第12讲.专题突破之一元二次方程.尖子班.教师版

方程12级 特殊根问题

方程13级 根系关系及应用题

方程6级

方程14级

一元二次方程专题突破

春季班 第十二讲

春季班 第十讲

围图形

漫画释义

满分晋级阶梯

12

专题突破之

——一元二次方程

本讲主要分为四个版块，模块一主要复习了一元二次方程的基本知识，模块二复习了基本解

法，此两版块内容寒假班曾经学过，老师可带领学生进行复习，题型三把特殊根这部分重点内容进行进一步的深化，综合应用版块内容基本为中考难度，对于初二同学来说难度不小可重点讲解。

本讲为一元二次方程的综合复习，老师可根据班级进度安排9~12讲内容，如果程度略差可利用本讲模块一二对寒假进行复习，可以节省老师自行寻找题目回顾寒假内容的时间；程度较好班级老师可采取小考形式增强学生自信心。

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题型切片

编写思路

一、一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．

1. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．

2. 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．

要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．

3. 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数． 2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．

二、一元二次方程的解法

1. 直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程．

2. 配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．

3. 公式法：利用求根公式和判别式来求解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．

4. 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 三、一元二次方程根的判别式

1. 一元二次方程根的判别式的定义：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、

c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2. 判别式与根的关系．

设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

有两个不相等的实数根1,2x =．

②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0?

若a ，b ，c 为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

若?

为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 3. 一元二次方程的根的判别式的应用．

① 运用判别式，判定方程实数根的个数；

② 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ③ 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

④ 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．

思路导航

【例1】 ⑴ 关于x 的方程()2

5410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）

A. a ≥1

B. a >1或a ≠5

C. a ≥1且a ≠5

D. a ≠5

⑵ 已知关于x 的方程()2110kx k x +--=，下列说法正确的是（ ）

A. 当k =0时，方程无解

B. 当k =1时，方程有一个实数解

C. 当k =1-时，方程有两个相等的实数解

D. 当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解

⑶ 若关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根是1-，则a – b + c = ；若有4a - 2b + c = 0此方程必有一个根 ．

【解析】

⑴A ；⑵C ；⑶0，2x =-．

【例2】 用适当的方法解关于x 的一元二次方程：

⑴ ()2

2239x x -=- ⑵

2250x --= ⑶ ()()22352360x x ---+= ⑷ ()

22321410a a x ax +--+=

【解析】 ⑴123,9x x ==

；⑵1,2x =

1253,2x x ==；⑷1211,131x x a a ==+-．

典题精练

典题精练

题型一：一元二次方程的定义及方程的根

题型二：一元二次方程的解法

【例3】 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．

⑴讨论此方程根的情况；

⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．

【解析】⑴当1k =﹣

时，方程440x =﹣﹣为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠﹣

时，方程2131220k x k x k +++=（）（﹣）﹣是一元二次方程， ()()()()22

3141223k k k k ?=+=﹣﹣﹣﹣．

∵()2

30k -≥，即0?≥，

∴k 为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；

⑵∵方程可化为()()11220x k x k +++-=????，

∴11x =﹣，24

21

x k =

-+， ∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数， ∴ 当1k =时，方程的两根为﹣1，0；

当3k =时，方程的两根为﹣1，﹣1． ∴1k =，3．

【例4】 若k 为正整数，且关于k 的方程()

()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求

k 的值．

【解析】原方程变形、因式分解为()()()211631720k k x k x +---+=，

()()112160k x k x ????+---=????．即1121x k =+，26

1x k =-． 由121k +为正整数得k = 1，2，3，5，11；由61

k -为正整数得k = 2，3，4，7. ∴k = 2，3使得1x ，2x 同时为正整数，但当k = 3时，123x x ==，与题目不符，所以，只有k = 2为所求．

典题精练

题型三：一元二次方程的特殊根

【例5】 已知关于x 的方程2

1

(1)(3)0m

m x m x k +++-+=，问：

⑴ m 取何值时，它是一元一次方程？ ⑵ m 取何值时，它是一元二次方程？

①若2x =是一元二次方程的一个根，求k 的值； ②若3k =-，求出此一元二次方程的解；

③分别求出一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数 根对应的k 的取值范围．

④若一元二次方程的解是整数，把你发现字母k 的取值规律用含字母n （n 为正 整数）的式子表示为 ．

【解析】 ⑴ 当1m =-或m = 0 ；

⑵ 当m = 1，原方程是一元二次方程.

