第三章位置与坐标
一、知识要点
一、平面直角坐标系
(一)有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对。
1、记作(a ,b);
2、注意:a、b的先后顺序对位置的影响。
(二)平面直角坐标系
1、历史:法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形;
2、构成坐标系的各种名称;
3、各种特殊点的坐标特点。
(三)坐标方法的简单应用
1、用坐标表示地理位置;
2、用坐标表示平移。
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点:
平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同;
平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点:
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同;
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点:
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
五、特殊位置点的特殊坐标:
六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下:
?建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
?根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
?在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
A 一个点
B 一个图形
C 一个数
D 一个有序数对
学生自测
1.在平面内要确定一个点的位置,一般需要________个数据;
在空间内要确定一个点的位置,一般需要________个数据.
2、在平面直角坐标系内,下列说法错误的是( )
A 原点O 不在任何象限内
B 原点O 的坐标是0
C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上
D 原点O 在坐标平面内
知识二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标
点在x 轴上,坐标为(x,0)在x 轴的负半轴上时,x<0, 在x 轴的正半轴上时,x>0
点在y 轴上,坐标为(0,y )在y 轴的负半轴上时,y<0, 在y 轴的正半轴上时,y>0
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x 直线上);坐标点(x ,y )xy>0
第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x 直线上);坐标点(x ,
y )xy<0
例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ,则点P 的坐标是 ,若点Q 在y
轴上 对应的实数是3
1,则点Q 的坐标是 , 例2 点P (a-1,2a-9)在x 轴负半轴上,则P 点坐标是 。
学生自测
1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .
2、已知点A (m ,-2),点B (3,m-1),且直线AB ∥x 轴,则m 的值为 。
3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 .
4.平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定( )
A .大于0
B .小于0
C .相等
D .互为相反数
(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= .
(3)已知点P (x 2-3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x= .
5.过点A (2,-3)且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ,则点B 坐标为( ).
A .(0,2)
B .(2,0)
C .(0,-3)
D .(-3,0)
6.如果直线AB 平行于y 轴,则点A ,B 的坐标之间的关系是( ).
A .横坐标相等
B .纵坐标相等
C .横坐标的绝对值相等
D .纵坐标的绝对值相等
知识点三:点符号特征。
点在第一象限时,横、纵坐标都为 ,点在第二象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ,点有第三象限时,横、纵坐标都为 ,点在第四象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ;y 轴上的点的横坐标为 ,x 轴上的点的纵坐标为 。 例1 .如果a -b <0,且ab <0,那么点(a ,b)在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限,
D 、第四象限.
例2、如果x
y <0,那么点P (x ,y )在( )
(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限
学生自测
1.点P的坐标是(2,-3),则点P在第 象限.
2、点P (x ,y )在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P 点的坐标是 。
3.点 A 在第二象限 ,它到 x 轴 、y 轴的距离分别是 3 、2,则坐标是 ;
4. 若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹥0,则点P在第 象限;
若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹤0,且在x 轴上方,则点P在第 象限. 若点P (a ,b )在第三象限,则点P '
(-a ,-b +1)在第 象限; 5.若点P(m -1, m )在第二象限,则下列关系正确的是 ( )
A.10< B.0 C.0>m D.1>m 6.点(x ,1-x )不可能在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知点P(102-x ,x -3)在第三象限,则x 的取值范围是 ( ) A .53< 8.(本小题12分)设点P 的坐标(x ,y ),根据下列条件判定点P 在坐标平面内的位置: (1)0xy =;(2)0xy >;(3)0x y +=. (2)点A(1-π,2)在第 象限. (3)横坐标为负,纵坐标为零的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)X 轴的负半轴 (D)Y 轴的负半轴 (4)如果a-b <0,且ab <0,那么点(a ,b)在( ) (A)第一象限, (B)第二象限 (C)第三象限, (D)第四象限. (5)已知点A (m ,n )在第四象限,那么点B (n ,m )在第 象限 (6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数),那么a= 知识四:求一些特殊图形,在平面直角坐标系中的点的坐标。 过点作x轴的线,垂足所代表的是这点的横坐标;过点作y轴的垂线,垂足所代表的实数,是这点的。点的横坐标写在小括号里第一个位置,纵坐标写小括号里的第个位置,中间用隔开。 例1、X轴上的点P到Y轴的距离为,则点P的坐标为() A(,0) B ,0) C(0, D,0)或,0) 学生自测 1、点A(2,3)到x轴的距离为;点B(-4,0)到y轴的距离为;点C到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限,则C点坐标是。 