第15讲 重叠问题

第15讲 重叠问题

【探究必备】

有两张纸条，每张长8厘米。现在要将这两张纸条粘贴成一张较长的纸条，接头处长1厘米（如图）。粘贴后，较长的纸条长多少厘米？

在重叠问题中，两个计数部分有重复。为了不重复计数，应当从它们的和中减去重复的部分。为了准确分析重叠问题，一般采用画图的方法。借助图形。明确重叠部分或所求部分，从而解决问题。

我们用两个圆分别表示数量A 和数量B ，用C 表示A 和B 的重叠部分（如图），求A 和B 合在一起的数量，用A +B -C 。

所以粘贴后，较长的纸条长应为：8+8-1=15（厘米）。

【王牌例题】

例1、某校三年级（2）班学生都在练习书法，有30人学习硬笔书法，有25人学习软笔书法，其中有10人两种书法都学习。这个班一共有多少人？ 分析与解答：这是一道典型的重叠问题，根据题意画出线段图：

从图上可以看出，这个班的人数就是参加书法学习的人数。学习两种书法的人数中，有10人是重复的，所以这个班的人数是30+25-10=45（人），这道题也可以

？厘米

8厘米

8厘米

A B A B

硬笔书法30人 软笔书法25人

10人 ？人 20人 15人

这样想：这个班的人数是由只参加硬笔书法人数、两种书法都参加人数和只参加软笔书法人数三部分组成，从图上可以看出只参加硬笔书法人数有30-10=20（人），两种书法都参加的人数有10人，只参加软笔书法人数有25-10=15（人），所以这个班共有20+10+15=45（人）。

例2、某校三年级（4）班共有58人，在班级冬季长跑和跳绳两项比赛中，每人至少参加了其中的一项比赛。已知参加长跑的有33人，参加跳绳的有40人。两项比赛都参加的有多少人？

分析与解答：由于每人至少参加了其中的一项比赛，因此这个班的人数应该就是参加这两项比赛人数的和，参加这两项比赛的共有33+40=73（人），而该班只有58人，说明其中有一部分人两项都比赛参加了，故两项比赛都参加的有73-58=15（人）。

例3、某校三年级（1）班有48人，在期末考试中语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人。语文、数学都得优秀的有10人。两门功课都没有得优秀的有多少人？

分析与解答：由于语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人，语文、数学都得优秀的有10人，根据重叠问题的解法，这个班共有26+30-10=46（人），而该班有48人，说明其中有一部分人两门功课都没有得优秀，所以两门功课都没有得优秀的有48-46=2（人）。

例4、把两根一样长的竹竿绑在一起后长130厘米，中间重叠部分长10厘米。原来每根竹竿长多少厘米？

分析与解答：根据题意画出线段图：

130厘米

第一根竹竿第二根竹竿

由于重叠部分的竹竿长10厘米，我们可以把其中一根竹竿的重叠部分拉开，那么这两根竹竿共长130+10=140（厘米），由于两个竹竿一样长，所以原来每根竹竿长140÷2=70（厘米）。

例5、某幼儿园小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75

人。这个幼儿园小班、中班、大班各有多少人？

分析与解答：解决这道题的关键是求出这个幼儿园小班、中班、大班共有多少人，由于小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75人，所以63+68+75=206（人）中每个班都重复加了一次，那么这个幼儿园小班、中班、大班共有206÷2=103（人），因此小班有103-68=35（人），中班有103-75=28（人），大班有103-63=40（人）。

【同步练习】

1. 同学们排成一队去看电影，从前往后数，小明是第8个；从后往前数，小明是第5个。这一队有多少人？

2. 上学期，某校三（1）班有36人订《小学生数学报》，有28人订《小学生之友报》，两份报纸都订的有14人，全班每人至少订了其中的一份报纸。三（1）班有学生多少人？

