【2015年全国青年教师优质课比赛】高中数学(人教版必修2)：直线与平面垂直的判定教学设计

课题：2.3.1直线与平面垂直的判定(第1课时)

授课教师：吉林市第一中学

Ⅰ．教学内容解析

《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识．本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化．

教学重点是直线与平面垂直的判定定理的探究及简单应用．尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务．空间直线与平面的垂直关系是学生在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，又一次接触空间位置关系，是对垂直关系的再认识，是学生认知在维度和深度上的又一次拓展．

本节课采用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等研究几何问题的方法，学习了直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用．其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带．学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的．

Ⅱ．教学目标设置

1．学生能从生活中的具体实例感知概括线面垂直的特征，解释“直线与平面垂直”的含义．

2．学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并尝试用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义、定理进行准确表述．

3．学生在探究活动中会用直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单的推理论证，并体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想，从而更好地发展学生的合情推理能力和演绎推理能力，培养其空间想象能力．

4．在探究活动中，学生亲历从“感性认识”到“理性认识”获取新知的过程，体验探索的乐趣，通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．

Ⅲ．学生学情分析

1．学生已有认知基础

（1）学生在初中已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线、平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，同时，获得了研究线面位置关系时，从定义到判定，再到性质的经验，因而会比较轻松地融入对本课的探究．

（2）虽然学生对空间几何体的学习有了一段时间，已经具备了基本的图形语言能力,但对问题的说理和论证只是刚刚接触，没有形成一种熟练运用文字语言和符号语言的能力，存在对问题的推理和论证还有些望而却步,难以把理论和实践结合到一起．

2．达成目标所需要的认知基础

学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．

3．难点及突破策略

难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．

突破策略：

1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．

2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．

所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．

Ⅳ．教学策略设计

为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用启发探究式与自主学习相结合的教学方式，通过教师引领学生经历研究直线与平面垂直的判定过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中逐渐完善研究的方法与手段．

学生的自主学习，具体落实在三个环节：

（1）建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，归纳特征，数学语言（文字、符号、图形语言）对定义、定理进行准确表述，完善概念．

（2）探究直线与平面垂直的判定定理时，根据学生已有学习基础，通过观察、感知、实践、对比，开展自主研究，并通过汇报交流相互提升．

（3）定理应用阶段，学生自主研讨发现垂直关系的转化，初步体验定理的应用．本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．

Ⅴ．教学过程设计

一、创设情境引入新课

复习空间直线与平面的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．师：前几节课我们已经对直线与平面平行的概念、判定、性质进行了研究，对于直线与平面相

90来交存在着一种特殊位置关系——垂直．前面我们已经学习了通过两条异面直线所成角为

判断两条直线垂直，那么直线与平面的垂直关系如何从理论上认识呢？

【设计意图】直接从已有知识中引出新的学习问题，使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并明确本节课学习的内容．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．

二、联系实际感知定义

师：同学们能否举出一些日常生活中直线与平面垂直的例子吗？

生甲：教室的墙角看成一条直线，它与地面垂直；

生乙：教室内的竖直的暖气管与地面垂直；

生丙：操场上的旗杆与地面垂直．

师：引导学生动手操作身边实例：将书打开直立于桌面．（出示情境问题）

[情境问题1]将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？

[情境问题2]地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？

【设计意图】从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的教学做准备．

[情境问题3]在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC 的位置在移动，在各时刻旗杆AB 所在直线与影子BC 所在直线的位置关系如何？使其发现：旗杆所在直线l 与地面所在平面α内经过点B 的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l 与平面α内不经过点B 的直线垂直吗？为什么？

师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直．

【设计意图】第（1）问旨在让学生发现旗杆AB 所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（2）问进一步让学生发现旗杆AB 所在直线始终与地面上任意一条不过点B 的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．

三、实验探索 互动交流

1．总结定义——形成概念

师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法．

定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作： l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

