课时提能演练(三十) 5.1

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课时提能演练(三十)

(45分钟 100分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1.(2012·淮安模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，若对任意的正整数p 、q ，总有a p+q =a p ·a q ,且a 8=16，则a 10=______.

2.数列{a n }中，a n =-2n 2+29n+3，则此数列最大项的值是______.

3.(2012·西安模拟)在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则

3

5

a a =______. 4.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +2n ,则a 10=______.

5.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图

).

则第7个三角形数是______.

6.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3，则数列{a n }的通项公式为________.

7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且n n a sin

,2

π

=则S 2 011=______. 8.(2012·镇江模拟)定义运算符号“∏”：表示若干个数相乘，例如：n i=1

∏i=1×2

×3×…×n，记T n=n

i=1

∏a i，其中a i为数列{a n}中的第i项.

(1)若a n=2n-1,则T4=______;

(2)若T n=n2(n∈N*)，则a n=______.

二、解答题(每小题15分，共45分)

9.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*且n≥2),求该数列的通项公式.

10．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋1，数列{b n}满足b n＝

n 2

a1

+

，且前n项和为T n，设c n＝T2n+1－T n.

(1)求数列{b n}的通项公式；

(2)判断数列{c n}的增减性．

11.(2012·苏州模拟)数列{a n}满足a1=a∈(0，1］，且

n

n

n

n1

n n

a1

,a1

a

a.

2a,a1

+

-

?

?

=?

?≤

?

＞

若对于任

意的n∈N*，总有a n+3=a n成立，求a的值.

【探究创新】

(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a2=-13,a n+2-2a n+1+a n=2n-6.

(1)设b n=a n+1-a n,求数列{b n}的通项公式；

(2)在(1)的条件下，求n为何值时，a n最小.

答案解析

1.【解析】由题意知a 8=a 4+4=a 42=16, ∴a 4=4,a 4=a 2+2=a 22=4,∴a 2=2, ∴a 10=a 8+2=a 8·a 2=16×2=3

2. 答案：32

2.【解析】根据题意结合二次函数的性质可得：

22n 229

a 2n 29n 32(n n)32

2929292(n )3.48

=-++=--+?=--

++

∴n=7时，a n =108为最大值. 答案：108

3.【解析】当n=2时，a 2·a 1=a 1+(-1)2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+(-1)3， ∴31a 2

=；

当n=4时，a 4a 3=a 3+(-1)4， ∴a 4=3；

当n=5时，a 5a 4=a 4+(-1)5， ∴52a 3=， ∴

35a 3

.a 4

= 答案：34

4.【解析】∵a n+1=a n +2n , ∴a n -a n-1=2n-1(n ≥2),

∴a 10=(a 10-a 9)+(a 9-a 8)+…+(a 2-a 1)+a 1 =29+28+…+2+1=210-1=1 023. 答案：1 023

5.【解题指南】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.

【解析】根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 答案：28

6.【解析】当n=1时，a 1=S 1=21-3=-1, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n -2n-1=2n-1， 当n=1时，21-1=1≠-1,

∴()

n n 1

1 n 1a .2

(n 2)

-?-=?=?≥?? 答案：()n n 11 n 1a 2 (n 2)

-?-=?=?≥?? 7.【解析】依题意知，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1=1,a 2=0,a 3=-1,a 4=0, ∴a 1+a 2+a 3+a 4=0. 又2 011=4×502+3 ∴S 2 011=0×502+a 1+a 2+a 3=0. 答案：0

【变式备选】已知数列{a n }中，a 1=1

2

，n 1n

1

a 1(n 2)a +=-≥，

则a 16=______. 【解析】由题可知a 2=1-11a =-1，a 3=2112a -=，a 4=3111a 2

-=，∴此数列为循环数列，a 1=a 4=a 7=a 10=a 13=a 16=12

.

答案：12

8.【解析】(1)由a n =2n-1知a 1=1,a 2=3,a 3=5,a 4=7,∴T 4=1×3×5×7=105.

(2)当n ≥2时，()

2

n n 2

n 1T n a ,T n 1-==- 当n=1时，a 1=T 1=1,

∴()2

n 2

1 n 1

a .n n 2n 1=??=?≥?-?

答案：(1)105 (2)()22

1 n 1n n 2n 1=??

?≥?-?

9.【解析】由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1. ∵S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *且n ≥2), ∴S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *且n ≥2), 即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *且n ≥2),

∴a n+1=2a n (n ∈N *且n ≥2) ，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列.

∴数列{a n }的通项公式为()

n n 2

*

1 n 1a .2

(n 1,n N )

-?=?=?>∈??

10．【解析】(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n-1＝2n －1(n ≥2)，

∴()n 1

(n 2)n

b .2n 13

?≥???

?=??＝ (2)∵c n ＝b n+1＋b n+2＋…＋b 2n+1

＝

111n 1n 22n 1

?+++＋＋＋， ∴c n+1－c n ＝111

02n 22n 3n 1

<+++＋－， 即c n+1＜c n .∴{c n }是递减数列．

【方法技巧】证明数列的单调性的方法

在证明数列的单调性方面，有很多的方法和技巧可供选择，常用的有：(1)作差法，主要是作差之后的变形，与零比较大小是关键；(2)作商法，主要是作商后能够约掉因式进行变形，再与1比较大小；(3)利用函数的单调性证明，由于数列是一种特殊的函数，所以可以借助函数的性质证明. 11.【解析】∵a 1=a ∈(0，1］，∴a 2=2a ∈(0，2］, (1)当0＜a ≤12

时，a 3=2a 2=4a,

若0＜a ≤14

，则a 4=2a 3=8a ≠a 1,不合适； 若11a 4

2≤＜，则343a 11

a 1,a 4a

-==- ∴11a,4a -

=∴a=1

2. (2)当12

＜a ≤1时，232a 111

a 1(0,,a 2a 2

-==-∈］ ∴a 4=2a 3=11

2(1)22a a

-

=-， ∴2-1a

=a ，∴a=1. 综上得，a=12

或1. 【探究创新】

【解题指南】(1)可采用累加法求解数列的通项公式； (2)观察所得递推数列的式子特点分情况讨论. 【解析】(1)由a n+2-2a n+1+a n =2n-6,得 (a n+2-a n+1)-(a n+1-a n )=2n-6, ∴b n+1-b n =2n-6.

当n ≥2时，b n -b n-1=2(n-1)-6.

b n-1-b n-2=2(n-2)-6,

…

b3-b2=2×2-6,

b2-b1=2×1-6,

累加得b n-b1=2［1+2+…+(n-1)］-6(n-1)

=n(n-1)-6n+6=n2-7n+6.

又b1=a2-a1=-14.

∴b n=n2-7n-8(n≥2),

n=1时,b1也适合此式，

故b n=n2-7n-8.

(2)由b n=(n-8)(n+1),得a n+1-a n=(n-8)(n+1). ∴当n<8时，a n+1

当n=8时，a9=a8,

当n>8时，a n+1>a n,

故当n=8或n=9时a n的值最小.