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等比数列学案

等比数列学案

第3课时等比数列的前n项和

知能目标解读

1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法,并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.

2.掌握等比数列前n项和公式以及性质,并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时,特别要注意q=1和q≠1这两种情况.

3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.

重点难点点拨

重点:掌握等比数列的求和公式,会用等比数列前n项和公式解决有关问题.

难点:研究等比数列的结构特点,推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.

学习方法指导

1.等比数列的前n项和公式

(1)设等比数列{an},其首项为a1,公比为q,则其前n项和公式为

na1(q=1)

Sn= .

(q≠1)

也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q=1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1进行讨论.

(2)等比数列{an}中,当已知a1,q(q≠1),n时,用公式Sn= ,当已知a1,q(q≠1),an 时,用公式Sn= .

2.等比数列前n项和公式的推导

除课本上用错位相减法推导求和公式外,还可以用下面的方法推导.

(1)合比定理法

由等比数列的定义知:= =…= =q.

当q≠1时,=q,即=q.

故Sn= = .

当q=1时,Sn=na1.

(2)拆项法

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(S n-an)

当q≠1时,Sn= = .

当q=1时,Sn=na1.

(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)

∵当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q(Sn-an)

即(1-q)Sn=a1(1-qn)

当q≠1时,有Sn= ,

当q=1时,Sn=na1.

注意:

(1)错位相减法,合比定理法,拆项法及an与Sn的关系的应用,在今后解题中要时常用到,要领会这些技巧.

(2)错位相减法适用于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求{an?bn}的前n项和.

3.等比数列前n项和公式的应用

(1)衡量等比数列的量共有五个:a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时,这五个量中只要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量.

(2)公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分q=1和q≠1

的讨论.

4.等比数列前n项和公式与函数的关系

(1)当公比q≠1时,令A= ,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.

当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).

(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理

1.等比数列前n项和公式

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn= = ;当q=1时,Sn= . (2)推导等比数列前n项和公式的方法是 .

2.公式特点

(1)若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数),且q≠0,q≠1,则数列{an}为. (2)在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量,在这五个量中知求 . [答案] 1.(1)na1(2)错位相减法

2.(1)等比数列(2)三二

思路方法技巧

命题方向等比数列前n项和公式的应用

[例1]设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. [分析]应用等比数列前n项和公式时,注意对公比q的讨论.

[解析]当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

当q≠1时,=3a1q2,

因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),

2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,

解得q=- .

综上所述,公比q的值是1或- .

[说明](1)在等比数列中,对于a1,an,q,n,Sn五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量.

(2)等比数列前n项和问题,必须注意q是否等于1,如果不确定,应分q=1或q≠1两种情况讨论.

(3)等比数列前n项和公式中,当q≠1时,若已知a1,q,n利用Sn= 来求;若已知a1,an,q,利用Sn= 来求.

变式应用1在等比数列{an}中,已知S3= ,S6= ,求an.

[解析]∵S6= ,S3= ,

∴S6≠2S3,∴q≠1.

= ①

= ②

②÷①得1+q3=9,∴q=2.

将q=2代入①,得a1= ,

∴an=a1qn-1=2n-2.

命题方向等比数列前n项的性质

[例2]在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.

[分析]利用等比数列前n项的性质求解.

[解析]∵{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,

∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)

∴S3n= +S2n= +60=63.

[说明]等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列.

变式应用2等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4.

[解析]解法一:∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,

∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21.

∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,

∴S4=28.

解法二:∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

=7 ①

等比数列学案

=91 ②

得q4+q2-12=0,∴q2=3,

∴q=± .

当q= 时,a1= ,

∴S4= =28.

当q=- 时,a1=- ,

∴S4= =28.

探索延拓创新

命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用

[例3]某公司实行股份制,一投资人年初入股a万元,年利率为25%,由于某种需要,

从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.