3. 要把长27厘米和63厘米的两根铁丝焊接成一根较长的铁条。已知焊接部分长5厘米，焊接后的铁条长多少厘米？

4. 三（1）班有48人。一次数学课上，陈老师出了两道思考题，练习后统计发现，做对第一题的有38人，做对第二题的有28人，每人至少做对一题。两道都做对的有多少人？

5. 有两根铁棒，一根长50厘米，一根长90厘米。把它们焊接在一起后，成为一根长120厘米的铁棒，重叠部分长多少厘米？

6. 少年宫乐队兴趣小组有38人，其中会弹钢琴的有25人，会弹古筝的有21人，有2人是刚参加学习的，两项都不会。既会弹钢琴又会弹古筝的有多少人？

7. 星期一，电视台在三（2）班56名学生中调查昨天看1频道和8频道的情况，有30人看过1频道，有21人看过8频道，5人两个频道都看过。问：两个频道都没看过的有多少人？

8. 9月1日，学校调查在暑假中学生上兴趣班的情况。三（8）班共50人，参加美术班的有32人，参加音乐班的有28人，两个班都参加的有11人。两个班都没有参加的有多少人？

9. 某校三（6）班共49人，在学校举行数学竞赛和作文竞赛中，有29人参加了数学竞赛，有21人参加了作文竞赛，其中用10人两项竞赛都参加了。有多少人两项竞赛都没参加？

10. 两张纸条粘合在一起后长80厘米，重叠部分长10厘米。已知其中一张纸条原来长30厘米，另一张纸条原来长多少厘米？

11. 三（5）班有44人参加了暑期书法与绘画两个兴趣班的学习，其中参加书法班的有30人，既参加书法班又参加绘画班的有14人。参加绘画班的有多少人？

12. 某校为40名留学生开设了汉语与法语学习班，他们都积极参加了学校。学校汉语的有30人，两种语言都学习的有10人。学习法语的有多少人？

13. 甲、乙、丙三个数，甲、乙两数的和是40，甲、丙两数的和是32，乙、丙两数的和是30。甲、乙、丙三个数各是多少？

14. 某校购进一批球，篮球与足球共41个，足球与排球共38个，排球与乒乓球共35个。篮球与乒乓球共有多少个？

15. 三个好朋友都有一些零用钱，已知小红与小明的另用钱共44元，小红与小亮的零用钱共50元，小明与小亮的零用钱共38元。谁的零用钱最多，是多少元？

【综合检测】

1. 一次春游，三（1）班的同学中有30人带了水果，有25人带了矿泉水，有10人两种多带了，所有人都至少带了一种。三（1）班去春游的有多少人？

2. 一个正方形池塘的每边都栽有15棵树，已知它的每个角上都栽有一棵树。这个正方形池塘四周共栽了多少棵树？

3. 三（2）班有25人参加了冬季长跑活动，有30人参加了冬季跳绳活动，有10人两项活动都参加了，只有2人因生病没有参加活动。三（2）班有多少人？

4. 王老师于星期六晚上调查46名学生双休日作业完成情况。截止星期六晚上8时，有22人完成了语文作业，有34人完成了数学作业，每人至少完成一种作业。两种作业都完成的有多少人？

5. 三（6）班有45名同学，爱吃苹果的有25名同学，爱吃梨的有35名同学，两种水果都不爱吃的有5名同学。两种水果都爱吃的有多少人？

6. 某班有学生42人，其中29人有《现代汉语词典》，21人有《新华字典》，有11人两端种工具书都有。这两种工具书都没有的有多少人？

7. 有两根铁棒，将它们焊接在一起后长86厘米，重叠部分长14厘米。已知其中一根铁棒原来长35厘米，另一根铁棒原来长多少厘米？

8. 某班44名同学中，喜欢打排球的有20人，既爱打排球又爱打篮球的有8人，既不爱打排球又不爱打篮球的有10人。喜爱大篮球的有多少人？

9. 三（1）班的学生列队升旗，每行人数同样多。小亮的位置从左数起是第3个，从右数起是第4个，从前数起是第4个，从后数起是第5个。三（1）班共有多少个学生？

10. 用一根30厘米的筷子测量一个杯子中水的深度。先将筷子的一端竖直插到杯底，拿出筷子，再将另一端也竖直插到杯底，两次都被水弄湿的部分长2厘米。杯子中的水深多少厘米？

