速直线运动：在相同时间内通过的路程相等，运动快慢保持不变。 变速直线运动：在相同时间内通过的路程不相等，运动快慢发生了变化
4．速度 （1）定义：物体在单位时间内通过的路程叫做速度。可见，速度可以定量描述物体运动的快慢。 路程 （2）公式：速度= 时间 s 用s表示路程，t表示时间，v表示速度，则速度公式可表示为：v= t （3）单位：如果路程的单位取米，时间的一单位取秒，那么，由速度公式可以推出速度的单位是米/秒，符一号为m/s，读作米每秒。常用的速度单位还有千米/时，符号为Km/h，读作千米每时。 5．参照物的选取及有关物体运动方向的判断 （1）位置的变化判断 一个物体相对于另一个物体，如果其方位发生了变化或距离发生了变化，则这个物体相对于参照物的位置就发生了变化。 （2）如果两个物体同向运动，以速度大的物体为参照物，则速度小的物体向相反方向运动。 6．比较物体运动快慢的方法 （1）在通过的路程相同时，用运动时间比较运动的快慢。在路程相同时，所用时间短的物体运动快，所用时间长的物体运动慢。 （2）在运动时间相同时，用路程比较物体运动的快慢。即在时间相同时，通过路程越长的物体运动得越快，通过路程越短的物体运动得越慢。
机械振动学论文
《矿物加工机械振动学》 课程结业论文 题目：选矿工艺中的振动筛 姓名 所在学院材料科学与工程学院 专业班级矿物加工11-2班 学号 2011302978 指导教师张东晨 二〇一三年十一月六日 课程论文指导教师评阅意见 学生姓名耿宴专业 班级 矿物加工 学号2011302978 矿加11-2班
（论文）题目选矿工艺中的振动筛 指导教师张东晨教师职称 课 程 论 文 评 语 评定成绩： 指导教师签名： 年月日
选矿工艺中的振动筛 矿物加工工程2011-2班 摘要：近年来，随着科技水平的提高，人们对商品的需求也越来越精细， 质量越来越高，振动筛的技术在制造业上也有更高的要求，同时随着国民经济的发展，筛分技术和设备在各行各业中的应用越来越广泛。筛分的主要设备是振动筛。振动筛广泛应用在选煤、选矿、电力、轻工、化工、有色金属等工业部门，对中、细粒度物料进行干湿式筛分、脱水、脱介、脱泥。结构先进，坚固耐用，振动噪声小，维修方便。 关键词：振动筛圆振动筛直线振动筛噪音 筛分机械被广泛用于许多工业部门，种类繁多，一般按筛面的结构形式和运动形式，将其分为以下几种类型。 一振动筛的分类 （1）固定筛。固定筛是最简单，也是最古老也是一种最简单的筛分机械，由许多平行排列的钢棒用横杆连在一起构成筛面，筛面按一定倾角放置、固定不动。根据筛缝大小，筛面可采用圆钢、方钢、钢轨或T形断面的型钢。物料由倾斜筛面的上方给入，靠自重由上而下沿筛面下滑，并进行筛分。 固定筛的优点是构造简单，寿命长，不需要动力，坚固可靠，设备成本和使用成本低，但是，它的缺点是单位面积处理能力低，筛分效率低，而且安装时要求比较大的落差。所以这种筛子一般只用于分级粒度≥50mm 时的筛分。 （2）辊轴筛。辊轴筛的筛面由许多根垂直筛上料的辊轴排列而成，各辊轴用电机通过链传动或齿轮传动带动而同向旋转，安装在辊轴上的是星轮对物料颠簸和输送，生产能力和筛分效率比固定筛高。辊轴筛结构坚固、工作可靠、运转平稳，但结构复杂、笨重，生产能力和筛分效率低。辊轴筛适用于入料粒度比较大时的原煤预先筛分。 （3）滚筒筛。滚筒筛的筛面为圆柱面或圆锥面筛筒，沿筛筒的对称轴线装有转轴，当传动装置带动转轴转动时，筛筒也随之回转。圆锥面筛筒水平安装，物料由筛筒小端给入，并随筛筒旋转被带起，当达到一定高度时，因受重力作用自落下，如此不断起落运动，使细粒透筛，粗粒则逐渐被运送到筛筒大端排出。滚筒筛运转平稳可靠，但生产能力低、筛孔易堵塞、筛分效率低，可用于粗、中粒物料的筛分。 （4）摇动筛。摇动筛的筛分工作面是一个带平面的矩形筛箱，筛箱利
机械振动课程学习体会
机械振动课程学习心得体会 机械振动作为一门专业基础课程，其涉及的学科、专业面广，需要学员具备数学、力学、计算机技术及实验技术等基础理论知识。其主要目的与任务是培养学生学习和掌握机械振动的基本理论，初步具有把机械系统振动、噪声等实际问题抽象为理论模型，并利用所学到的理论知识和方法来分析和解决实际机械系统振动噪声问题的能力，学会机械振动噪声的测试分析及实验方法和技能。培养学生对机械系统动态问题的认识和分析能力，并且提高学生在学校和将来解决实际工程问题的能力。 通过该网络课程学习，我主要从如下方面对该课程进行了系统性学习： 1、再一次深入了解了机械振动的基础知识，如振动研究的基本内容和方法、振动的分类、振动的运动学分析基础知识、频谱分析知识及相应的力学模型建立等基础知识； 2、深入学习了单自由度的自由振动的分析方式和方法。在单自由度系统中，学习了无阻尼自由振动、能量法、等效质量与等效刚度概念，并对其计算进行了相关学习； 3、单自由度的强迫振动学习。理解并掌握了单自由度系统强迫振动的基础知识，结合工程实例例如带有集中载荷的悬臂梁系统，通过在自由端施加力的激励下引起强迫振动的振动频率特性分析，通过该课程学习的知识，利用频率特性曲线，可以很好的求出系统固有频率及阻尼常数；学习到了某种机械系统受到外在激励作用下的分析方法和可采用的实验手段；如稳态受迫振动的主要特性：①在简谐激振力下，单自由度系统稳态受迫振动亦为简谐振动。 ②稳态受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。③稳态受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的 固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 4、学习了二自由度系统。在双自由度系统的学习中，掌握了二自由度无阻尼自由振动基本知识，并对在一个系统中受到谐振激励条件下的稳态响应进行了较为详细的学习，并能很好的运用到工程实际问题中；除此之外，对动力吸振器的原理进行了学习，通过该原理学习，给实际工厂中工件在车削中发颤引起的噪音问题提出了较为合理的解决方案； 连续系统的定义：系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的振动系统叫连续系统；工程振动测试的主要参数：位移、速度、加速度、激振力、激振频率和振幅。 5、在多自由度系统中，运动方程如何建立、固有频率与振型的分析方法如：振型截断法、状态空间法等，还了解了计算基频的近似方法。通过这些方法的学习，无论是给工程实际问题，还是对以后该课程及相关课程的教学上面都提供了比较好的素材和知识面，以便能更好的完成教学和科研工作； 6、连续弹性体振动及有限元法：弹性连续体振动问题都只是在简单的特殊边界情况下才能得到精确解，而对于复杂弹性连续体的振动，通常无法得到精确解。因此，只能采用近似解，近似解方法很多，其要旨在于将无限自由度系统（连续体）变换成为有限多自由度系统（离散系统）来处理。有限元的基本思想是将一个复杂结构（连续系统）看成是有限个基本元素（单元）在有限个结点彼此相联结的组合结构。每个单元都是一个弹性体。有限元法通常是采用位移法，即以结点处的位移作为基本未知量，单元的位移是用结点位移的插值函数表示，单元以至整个结构的一切参数包括位移、应变、应力等都通过结点位移表示出来。从振动问题来看，最后是将一个连续体的振动问题变成了一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。有限单元法分析过程基本上可分为结构离散化、单元分析、整体分析三个步骤。
机械制造技术基础论文
金属的切削加工 摘要：金属切削加工过程中刀具与工件之间相互作用和各自的变化规律是一门学科。在设计机床和刀具﹑制订机器零件的切削工艺及其定额﹑合理地使用刀具和机床以及控制切削过程时﹐都要利用金属切削原理的研究成果﹐使机器零件的加工达到经济﹑优质和高效率的目的。金属的切削加工主要内容包括金属切削中切削力和切削功、切削热和切削温度、刀具的磨损机理和刀具寿命、切削振动和加工表面质量、切屑的形成和变形等。 关键词：刀具机床切削原理切削加工切削热与切削温度 切削原理 工件与刀具之间相互滑移即表示金属切削的剪切变形经过这种变形以后,切屑从刀具前面上流过时又在刀、屑界面处产生进一步的摩擦变形。通常，切屑的厚度比切削厚度大，而切屑的长度比切削长度短，这种现象就叫切屑变形。金属被刀具前面所挤压而产生的剪切变形是金属切削过程的特征。由于工件材料刀具和切削条件不同,切屑的变形程度也不同,因此可以得到各种类型的切屑。 机械加工设备 机械加工是一种用加工机械对工件的外形尺寸或性能进行改变的过程。按被加工的工件处于的温度状态，分为冷加工和热加工。一般在常温下加工,并且不引起工件的化学或物相变化，称冷加工。一般在高于或低于常温状态的加工，会引起工件的化学或物相变化，称热加工。冷加工按加工方式的差别可分为切削加工和压力加工。热加工常见有热处理，煅造，铸造和焊接。 各种设备繁多，笼统的称：热处理设备、锻造设备、铸造设备、焊接设备、金属切削机床、压力机等等。金属切削机床大的类别有：车、钻、镗、磨、齿轮加工、铣、刨、拉、专用机床等等，一般以车床和铣床应用较广泛。 刀具种类及材料 金属切削过程是通过刀具切削工件切削层而进行的。在切削过程中，刀具的刀刃在一次走刀中从工件待加工表面切下的金属层，被称为切削层。切削层的截面尺寸被称为切削层参数。此外，在切削层中需介绍一重要概念－背吃刀量ap，对于外圆车削，它指已加工表面与待加工表面间的垂直距离。 金属切削刀具一般有45度车刀，90度车刀，镗刀，铰刀，拉刀，铣刀等，一般情况的加工车刀和铣刀应用较多，所以以下内容多以车刀为主。
机械振动总结复习习题及解答
欢迎阅读 1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ??=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量 kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。另一边cm b 5=。试求固有频率。 k b l θθ I 0m 解：弹性势能 2 )(2 1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --= 总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2 122 代入0==i x x dx dU 可得 可求得0=θ满足上式。 再根据公式02 2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件： 即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。 系统的动能为 22 10θ?=I T 代入0)(=+dt U T d 可得