(1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和;(2)写出第n年年底,此投资人的本利之和bn与n的关系式(不必证明);

(3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标,若

a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)

[解析](1)第一年年底本利和为a+a?25%=1.25a,

第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,

第三年年底本利和为(1.252a-1.25x-x)

+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.

(2)第n年年底本利和为

bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.

(3)依题意,有

395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,

∴x=

= .①

设1.2520=t,∴lgt=20lg()=20(1-3lg2)=2.

∴t=100,代入①解得x=96.

变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房,银行货款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?

[解析]第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行

20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,

第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x

=20000×1.12-1.1x-x,

第10次还款x元后,还欠银行20000×1.110-1.19x-1.18x- (x)

依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得

20000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,

解得x= ≈3255(元).

名师辨误做答

[例4]求数列1,a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.

[误解]所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a

= .

[辨析]所给数列除首项外,每一项都与a有关,而条件中没有a的范围,故应对a进行讨论.

[正解]由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项,2项,3项,4项,……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前(1+2+…+n)项.所以Sn=1+a+a2+…+a .①当a=0时,Sn=1.②当a=1时,Sn= .③当a≠0且a≠1时,Sn= .

课堂巩固训练

一、选择题

1.等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=()

A.2

B.4

C.

D.

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[答案] C

[解析]由题意得= = .故选C.

2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为()

A.-2

B.1

C.-2或1

D.2或-

[答案] C

[解析]由题意可得,

∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.

3.等比数列{2n}的前n项和Sn=()

A.2n-1

B.2n-2

C.2n+1-1

D.2n+1-

[答案]

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[解析]等比数列{2n}的首项为2,公比为

等比数列学案

∴Sn= = =2n+1-2,故选D.

二、填空题

4.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+),则a5= ;前8项的和S8= .(用数字作答)

[答案]16

等比数列学案

[解析]考查等比数列的通项公式和前n项和公式

q= =2,a5=a1?q4=16,

S8= =28-1=255.

5.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q= .

[答案]

等比数列学案

[解析]

等比数列学案

两式相减,得a3-a4=-

∴a4=3a3,∴q=3.

三、解答题

6.在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3?a5=64,求数列{an}的前8项和.

[解析]解法一:设数列{an}的公比为q,根据通项公式an=a1qn-1,由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24, ①

a3?a5=(a1q3) 2=64,②

等比数列学案

∴a1q3=±8.

将a1q3=-8代入①式,得q2=-2,没有实数q满足此式,故舍去将a1q3=8代入①式,得

等比数列学案

当q=2时,得a1=1,所以

等比数列学案

当q=-2时,得a1=-1,所以S8= =85.

等比数列学案

解法二:因为{an}是等比数列,所以依题意得

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等比数列学案

因为{an}是实数列,所以>

等比数列学案

故舍去a4=-8,而a4=8,a6=32,从而

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公比q的值为

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当q=2时,

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当q=-2时,a1=-1,a9=a6q3=-256,

∴S8= =85.

课后强化作业

一、选择题

1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为()

A.81

B.120

C.168

D.192

[答案] B

[解析]公式

等比数列学案

S4= =120.

2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=()

A.-4

B.-1

C.0

D.1

[答案] B

[解析]设等比数列为{an},由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,

a3=S3-

等比数列学案

即144=(4+a)×48,∴a=-1.

3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()

等比数列学案

A.31

B.33

C.35

D.37

[答案] B

[解析]解法一:S5== =1

∴a1=

∴S10= = =33,故选

等比数列学案

解法二:

∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)?q5=1×25=32

∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.

4.已知等比数列{an}中,公比q是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为()

A.514

B.513

C.512

D.510

[答案] D

a1+a1q3=18

[解析]由已知得,

a1q+a1q2=12

解得q=2或 .

∵q为整数,∴q=2.∴a1=2.

∴S8= =29-2=510.