11. 甲、乙、丙、丁四个小朋友中，甲、乙共重65千克，乙、丙共重68千克，丙、丁共重65千克。甲、丁共重多少千克？

12. 一家三口人，爸爸、妈妈的年龄和是86岁，爸爸和女儿的年龄和是62岁，妈妈和女儿的年龄和是60岁。女儿多少岁？

【搏击奥数】

某校学被评为“优秀环保小卫士”的学生中，有30人不是五年级的，有24人不是六年级的。已知五、六年级一共有14人被评为“优秀环保小卫士”，其他年级一共有多少人被评为“优秀环保小卫士”？

小学五年级数学第2讲 追及问题

第二讲追及问题 【知识要点】 路程差=速度差×追及时间 【例题精讲】 1.甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发， 几分钟后乙追上甲？ 【巩固】甲、乙两人从A地去B地，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米，乙走了8千米。甲出发后多少小时可以追上乙？ 2.骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人 同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？ 【巩固】姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？ 3.两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先 行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？ 【巩固】哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80米的速度先去学校，3分钟后，哥哥骑车以每分钟200米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？ 【巩固】姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？

4.甲、乙两人从A地去B地，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时4千米.甲出发时，乙已先走 了3小时，甲走10千米后，决定以每小时6千米的速度前进。甲还要几小时追上乙？ 【巩固】两地相距900千米。甲走需15天，乙走需12天。甲先出发2天，乙去追甲，要走多少千米才能追上？ 5.小王和小李共同整理报纸。小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份。小王迟到1分钟。当小王、 小李整理同样多份的报纸时，正好完成任务。问：一共有多少份报纸？ 【巩固】甲厂有原料120吨，乙厂有原料96吨，甲厂每天用15吨，乙厂每天用9吨，多少天后两厂剩下的原料一样多？ 6.B处的兔子与A处的狗相距56米。兔子从B处逃跑。狗同时从A处追兔子。狗一跳前进2米，狗跳3 次的时间与兔子跳4次的时间一样。兔子跳出112米时被狗追上。兔子一跳前进多少米？ 【巩固】唐老鸭在米老鼠前面56米处开始跑。米老鼠同时以每秒3米的速度追唐老鸭。唐老鸭跑出112米时被米老鼠追上。唐老鸭每秒行多少米？ 7.一列慢车在上午8点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城。一列快车在上午9点钟以每小时56 千米的速度也从甲城开往乙城。铁路部门规定：向相同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米。 问：这列慢车最迟应当在什么时候停下来让快车超车？

第15讲 重叠问题

第15讲 重叠问题 【探究必备】 有两张纸条，每张长8厘米。现在要将这两张纸条粘贴成一张较长的纸条，接头处长1厘米（如图）。粘贴后，较长的纸条长多少厘米？ 在重叠问题中，两个计数部分有重复。为了不重复计数，应当从它们的和中减去重复的部分。为了准确分析重叠问题，一般采用画图的方法。借助图形。明确重叠部分或所求部分，从而解决问题。 我们用两个圆分别表示数量A 和数量B ，用C 表示A 和B 的重叠部分（如图），求A 和B 合在一起的数量，用A +B -C 。 所以粘贴后，较长的纸条长应为：8+8-1=15（厘米）。 【王牌例题】 例1、某校三年级（2）班学生都在练习书法，有30人学习硬笔书法，有25人学习软笔书法，其中有10人两种书法都学习。这个班一共有多少人？ 分析与解答：这是一道典型的重叠问题，根据题意画出线段图： 从图上可以看出，这个班的人数就是参加书法学习的人数。学习两种书法的人数中，有10人是重复的，所以这个班的人数是30+25-10=45（人），这道题也可以 ？厘米 8厘米 8厘米 A B A B 硬笔书法30人 软笔书法25人 10人 ？人 20人 15人