2.若点A的坐标是(-3,5),则它到x轴的距离是,到y轴的距离是. 3.点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为。 4.已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则M点的坐标为().A.(3,2) B.(-3,-2) C.(3,-2) D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3) 5.若点P(a,b)到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则这样的点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知直角三角形ABC的顶点A(2 ,0),B(2 ,3).A是直角顶点,斜边长为5,求 顶点C的坐标 . 7. 直角坐标系中,正三角形的一个顶点的坐标是(0,3),另两个顶点B、C都在x轴上,求B,C的坐标. 9.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限. 10.直角坐标系中,一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点,两组对边分别与坐标轴平行,求它各顶点的坐标. 11.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.14.已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),求:(1)点C的坐标;(2)?△ABC的面积 知识点五:对称点的坐标特征。 关于x对称的点,横坐标不,纵坐标互为;关于y轴对称的点,坐标不变,坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标,纵坐标。 例1. 已知A(-3,5),则该点关于x轴对称的点的坐标为_________;关于y轴对的点的坐标为____________;关于原点对称的点的坐标为___________;关于直线x=2对称的点的坐标为____________。 例2. 将三角形ABC的各顶点的横坐标都乘以1 ,则所得三角形与三角形ABC的关系() A.关于x轴对称B.关于y轴对称 C .关于原点对称 D .将三角形ABC 向左平移了一个单位 学生自测 1在第一象限到x 轴距离为4,到y 轴距离为7的点的坐标是______________;在第四象限到x 轴距离为5,到y 轴距离为2的点的坐标是________________; 3.点A(-1,-3)关于x 轴对称点的坐标是 .关于原点对称的点坐标是 。 4.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m= ,n= . 5.已知:点P 的坐标是(m ,1-),且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3-,n 2),则_________,==n m ; 6.点P(1-,2)关于x 轴的对称点的坐标是 ,关于y 轴的对称点的坐标是 ,关于原点的对称点的坐标是 ; 7.若 ) ,()与,(13-m n N m M 关于原点对称 ,则 __________,==n m ; 9.直角坐标系中,将某一图形的各顶点的横坐标都乘以1-,纵坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称;将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以1-,横坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称. 10.点 A(3-,4)关于x 轴对称的点的坐标是 ( ) A.(3,4-) B. (3-,4-) C . (3, 4) D. (4-, 3-) 11.点 P(1-,2)关于原点的对称点的坐标是 ( ) A.(1,2-) B (1-,2-) C (1,2) D. (2,1-) 12.在直角坐标系中,点P(2-,3)关于y 轴对称的点P 1的坐标是 ( ) A (2,3) B. (2,3-) C. (2-, 3) D. (2-,3-) 若3a -+(b+2)2=0,则点M (a ,b )关于y 轴的对称点的坐标为_______. 13.若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则此点一定在( ) A .原点 B .x 轴上 C .两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上 D .两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上 知识点六:利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系,找出对应点的坐标。 学生自测: 1.课间操时,小华、小军、小刚的位置如下图左,小华对小刚说,如果我的位置用 (0,0)表示,小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成( ) A .(5,4) B .(4,5) C .(3,4) D .(4,3) 知识点七:平移、旋转的坐标特点。 图形向左平移m 个单位,纵坐标不变,横坐标 m 个单位;图形向右平移m 个单位,纵坐标不变,横坐标 m 个单位;图形向上平移个单位,横坐标 ,纵坐标增加n 个单位;向下平移n 个单位, 不变, 减小n 个单位。旋转的情形,同学们自己归纳一下。 例1. 三角形ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(2,-1)、B(1,-3)、C(4, -. 把三角形A 1B 1C 1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到三角形ABC ,试 写出三角形A 1B 1C 1三个顶点的坐标,并在直角坐标系中描出这些点;在平面直角坐 标系中,将点M (1,0)向右平移3个单位,得到点1M ,则点1M 的坐标为________. 学生自测 1.(本小题10分)矩形ABCD 在坐标系中的位置如图3所示,若矩形的边长AB 为1,AD 为2,则点A ,B ,C ,D 的坐标依次为________; 把矩形向右平移3个单位,得矩形A B C D '''',A B C D '''',,,的 坐标为________. 3.小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了3个单位长度,而猫的形状,大小都不变,则她将图案上的各点坐标________. 4.平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为(2,1),(4,1),若将此线段向右平移1个单位长度, 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_____;?若将此线段的两个端点的纵坐标不变,??横坐标变为原来的2?倍,??则所得的线段与原线段相比_______;若将此线段的两个端点的横坐标不变,纵坐标分别加上1,?则所得的线段与原线段相比_______;若横坐标不变,纵坐标分别减去3,?则所得的线段与原线段相比_________。 5.线段CD 是由线段AB 平移得到的,点A (-1,3)的对应点C (2,5),则B (-3,-2)的对应点D 的坐标为 。 6.在平面直角坐标系中,点P (2,1)向左平移3个单位得到的的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 图3