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等比数列学案

第3课时等比数列的前n项和

知能目标解读

1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.

2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.

3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.

重点难点点拨

重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.

难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.

学习方法指导

1.等比数列的前n项和公式

（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为

na1(q=1)

Sn= .

(q≠1)

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.

（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn= ，当已知a1,q(q≠1)，an 时，用公式Sn= .

2.等比数列前n项和公式的推导

除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.

(1)合比定理法

由等比数列的定义知：= =…= =q.

当q≠1时，=q,即=q.

故Sn= = .

当q=1时，Sn=na1.

(2)拆项法

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(S n-an)

当q≠1时，Sn= = .

当q=1时，Sn=na1.

(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)

∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q(Sn-an)

即(1-q)Sn=a1(1-qn)

当q≠1时，有Sn= ,

当q=1时，Sn=na1.

注意：

(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.

(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an?bn}的前n项和.

3.等比数列前n项和公式的应用

（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.

（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1

的讨论.

4.等比数列前n项和公式与函数的关系

(1)当公比q≠1时，令A= ，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.

当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.

(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理

1.等比数列前n项和公式

（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn= . (2)推导等比数列前n项和公式的方法是 .

2.公式特点

（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为. （2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求 . ［答案］ 1.（1）na1(2)错位相减法

2.（1）等比数列（2）三二

思路方法技巧

命题方向等比数列前n项和公式的应用

［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. ［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.

［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；

当q≠1时，=3a1q2,

因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),

2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,

解得q=- .

综上所述，公比q的值是1或－ .

［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.

（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.

（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn= 来求；若已知a1,an,q,利用Sn= 来求.

变式应用1在等比数列{an}中,已知S3= ,S6= ,求an.

［解析］∵S6= ,S3= ,

∴S6≠2S3，∴q≠1.

= ①

∴

= ②

②÷①得1+q3=9,∴q=2.

将q=2代入①，得a1= ,

∴an=a1qn-1=2n-2.

命题方向等比数列前n项的性质

［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.

［分析］利用等比数列前n项的性质求解.

［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，

∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)

∴S3n= +S2n= +60=63.

［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.

变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.

［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，

∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.

∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,

∴S4=28.

解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

=7 ①

∴

=91 ②

得q4+q2-12=0,∴q2=3,

∴q=± .

当q= 时，a1= ,

∴S4= =28.

当q=- 时，a1=- ,

∴S4= =28.

探索延拓创新

命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用

［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，

从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.

（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；

（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若

a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)

［解析］(1)第一年年底本利和为a+a?25%=1.25a,

第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,

第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）

+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.

(2)第n年年底本利和为

bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.

(3)依题意，有

395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,

∴x=

= .①

设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.

∴t=100,代入①解得x=96.

变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行

20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,

第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x

=20000×1.12-1.1x-x,

…

第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x- (x)

依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得

20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,

解得x= ≈3255(元).

名师辨误做答

［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.

［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a

= .

［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.

［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a .①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn= .③当a≠0且a≠1时，Sn= .

课堂巩固训练

一、选择题

1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）

A.2

B.4

［答案］ C

［解析］由题意得= = .故选C.

2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）

A.-2

B.1

C.-2或1

D.2或-

［答案］ C

［解析］由题意可得，

∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.

3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）

A.2n-1

B.2n-2

C.2n+1-1

D.2n+1-

［答案］

［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为

∴Sn= = =2n+1-2,故选D.

二、填空题

4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5= ;前8项的和S8= .（用数字作答）

［答案］16

［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式

q= =2,a5=a1?q4=16,

S8= =28-1=255.

5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q= .

［答案］

［解析］

两式相减，得a3-a4=-

∴a4=3a3,∴q=3.

三、解答题

6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3?a5=64，求数列{an}的前8项和.

［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24, ①

a3?a5=(a1q3) 2=64,②

∴a1q3=±8.