这样想：这个班的人数是由只参加硬笔书法人数、两种书法都参加人数和只参加软笔书法人数三部分组成，从图上可以看出只参加硬笔书法人数有30-10=20（人），两种书法都参加的人数有10人，只参加软笔书法人数有25-10=15（人），所以这个班共有20+10+15=45（人）。 例2、某校三年级（4）班共有58人，在班级冬季长跑和跳绳两项比赛中，每人至少参加了其中的一项比赛。已知参加长跑的有33人，参加跳绳的有40人。两项比赛都参加的有多少人？ 分析与解答：由于每人至少参加了其中的一项比赛，因此这个班的人数应该就是参加这两项比赛人数的和，参加这两项比赛的共有33+40=73（人），而该班只有58人，说明其中有一部分人两项都比赛参加了，故两项比赛都参加的有73-58=15（人）。 例3、某校三年级（1）班有48人，在期末考试中语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人。语文、数学都得优秀的有10人。两门功课都没有得优秀的有多少人？ 分析与解答：由于语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人，语文、数学都得优秀的有10人，根据重叠问题的解法，这个班共有26+30-10=46（人），而该班有48人，说明其中有一部分人两门功课都没有得优秀，所以两门功课都没有得优秀的有48-46=2（人）。 例4、把两根一样长的竹竿绑在一起后长130厘米，中间重叠部分长10厘米。原来每根竹竿长多少厘米？ 分析与解答：根据题意画出线段图： 130厘米 第一根竹竿第二根竹竿 由于重叠部分的竹竿长10厘米，我们可以把其中一根竹竿的重叠部分拉开，那么这两根竹竿共长130+10=140（厘米），由于两个竹竿一样长，所以原来每根竹竿长140÷2=70（厘米）。 例5、某幼儿园小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75

第一节阈限概念和理论的发展

第一节阈限概念和理论的发展 、阈限概念及其发展一）传统的阈限概念 传统的阈限概念起源于费希纳。波林在《实验心理学史》一书中指出，心理物理学的古典问题有五个：（1）绝对阈限：观察者对个别刺激的感受；（ 2）差别阈限：观察者对刺激增量的感受性；（ 3）等量：被判断为相等的刺激，一般指主观判断的强度方面；（ 4）感觉距离：被判断为相等的两对刺激间的差别；（5）感觉比例：彼此判断为有特定比率的那些刺激。在有影响的“数学、测量和心理物理学”一章中又提到：史蒂文斯 （ Stevens ，1951）又补充了两个问题。（ 1）刺激次序：观察者将某些组的刺激排成等级或次序的测定；（ 2）刺激等级 评定：确定观察者评定刺激的真正物理值的准确性。由此可见，一百多年前，费希纳在创建心理物理学时，就把注意力集中在感觉阈限的测量上。经过长期来的研究，形成了许多阈限理论，包括柏拉克韦尔（ Blackwell ，1953）的高阈限理论，路司（Luce, 1954）的低阈限理论，格林（Green）的高-低两种阈限理论，以及史蒂文斯的神经量子理论和斯韦茨等人（ Swets et al. ， 1953）的信号检测理论。 从测量上考虑传统阈限的概念,后经卡特尔（ Cattell , 1893）、贾斯特罗 （ Jastrow , 1888）和乌尔班（ Urban, 1910）发展,最后形成了费 - 伽马（ Phi-gamma）假设的传统觉察理论基础。这种觉察论假设有三个连续量：刺激（ stimulus ,简称S）、内部反应（response ,简称R）和判断（judgment，简称J）。从图5-1 中可见，刺激S2被定义为绝对阈限（T）,因为它是引出“有”反应的一半次数。 图 5-1 上的三种连续量是相互联系的。假设实验与实验间刺激的物理变量是固定不变的，而内部反应则被认为是可变的，每个恒定的物理刺激所引起的反应可看作是常态分配。这样刺激的连续将引起一系列重叠的分布。在这些重叠的分布中，阈限T就是一个固定点（参见中间一条线）。通常，被试判断的连续是被假设准确地对应于它的反应连续，当刺激强度超过阈限T时，被试判断有刺激出现，低于阈限T时，则判断无信号出现（参见上面一条线）。 根据阈限的传统定义，刺激S是这个被试的绝对阈限。由于反应分布是常态的，所以阈值对应于S2所引起的反应平均值。常态分布的对称性，使得刺激S所引起的反应有一半次数是超过阈限。一半次数不超过阈限。S有时可以超过；S则一般会超过； S4 超过的概率就更高了 二）对传统阈限概念的异议 起源于费希纳的传统阈限概念，在 20 世纪 50 年代前，没有受到多大挑战。可是，近四十年来，关于阈限概念的理解上已成为古典的和现代的心理物理学争论的焦点。 50 年代以后，许多心理物理学家愈来愈感到，经典的阈限测量最大的问题在于没有能够把被试的辨别能力 (感受性)和他们做出判断时的倾向性 (反应标准)区别开来。也就是说，经

