数学学案：函数的综合应用(2)

函数的综合应用（2）

一、 复习目标：

以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题.

二、基本练习：

1、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！）

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式

)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）

3、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式 1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立， 则 （ ）

A ．11<<-a

B ．20<

C ．2321<<-a

D ．2123<<-a 4.（05江苏卷）若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .

5. （05北京卷）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：

①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212

()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22

x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .

（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

三、例题分析：

1、 (05广东卷)设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

2. （05北京卷）设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；

（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；

（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

3、已知函数f x a x k ()=+（a >0且a ≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数f

x -1()的图像

过（8，2）点.

（1）求a 、k 的值； （2）若将y f x =-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数

y g x =()的图象，写出y g x =()的解析式；

（3）若函数F x g x f

x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。

四、作业 同步练习 函数的综合应用（2）

1、(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R 的函数???=≠-=1

,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 （ ）

A ．0c

B ．0>b 且0

C ．0

D ．0≥b 且0=c

2、已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，x

x x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)(

恒成立，则n m -的最小值是 （ ）

A ．31

B ．32

C ．1

D ．3

4

3、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2

1)1(f x f x f f +=+=

则=)5(f ( ) A ．0 B ．23 C ．25 D ．2

3- 4、（04年全国卷三.理11）设函数?????≥--<+=1

141 )1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为

（A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞

（C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -

5、（04年湖南卷.理6）设函数?

??≤++?=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6、（04年上海卷.文理5）设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-. 若当[0,5]x ∈时,

()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的 解是 . 7、(05北京卷)对于函数)(x f 定义域中任意的

)(,2121x x x x ≠，有如下结论：

①)()()(2121x f x f x x f ?=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=?； ③;0)()(2

121>--x x x f x f ④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 .

8、(2005年高考·天津卷·理16)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线2

1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 9、(05全国卷Ⅰ)若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则

10、 已知函数1

2)(+=

x x x f 与函数)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，（1）求)(x g 的表达式。

（2）若)(1)2(x x Φ=+Φ，当)0,2(-∈x 时，)()(x g x =Φ，求)2005(Φ的值。

11、（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II ·理17)

设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围.

12、函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，

（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.

（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.

答案：

例题：

1、解: (I) 由于在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，故(0)0f ≠．若()f x 是奇函数，则(0)0f =，矛盾．所以，()f x 不是奇函数．

由(2)(2),()(4),(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-????-=-??-=+=-??

)10x (f )x (f +=?, 从而知函数()y f x =是以10T =为周期的函数．

若()f x 是偶函数，则(1)(1)0f f -==．又(1)(110)(9)f f f -=-+=，从而

(9)0f =． 由于对任意的x ∈（3，7]上，()0f x ≠，又函数()y f x =的图象的关于7x =对称，所以对区间[7，11）上的任意x 均有()0f x ≠．所以，(9)0f ≠，这与前面的结论矛盾．

所以，函数()y f x =是非奇非偶函数．

(II) 由第(I)小题的解答，我们知道()0f x =在区间（0，10）有且只有两个解，并且(0)0f ≠．由于函数()y f x =是以10T =为周期的函数，故(10)0,()f k k Z ≠∈．所以在区间[－2000,2000]上，方程()0f x =共有4000280010

?=个解． 在区间[2000,2010]上，方程()0f x =有且只有两个解．因为

(2001)(1)0,(2003)(3)0f f f f ====，

所以，在区间[2000,2005]上，方程()0f x =有且只有两个解．

在区间[－2010,－2000]上，方程()0f x =有且只有两个解．因为

(2009)(1)0,(2007)(3)0f f f f -==-==，

所以，在区间[－2005,－2000]上，方程()0f x =无解．

综上所述，方程()0f x =在[－2005,2005]上共有802个解.

例2解：（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．

当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *?(0, x 2)，则x 1f (x 1)，

这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.

当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *?( x 2, 1)，则x *<≤x 1f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间.

（II ）证明：由（I ）的结论可知：

当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2；

当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1；

对于上述两种情况，由题意得

21

0.510.5x r x r +??-+?≤≤ ① 由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r.

又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ②

将②代入①得

x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③

由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．

所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．

（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1

x 1＋x 2＝l ， ④

在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足

x 3＋x 1＝x 2， ⑤

由④与⑤可得213

1112x x x x =-??=-?, 当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．

由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34．

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取

x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．

3、解：（I ）由f x ()及f x -1()的图像分别过点（-1，1）和点（8，2），得：

181212==??????==???-++a a

k a k k （II ） f x f x x x ()()log =∴=-+-21112，

将y f x x ==--121()log 的图像向左平移2个单位，向上平移1个单位得到 ()()y x x =+-+=+log log 222112

()∴=+>-g x x x ()log ()222

（III ）()

()F x x x ()log log =+--22221 ∴=++F x x x

()log 2221 x F x >∴≥+=

0221522，()log 当且仅当x x =

2且x >0，即x =2时，F x ()取到最小值52 作业：

1—5、CCCCC 6、(2,0)(2,5)- 7、②③ 8、0 9、155 10（1）28()5x g x x -=-；（2）3(2005)5

Φ= 11解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3|1||1|2x x +--≥

① （1） 当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立。

（2） 当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥

，即314x ≤< （3） 当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解

综上x 的取值范围是3,4??+∞????

12．解:（1）①若1,012±==-a a 即，

1）当a =1时，6)(=

x f ，定义域为R ，适合； 2）当a =－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不合；

②若6)1(3)1()(,01222+-+-=≠-x a x a x g a 为二次函数，

)(x f 定义域为R ，R x x g ∈≥∴对0)(恒成立，

11150

)511)(1(110)1(24)1(901222<≤-????≤+-<<-??????≤---=?>-∴a a a a a a a ； 综合①、②得a 的取值范围]1,11

5[- （2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，

显然012≠-a

20112-=<-∴x a 且、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根，

?????==+->-

?????-=-=?-=--=+>-<∴40231121611)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a =2.