将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去将a1q3=8代入①式，得

当q=2时，得a1=1,所以

当q=-2时，得a1=-1，所以S8= =85.

解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得

因为{an}是实数列，所以＞

故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而

公比q的值为

当q=2时，

当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,

∴S8= =85.

课后强化作业

一、选择题

1.等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为（）

A.81

B.120

C.168

D.192

［答案］ B

［解析］公式

S4= =120.

2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）

A.-4

B.-1

C.0

D.1

［答案］ B

［解析］设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,

a3=S3-

即144=(4+a)×48，∴a=-1.

3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）

A.31

B.33

C.35

D.37

［答案］ B

［解析］解法一：S5＝= =1

∴a1=

∴S10= = =33,故选

解法二：

∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)?q5=1×25＝32

∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.

4.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）

A.514

B.513

C.512

D.510

［答案］ D

a1+a1q3=18

［解析］由已知得，

a1q+a1q2=12

解得q=2或 .

∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.

∴S8= =29-2=510.

5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）

A. B. C. D.

［答案］ B

［解析］设公比为q,则q>0,且a23=1,

即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3= + +1=7,

即6q2-q-

∴q= 或q=- (舍去)，

∴S5= =8（1- ）= .

6.在等比数列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为（）

A.2－

B.2－

C.2－

D.2－

［答案］ B

［解析］∵a1=1,a4= ,

∴S10= =2［1-（）10］=2- ,故选B.

7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）

A.2

B.-2

D.-

［答案］

S3= =3,①

［解析］

S6= =27,②

得=9,解得

∴q=2,故选A.

8.正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是（）

A.65

B.-65

C.25

D.-25

［答案］ D

［解析］∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,

∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.

又

解得

∴an=a3qn-3=( )n-3=33-

∴bn=log3an=3-n.

∴b1=2,b10=-7.

∴S10= = ＝－25.

二、填空题

9.等比数列，-1，3，…的前10项和为 .

［答案］-

［解析］S10= =- .

10.（2011?北京文，12）在等比数列｛an｝中，若a1= ,a4=4,则公比

q= ;a1+a2+…+an= .

［答案］2,2n-1-

［解析］本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得

=q3= =8，所以q=2，所以a1+a2+……+an= =2n-1- .

2n-1(n为正奇数

11.已知数列{an}中，an= ，则a9= .

2n-1（n为正偶数）

设数列{an}的前n项和为Sn，则S9= .

［答案］256377

［解析］a9=28=256，

S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.

12.在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=

［答案］×4n-

［解析］∵a1+a2+…+an=2n-

∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),

两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-

∴a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-

∴a21+a22+…+a2n= = ×4n- .

三、解答题

13.在等比数列{an}中，已知a3=1 ，S3=4 ，求a1与q.

S3= =4

［解析］（1）若q≠1,则，

a3=a1q2=1

从而解得q=1或q=- .

q=-

∵q≠1,∴ .

a1=6

S3=3a1=4 q=1

（2）若q=1,则，∴ .

a3=a1=1 a1=1

q=- q=1

综上所述得，或 .

a1=6 a1=1

14.(2011?大纲文科，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.

［分析］设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式

［解析］设{an}的公比为q，由已知有：

a1q=6 a1=3 a1=2

.解得或

6a1+a1q2=30 q=2 q=3

(1)当a1=3,q=2时，

an=a1?qn-1=3×2n-1

Sn= = =3×(2n-1)

(2)当a1=2,q=3时，a n=a1?qn-1=2×3n-1

Sn= = =3n-

综上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.

15.已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：Sn<128(n=1,2,3,…).

［解析］(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R且q≠1),

由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-

a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-

因为a4,a5+1,a6成等差数列,

所以a4+a6=2(a5+1)

即q-3+q-1=2(q-2+1),

q-1 (q-2+1)=2(q-

所以

故an=a1qn-1=q-6?qn-1=qn-7=（）n-

(2)证明：Sn= =

=128［1-（）n］<128.