四年级奥数第一讲_图形的计数问题

第一讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2 5×（5-1）÷2=10 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？

例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段： （4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条） ②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的 三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 图中共有多少个三角形？ 例（3）数一数图中长方形的个数 分析：长边线段有：6×5÷2=15 宽边线段有： 4×3÷2=6 共有长方形：15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。

追及问题讲座及练习答案

追及问题精讲 知识导航 追及路程＝甲走的路程—乙走的路程 ＝甲的速度×追及时间—乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 解析：追及路程即为两地距离240千米， 速度差90－60=30（千米） 所以追及时间240÷30=8（小时）. 【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 解析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？ 40×5÷（60－40）=10（分） 答：哥哥10分钟可以追上弟弟. 【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，乙每小时行驶15千米，甲每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？

解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15－10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上： 10÷(15－10)=2（小时） 答：还需要2个小时. 【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 （6×12）÷（78－6）=1(小时)． 答：通讯员1小时能赶上先谴队. 例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？ 解析：如图： 当爸爸开始追小明时，小明已经离家： 70×12=840(米)， 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做

华图判断推理第一讲DOC

第一讲 国家公务员录用考试培训 行政职业能力测验之 判断推理冲刺篇 备考策略之判断推理一 本讲包括两部分内容： 第一部分复习计划（四周复习） 第二部分专题破解（图形推理） 第一部分复习计划 一、考纲要求 二、复习计划 一、考纲要求 国考——判断推理大纲解读 ●判断推理主要测查报考者对各种事物关系的分析推理能力，涉及对图形、语 词概念、事物关系和文字材料的理解、比较、组合、演绎和归纳等。 ●判断推理——事实、判断——判断过程 ●报考者分析推理能力 一、国考判断推理模块考纲要求 ●判断推理——分析推理能力 ●图形 ●语词 ●事物关系 ●文字材料

二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习任务： ●（1）体会逻辑精神在题目中的体现及运用 ●（2）培养图形敏感性，特别是图形基本元素：点、线、面、体、色的变化 规律 （3）总结类比推理和定义判断类题型常考题型范畴 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习方法： ●（1）学习判断推理专项教材、视频课程 ●（2）注意敏感性的连续培养，保证每天最少10题的题量，培养答题感觉●（3）对照近五年判断推理真题，从题型的角度进行划分归类，再从考察的 范畴进行归类。分析比较哪些是常考的