满足212m +=，m + 1 = 2，原方程化为2220x x k -+=是一元二次方程． ① 把x = 2代入2220x x k -+=得4k =-．

② 当3k =-时，一元二次方程为22230x x --=

，解得1x =

，2x =． ③ 当一元二次方程无实数根，0?<，即()2

280k --<，解得1

2

k >

； 当一元二次方程有两个相等的实数根，0?=，即()2

280k --=，解得12

k =； 当一元二次方程有两个不相等的实数根，0?>，即()2

280k -->，12

k <． ④ ()21n n --．

【例6】 已知关于x 的方程()23130mx m x +++=．

⑴ 求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；

⑵ 若此方程有两个不同的整数根，试确定m 的正整数值；

⑶ 当m 为⑵中所求数值时，1x 与1x n +（n ≠0）分别是关于x 的方程

()23130mx m x b +++-=的两个根，求代数式22114125168x x n n n ++++的值．

（北师大附期中）

【解析】

⑴ 当m =0时，3x =- 当0m ≠时，2961m m ?=-+()2

31m =-0≥

∴m 为任何实数时，方程总有实根

题型四：一元二次方程的综合运用

⑵ ()()310x mx ++= 13x =-，21x m

=-

∴1m =± ∵m >0

∴m = 1

⑶ 211430x x b ++-=

()

()2

11430x n x n b ++++-=

∴124x n =--

原式=()22816645168n n n n n n +++--?+++

222

8166

245

168n n n n n n =++--+++24=

【例7】 列方程（组）解应用题：

如图是一块长、宽分别为60m 、50m 的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m 的一横两纵的甬道．

⑴ 用含x 的代数式表示草坪的总面积S ；

⑵ 当甬道总面积为矩形面积的10.4%时，求甬道的宽．

（2012石景山二模）

【解析】 ⑴ ()

22

506060250216021603000S x x x x x x =?-+?--=-+.

⑵ 由题意得2104

216050601000

x x -+=??，

解得x =2或x =78．

又0 < x < 50，所以x = 2．

答：甬道的宽是2m

真题赏析

训练1. m 为何值时，方程()21230m x mx m -+++=

⑴无实根 ⑵有实根； ⑶只有一个实根； ⑷有两个实根； ⑸有两个不等实根； ⑹有两个相等实根．

【解析】a = m – 1 b = 2m c = m + 3 ⑴ 24b ac ?=-()()24134m m m =--+?

2244812m m m =--+1280m =-<

∴8m > 12 ∴m > 3

2

⑵ 若m – 1 = 0，即m = 1时，

2x + 4 = 0，x = – 2．

若m – 1 ≠ 0，即x ≠ 1时

241280b ac m ?=-=-≥

∴m ≤ 3

2

综上所述：m ≤ 3

2

时方程有实根

⑶ m – 1 = 0，即m = 1时， 2x + 4 = 0 ，x = – 2 ∴m = 1

⑷ 241280b ac m ?=-=-≥

m ≤ 3

2

且m ≠ 1

⑸ 241280b ac m ?=-=->

m < 3

2

且m ≠ 1

⑹ 241280b ac m ?=-=-=

m = 3

2

训练2. 如果关于x 的方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a ++++++++=（其中a ，b ，c 均为

正数）有两个相等的实数根．证明：以a ，b ，c 为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．

【解析】 原方程可变形为：()()2320x a b c x ab bc ca ++++++=

∵原方程有两个相等的实数根

∴()()2

2120a b c ab bc ca ???=++-++=??，

整理上式得：()()()222

20a b b c c a ??-+-+-=??

，

思维拓展训练(选讲)