16.2011年暑期人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：

A公司 B公司

第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.

大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？.

［解析］

A公司 B公司

第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.

王明的选择过程第n年月工资为an 第n年月工资为bn

首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5％的等比数列

an=230n+1270 bn=2000(1+5%)n-1

S10=12(a1+a2+…+a10) =12×［10×1500+ ×230］=304200 T10=12(b1+b2+…+b10)

=12× ≈301869

结论显然S10>T10,故王明选择了A公司

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习（含答案）一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b

等比数列前n项和公式教学设计20

§3.2等比数列前n项和教学设计一、教材分析 1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用． 2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析 1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力：高二学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．三、目标分析教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.知识与技能理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法

等差数列与等比数列学案

专题三数列第1讲等差数列与等比数列等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ；等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)．性质

1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________．解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

14025学案等比数列(3)前n项和

高二数学学案序号025 高二年级 14班教师王鸿斌学生课题：等比数列（3）前n 项和学习目标：1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法． 2. 等比数列前n 项和公应用，熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。学习重点：等比数列求和及求和公式应用．学习难点：错位相减法教学过程：一．复习回顾 1．等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2．等差数列的前n 项和公式及性质二．新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S = ② 当q =1时，n S = 等比数列的前n 项和公式：11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?（或）1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质：等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ， n S ，2n n S S -，32n n S S - 也成等比数列.（等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列）三．典型例题例1：求3463124222++++++ 的和练习1：等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ，求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===，求n 例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台？四、学习小结： 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题

等比数列例题解析

等比数列·例题解析【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时）一、教材分析： 1、内容简析：本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定：从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）：第一课时：（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识第二课时：（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点：第一课时：重点：等比数列的定义及通项公式难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题第二课时：重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题二、学情分析：从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。三、教法选择与学法指导：由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

(完整版)等比数列测试题含答案

§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?．一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.

(完整版)等比数列前n项和公式的性质导学案

等比数列前n 项和的性质导学案知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。教学过程：复习: 1、等比数列前n 项和公式: （1）（2） 2.数学思想：课前练习： 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究：探究一：性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数列。例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。探究二：我们知道，等差数列有这样的性质：数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列；则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？等比数列前n 项和的性质二：数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列；则新的等比数列的首项是K S ,公比（）例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练： 1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？.

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．

8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）

2020高中数学第二章数列 2.4 等比数列第1课时等比数列学案5

第1课时等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)． [自主预习·探新知] 1．等比数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)符号语言： a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N * )．思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2 ＝ab . 思考：当G 2 ＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1 .这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比． 4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法．当n >2时， a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2 a 1 ＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2 …… a n －1a n －2·a n a n －1 ＝a 1·q n －1 . [基础自测] 1．思考辨析

(完整版)等比数列经典例题范文

1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和（第一课时）一．教材分析。（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。二．学情分析。（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。三．教学目标。根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维

《等比数列》学案1

等比数列的前n 项和（两课时）一知识梳理新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，公式的推导方法一：公式的推导方法二：二问题探究知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. 例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它？例2、等比数列{}n a 的公比,12 18== a q ，求前八项的和8s 例3、求和： 9 999999999999个n +++

例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。练习： 1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和. 2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝63 2 ，求a n . 3、等比数列中，33139,.22 a S a q == ,求及 4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q 5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -， 32n n S S -()1-≠q 也成等比. 练习： 1、在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . 2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．

等比数列及其前n项和学案

6.3等比数列及其前n 项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识 1、等比数列的判定：（1）定义法：*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质（1）通项公式：①11n n a a q -=②n m n m a q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? （3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a = （4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,a a aq q ，若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ，方便计算注意事项

1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)． 2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 3.等比数列的判断方法有： (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n · a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．题型一等比数列基本量的计算【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求a 2的值； (2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1