由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为： 固有频率 代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。 解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为 ?=r （1－cos θ）=2rsin 22θ 取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ?=2mg r sin 22θ ≈ 21mgr 2θ （a ） I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ） bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ） 而柱体的动能为 T=21 I b ? θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有 21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]? ?θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 由()0T d E U +=可知： 解得 22/()n kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程 解 1）建立广义坐标。设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。
电机学论文
步进电机 随着现代高新产业的发展，电机技术的逐渐成熟，各式各样的电机如雨后春笋般出现。也正是在这时，步进电机顺应着时代产生了。 步进电机作为执行元件，是机电一体化的关键产品之一，广泛应用在各种自动化控制系统中。它是用电脉冲信号进行控制，将电脉冲信号转换成相应的角位移或线位移的微电动机，它最突出的优点是可以在宽广的频率范围内通过改变脉冲频率来实现调速，快速起停、正反转控制及制动等，并且用其组成的开环系统既简单、廉价，又非常可行，因此在打印机等办公自动化设备以及各种控制装置等众多领域有着极其广泛的应用。随着微电子和计算机技术的发展，步进电动机的需求量与日俱增，研制步进电机驱动器及其控制系统具有十分重要的意义。步进电机转动使用的是脉冲信号，而脉冲是数字信号，这恰是计算机所擅长处理的数据类型。从20世纪80年代开始开发出了专用的IC驱动电路，今天，在打印机、磁盘器等的OA装置的位置控制中，步进电机都是不可缺少的组成部分之一。总体上说，步进电机有如下优缺点：1．不需要反馈，控制简单；2．与微机的连接、速度控制（启动、停止和反转）及驱动电路的设计比较简单；3．没有角累积误差；4．停止时也可保持转距；5．没有转向器等机械部分，不需要保养，故造价较低；6．即使没有传感器，也能精确定位；7．根椐给定的脉冲周期，能够以任意速度转动；但是，这种电机也有自身的缺点，比如说难以获得较大的转矩；不宜用作高速转动；在体积重量方面没有优势，能源利用率低；超过负载时会破坏同步，速工作时会发出振动和噪声。 说了这么多，那么步进电机到底是怎样的呢？现在让我们一起走入步进电机的世界探究探究吧。 首先说说步进电机的分类吧。步进电机在构造上有三种主要类型。他们分别是反应式（Variable Reluctance，VR）、永磁式（Permanent Magnet,PM）和混合式（Hybrid Stepping,HS）。他们由于组成不同自然也各有其优缺点。反应式步进电机定子上有绕组、转子由软磁材料组成。结构简单、成本低、步距角小，可达1.2°、但动态性能差、效率低、发热大，可靠性难保证。永磁式步进电机的转子用永磁材料制成，转子的极数与定子的极数相同。其特点是动态性能好、输出力矩大，但这种电机精度差，步矩角大（一般为7.5°或15°）。那么，这两种步进电机如果单独使用都不能满足达到最好效果，所以这时，混合式步进电机就应运而生了。它综合了反应式和永磁式的优点，其定子上有多相绕组、转子上采用永磁材料，转子和定子上均有多个小齿以提高步矩精度。其特点是输出力矩大、动态性能好，步距角小，但结构复杂、成本相对较高。按定子上绕组来分，共有二相、三相和五相等系列。最受欢迎的是两相混合式步进电机，约占97%以上的市场份额，其原因是性价比高，配上细分驱动器后效果良好。该种电机的基本步距角为1.8°/步，配上半步驱动器后，步距角减少为0.9°，配上细分驱动器后其步距角可细分达256倍（0.007°/微步）。由于摩擦力和制造精度等原因，实际控制精度略低。同一步进电机可配不同细分的驱动器以改变精度和效果。