【设计意图】示范演示，突出定义的文字、图形、符号这三种语言的相互转化．

2．实践对比 理解定义

练习1：已知下列命题：

①如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直，则 l ⊥α；

②如果直线 l 与平面α内的两条直线垂直，则 l ⊥α；

③如果直线 l 与平面α内的无数条直线垂直，则 l ⊥α；

④如果直线 l ⊥α ，则直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直．

其中正确命题的序号是

生：辨析讨论，借助身边的笔、尺进行实践活动，亲身感知、体会线面垂直的定义． 师：由命题④给出下列常用命题：

【设计意图】通过学生动手操作，突出定义中的“任意”，加深学生对定义的准确理解，层层设问，注重知识的发生发现过程，充分发挥学生的主观能动性，并为进一步推导判定定理做好了铺垫．

3．动手实验 归纳定理

师：如果用定义判断一条直线与一个平面是否垂直，需要寻求平面内的任意一条直线都与该直线垂直，显然不好操作．能否在平面内寻求有限条直线与该直线存在某种位置关系，从而，推断出直线与平面垂直呢？

【设计意图】由定义中线线垂直的特征，将线面关系转化为线线关系，由无限问题向有限问题转化．

师：继续引导练习1中命题①若只寻求一条直线显然不能得到线面垂直；命题②若寻求两条直线呢？刚才同学们已举出反例：两条直线平行不能得到l ⊥α．

追问：那么平面内两条直线除了平行还有什么位置关系？

生：沿着教师的启发思路，在平面内寻求两条相交直线操作确认．

师生活动：实验：请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，

（BD 、DC 与桌面接触）．

（如图1）

问题1：（1）折痕AD 与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？

【设计意图】通过观察试验，分析折痕AD 与桌面不垂直的原因，探究发现折痕AD 与桌面垂直的条件．

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD 是BC 边上的高，即AD ⊥BC ，翻折后折痕AD

问题2: 由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系，即AD ⊥CD ，

AD ⊥BD 发生变化吗？由此你能得到什么结论？（如图2） 【设计意图】引导学生发现折痕AD 与桌面垂直的条件：AD 垂直桌面内两条相交直线．

A C

B D （图1） b a b a ⊥??

???⊥αα

师生活动：师生共同分析折痕AD 是BC 边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ．这就是说，当AD 垂直于桌面内的两条两条相交直线CD 、BD 时，它就垂直于桌面．

问题3：（1）（如图3）把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ，把桌面抽象为平面α，直线 l 与平面α垂直的条件是什么？

（2）（如图4）若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，直线l 还垂

直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？

【设计意图】让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的．

师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实作简要说明．然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理．指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：.,,,,ααα⊥?=??⊥⊥l A n m n m n l m l

四、新知应用 巩固深化

1．例题剖析

例1 已知：.,//α⊥a b a 求证：.α⊥b

[来源学&科&网Z&X&X&K]

分析过程：

证明：在平面α内作两条相交直线n m ,．

因为直线α⊥a ，

根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,；

又因为b a //，

α l n m O （图4）

l α n m O （图3） m α n a b

αα⊥????⊥⊥???

???⊥⊥?⊥b n b m b b a n a m a a //

所以n b m b ⊥⊥,；

又因为α?m ，，α?n ，n m ,是两条相交直线，

所以α⊥b ．

师生活动：请学生用文字语言将例1表示出来： 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直． 【设计意图】不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤，进一步体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系．

２．随堂练习

练习2 如图，在三棱锥V-ABC 中，VA=VC ，AB=BC ．求证：VB ⊥AC ．

生：学生小组讨论，代表发言，不完善之处，通过合作交流完善补充．

师：巡视，必要时参与讨论，关注部分探究意识与能力都薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言．配合发言学生利用多媒体课件进行展示证明过程．