5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=()

A. B. C. D.

[答案] B

[解析]设公比为q,则q>0,且a23=1,

即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3= + +1=7,

即6q2-q-

等比数列学案

∴q= 或q=- (舍去),

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等比数列学案

∴S5= =8(1- )= .

6.在等比数列{an}(n∈N+)中,若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为()

A.2-

B.2-

C.2-

D.2-

[答案] B

[解析]∵a1=1,a4= ,

等比数列学案

∴S10= =2[1-()10]=2- ,故选B.

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于()

A.2

B.-2

C.

D.-

[答案]

等比数列学案

S3= =3,①

[解析]

S6= =27,②

得=9,解得

∴q=2,故选A.

8.正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前10项和是()

A.65

B.-65

C.25

D.-25

[答案] D

[解析]∵{an}为正项等比数列,a2a4=1,

∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.

解得

等比数列学案

∴an=a3qn-3=( )n-3=33-

∴bn=log3an=3-n.

∴b1=2,b10=-7.

∴S10= = =-25.

二、填空题

9.等比数列,-1,3,…的前10项和为 .

[答案]-

[解析]S10= =- .

10.(2011?北京文,12)在等比数列{an}中,若a1= ,a4=4,则公比

q= ;a1+a2+…+an= .

[答案]2,2n-1-

[解析]本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前n项和公式可解得

=q3= =8,所以q=2,所以a1+a2+……+an= =2n-1- .

2n-1(n为正奇数

等比数列学案

11.已知数列{an}中,an= ,则a9= .

2n-1(n为正偶数)

设数列{an}的前n项和为Sn,则S9= .

[答案]256377

[解析]a9=28=256,

S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.

12.在等比数列{an}中,已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=

[答案]×4n-

等比数列学案

[解析]∵a1+a2+…+an=2n-

等比数列学案

∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),

两式相减,得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-

∴a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-

∴a21+a22+…+a2n= = ×4n- .

三、解答题

13.在等比数列{an}中,已知a3=1 ,S3=4 ,求a1与q.

S3= =4

[解析](1)若q≠1,则,

a3=a1q2=1

从而解得q=1或q=- .

q=-

∵q≠1,∴ .

a1=6

S3=3a1=4 q=1

(2)若q=1,则,∴ .

a3=a1=1 a1=1

q=- q=1

综上所述得,或 .

a1=6 a1=1

14.(2011?大纲文科,17)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.

[分析]设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式

[解析]设{an}的公比为q,由已知有:

等比数列学案

a1q=6 a1=3 a1=2

.解得或

6a1+a1q2=30 q=2 q=3

(1)当a1=3,q=2时,

an=a1?qn-1=3×2n-1

Sn= = =3×(2n-1)

(2)当a1=2,q=3时,a n=a1?qn-1=2×3n-1

Sn= = =3n-

综上,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.

15.已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…).

[解析](1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R且q≠1),

由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-

a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-

因为a4,a5+1,a6成等差数列,

所以a4+a6=2(a5+1)

即q-3+q-1=2(q-2+1),

q-1 (q-2+1)=2(q-

所以

等比数列学案

故an=a1qn-1=q-6?qn-1=qn-7=()n-

(2)证明:Sn= =

=128[1-()n]<128.

16.2011年暑期人才招聘会上,A、B两家公司分别开出了工资标准:

A公司 B公司

第一年月工资为1500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.

大学生王明被A、B两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作10年,经过一番思考,他选择了A公司,你知道为什么吗?.

[解析]

A公司 B公司

第一年月工资为1500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.

王明的选择过程第n年月工资为an 第n年月工资为bn

首项为1500,公差为230的等差数列首项为2000,公比为1+5%的等比数列

an=230n+1270 bn=2000(1+5%)n-1

S10=12(a1+a2+…+a10) =12×[10×1500+ ×230]=304200 T10=12(b1+b2+…+b10)

=12× ≈301869

结论显然S10>T10,故王明选择了A公司