北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习_理科数学

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（理工类）

2013.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数

1

1i

-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2

- D . 1i 2

（2）已知集合{}

23M x x =-<<，{}

lg(2)0N x x =+≥，则M N =

A. (2,)-+∞

B. (2,3)-

C. (2,1]--

D. [1,3)-

（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=- ，()2,1OC m m =+

.若//AB OC ，则实数m 的值为

A ．3-

B ．17-

C ．35-

D ．3

5

（4）在极坐标系中，直线1

cos 2

ρθ=

与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．

3π B ．2π C ．32π D ．65π （5）在下列命题中，

①“2

απ

=

”是“sin 1α=”的充要条件； ②34

1()2x x

+的展开式中的常数项为2；

③设随机变量ξ～(0,1)N ,若

(1)P p ξ≥=，则1

(10)2

P p ξ-<<=

-． 其中所有正确命题的序号是 A ．②

B ．③

C ．②③

D ．①③

（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图

如图所示，则这个几何体的体积为 A. 4

B.

C. D. 8

（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，

B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=?.

过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足

为N ，则||

||

MN AB 的最大值为

A.

B. 1

C.

3

D. 2

（8）已知函数*

()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ?∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++= 成

立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则

数列{}n b 的前5项和等于 .

（10）在ABC ?中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,

则tan A = .

（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .

正视图

侧视图

俯视图

（12）如图，圆O 是ABC ?的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA

的延长线于点D .

若CD =，2AB AC ==，则线段AD 的

长是 ；圆O 的半径是 .

（13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.

当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上

方程2()0a x a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .

（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，

点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ?=

时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）

已知函数21

()sin 222

x f x x ωω=

-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2

x π∈时，求函数()f x 的取值范围.

D

-，,2．称“从盒中随机抽取一盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01

张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．

（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；

（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；

，，试求随机变量X=ξη?的分布列与数学期望（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη

EX．

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且

PE PF

PB PC

λ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）当1

2

λ=

时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，

试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

P

D

A

B

C

F

E

已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,

2,离心率为

2

，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求EM FN ?

的取值范围.

设

1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6的

任意一个全排列，定义10

11

()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.

（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；

（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（理工类）

2013.4

一、选择题：

二、填空题：

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）1cos 1

()222x f x x ωω-=

-+

1

cos 22

x x ωω=

+ sin()6

x ωπ

=+

. …………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6

f x x π=+. 由222262k x k ππππ-

≤+≤π+，k ∈Z ，得36

k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36

k k ππ

π-π+]，k ∈Z . ………………8分

（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,

]666x πππ

+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126

x π

-≤+≤. ………………………………………12分

所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1

,12

-]. ……………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则

21()42

P A =

=． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

1

2

．…………………………3分 （Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．

由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

12

． 所以0

41

344

111111()1[()()()]2

2

2216

P B C C =-?+?=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11

16

．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．

21(2)448P X=-==?； 21

(1)448P X=-==?； 77(0)4416P X==

=?； 21(=1)448P X ==?； 21(=2)448P X =

=?； 11(=4)4416

P X ==?． 所以随机变量X 的分布列为

所以1()210188168816

4

E X =-?-?+?

+?+?+?=24．……………………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，

PE PF

PB PC

λ==， 所以 EF BC ．

因为BC AD ，所以EF AD ． 而EF ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，

所以EF 平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，

平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥， 所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．

又因为AB AD ⊥，

所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,

()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．

当1

2

λ=

时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22

F ,

所以11

(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=- ． 设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，

所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|BF CD θ-?-=??== ，

所以异面直线BF 与CD

…………………………………9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC

=-=-． 由已知PF PC λ

=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，

所以000

,

,22.x y z λλλ=??

=??=-? 所以(,,22)AF λλλ =-． 设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =

,

所以110,0.

AF AD n n

??=???=?? 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=??=? 令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．

设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-

,

所以220,0.

PD CD n n ??=???=?? 即2222220,0. y z x y -=??

-+=? 令21x =，则2(1,1,1)=n ．

若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ?=，所以(22)0λλ-+=，解得2

3

λ=． 所以当2

3

λ=

时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分）

解：函数定义域为{}

0x x >， 且(2)(1)

()2(2).a x a x f x x a x x

--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即

02

a

≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.

②当012a <

<，即02a <<时，令()0f x '>，得02

a

x <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2

a

，(1,)+∞.

令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2

a

.

③当12

a

=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分

(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121(

)2(1)10e e e e e e

a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，

需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f

解得1a =-或2ln 2a <-

. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，

（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；

且4

84

14

(e )20,(2)22ln 20e e f f -=

--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2

a

上单调递减，在(1,2]上单调递增；

又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2

a x ∈时，总有()0f x >. 因为22e

12a a

a +-<<+，

所以22222222(e )e

[e

(2)](ln e

22)0a a a a a

a

a

a

f a a a ++++-

-

-

-

=-++++<.

所以在区间(0,)2

a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2

a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2

ln 2

a <-

或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

依题意得2

22

22

,1314a b c c

a a

b ?=+??

?=???+=??解得24a =，21b =.

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点(2,0)A .

（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易

得(1,22

E F

，(3,(3,)22

M N -，所以1EM FN ?= . …………………………………………6分

（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.

由22

(1),440

y k x x y =-??+-=?得2222

(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844

,4141

k k x x x x k k -+==++.

直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22

y y

y x y x x x =

-=---， 令3x =，则1212(3,

),(3,)22

y y

M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=-- ，2222(3)

(3,)2y x FN x x -=-- . ……………………10分

所以11221212(3)(3)

(3)(3)22

y x y x EM FN x x x x --?=--+?

-- 12

1212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+

--

2121212(1)(1)

(3)(3)(1)(2)(2)

x x x x k x x --=--+?

--

2121212121212()1

[3()9][1]2()4

x x x x x x x x k x x x x -++=-++?+?

-++

22

2222222

2222

44814484141(39)(1)4484141

244141

k k k k k k k k k k k k k --+-++=-?+?+?-++-?+++ 22

22

1653()(1)414k k k k

+-=?++ 22216511164164

k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为2

0k >，所以2

1644k +>，所以22

1655

11644

k k +<<+，即5(1,)4EM FN ?∈ . 综上所述，EM FN ? 的取值范围是5

[1,)4

. ……………………………………14分

（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）10

11

()|23|7654321012857k

k k S x

x τ+==

-=+++++++++=∑. ……3分

（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：

20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,

30,27,24,21,18,15,12,9,6,3

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，

所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分

（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，

所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○

其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880???=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分