证明：取AC 中点O ，连接VO 和BO

∵VA=VC ，BA=BC

∴VO ⊥AC,BO ⊥AC,

即AC ⊥OV,AC ⊥OB

又OV ?平面VOB,OB ?平面VOB ，且0V ∩OB=O

∴AC ⊥平面VOB

又VB ?平面VOB

∴AC ⊥VB ，即VB ⊥AC

【设计意图】激励他们主动参与活动，让全体学生成为真正的学习主体．自主探究活动能充分激发学生的相互学习能力．

练习3 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AB ，D 为PB 的中点，

求证：AD ⊥PC ．

生：

线面垂直

关系的相互转化过程．

【设计意图】用投影仪展示部分学生的解题过程，督促学生规范化做题，同时增强学生的应 用意识．

3．深化认识，提升能力 探究题：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足什么条件时，有111D B C A ⊥，说明你的理由.

V A B C O C 1

A

A 1

B D B 1

D 1

师生活动：学生小组合作分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线垂直，体会数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想．教师适当加以点拨．

【设计意图】扩大知识迁移，在推理论证中感悟、体会联想、归纳、概括的思想方法，达到对新知巩固记忆，加深理解．

五、总结提炼 概括提升

（1）本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获?

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？

师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例1的结论．这些方法体现了转化的数学思想．同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路．

无限问题?有限问题

【设计意图】以问题讨论的方式进行小结，通过知识和方法两个层面上的总结提炼，增强学生学会归纳的意识，培养总结归纳的能力培养学生反思的习惯．

六、课后作业

1． 理解运用：P74 习题2．3 ； B 组：2，4．

2．课后思考：（1）已知一个平面α和一个定点A ，则过A 点可作多少条直线与平面α垂直？

（2）已知一条直线 l 和一个定点A ，则过A 点可作多少个平面与直线 l 垂直？

（3）在正方体1AC 中，与直线1AC 垂直的棱和对角线有哪些？

【设计意图】“理解运用”面向全体学生，旨在掌握并初步运用定理．“思考运用”为学生提供探究的空间，并为下一节三垂线定理的引入做了铺垫．

Ⅵ．教后反思回顾

一．关于教学设计的反思

本节课的教学设计，力图体现因材施教原则，通过“你是怎么想的？”“你认为这种说法对吗？为什么”等问话形式，促使学生暴露思维过程．在学生已经直观感知直线与平面垂直的基础上让学生亲自动手试验、探究、体验，使其经历知识的形成过程．练习1的引入，起到了承上启下的作用，既加深了学生对线面垂直定义的理解，又为判定定理的推导做好了铺垫．由定义中线线垂直的特征，顺利完成将线面关系转化为线线关系，由无限问题向有限问题转化．

二．关于教学过程的反思

本节课基本上达到了预期目标，通过发现、概括判定定理的过程，使学生的推理论证能力得到全方位的发展．在认知水平上的升维和在研究方法上的降维，在这“一升一降”的过程中体会转化化归的思想．在直观感知得到直线与平面垂直判定定理的过程中，试验—归纳—猜想--检验的方法为感知获得结论提供了有力的帮助．

自我感到不足之处是：

1．引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理后，应向学生指出这样归纳得出的定理是需要证明的，只是教材对这一定理的证明不作要求，因此本节课没有给出严格的证明，在后续选修系列2中我们将用向量方法加以论证．

2．探究题的研讨没有达到预设的效果．本题思路跳跃性较大，直接让学生去做有一部分学生 产生了畏难情绪，导致学生在研讨过程中没有完全放开．如果在探究之前先搭建两个台阶： 试判断直线BD 与平面11AC A 是否垂直？直线BD 与C A 1是否垂直？这样学生思维活动就会比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，可以更好地调动更多同学的学习积极性．

3.由于本人目前正在高三任教，只能用高一学生进行授课，导致师生间缺少熟知的沟通与交流，因而课堂上学生气氛没有预设的活跃，教师的讲授略多．由于学校条件有限录课的全部过程都是在学生教室完成，学生声音偏小，没有达到预设效果．