二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习重点： ●（1）逻辑推理题型中的必然性推理之假言命题 ●（2）图形推理题型中数量性变化的图形特点，注意图形推理和数字推理的 结合 ●（3）类比推理和定义判断类题型常考关系做到心中有数。如逻辑关系、言 语关系、常识等 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第二周 复习任务： ●（1）总结逻辑推理中朴素推理题型的特点及解题方法 ●（2）重点关注图形推理中各种常见图形的特点和规律，形成看到某一个图 形特点就会想到大概是哪种变化规律的敏感度 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第二周 ●复习方法： ●总结方法和技巧 ●例如综合教材中提到的逻辑推理中的带入排除法、列表法、假设法 ●定义判断中的关键词法、比较分析法、常识判断法等等 ●区分和总结每种方法所对应的题型 ●复习重点： ●按照总结出的方法和规律多加练习

【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第18讲 重叠问题(教师版)

第18讲 重叠问题 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-U I ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下： 知识梳理 教学目标 1．先包含——A B + 重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I 把多加了1次的重叠部分A B I 减去．

第一讲 观察法

第一讲观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图

环形跑道中的相遇追及问题完整版

环形跑道中的相遇追及 问题 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

第九讲：环形跑道问题 教学目标：理解环形跑道问题即是一个封闭线路上的追及问题,通过对环形跑道问题分析，培养学生的逻辑思维能力 教学重点：环形跑道问题中的数量关系及解题思路的分析 教学难点：理解环形跑道问题，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈 需要课时：2课时 教学内容：,正确将环形跑道问题转化成追及问题 解题关键：环形跑道问题就是封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰好是一圈的长度。 例1：环形跑道的周长是800米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲的速度是每分钟400米，乙的速度是每分钟375米，多少分钟后两人第一次相遇甲、乙两名运动员各跑了多少米甲、乙两名运动员各跑了多少圈 思路点拨:在环形跑道上，这是一道封闭路线上的追及问题，第一次相遇时，快的应比慢的多跑一圈，环形跑道的周长就是追及路程，已知了两人的速度，追及时间即是两人相遇的时间。 400－375＝25（米）800÷25＝32（分钟） 甲：400×32＝12800(米)乙:375×32＝12000(米)甲:12800÷800＝16(圈)乙:16－1＝15(圈) 例2：幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 解：①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（6－4）＝100（秒）②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100＝600（米）③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4×100＝400（米） ④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200＝6（圈） ⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200＝4（圈） 练习： 1、一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇 2、两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 3、林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？ 作业： 1、两名运动员在湖周围环形跑道上练习长跑,甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时同地同向出发,经过45分钟甲追上乙,如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇? 2、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，乙在甲前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？ 3、一条环形跑道长为400米，小明每分钟跑300米，小红每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，，经过多长时间，小明第一次追上小红？ 4、甲乙两人绕周长为1000米的环形跑道广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍，现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？ 5、光明小学有一条长为200米的环形跑道，小明和小红同时从起跑线起跑，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米，小明第一次追上小红时两人各跑了多少米？ 6、甲乙两人沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米，如果两人同时从起跑线上同方向跑。那么，经过甲经过多长时间才能第一次追上乙?

第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)

第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案） 一、解题方法 1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。 例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，解题思路：解题过程： 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 ＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2 ＝90（厘米） 答：这两块木板各长90厘米。 巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？ 2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？ 3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？

例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5解题思路：解题过程： 根据题意画右图。 由图可看出：亮亮的位置从左数起是 第5个，从右数是第4个，说明横有5+4 －1＝8（个）人；从前数是第2个，从后 数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个） 人。所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5 ＝40（人） 答：三（2）班共有40人。 巩固练习1. 同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。表演的同学共有多少人？ 2. 小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，＂国＂字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。小红一共写了多少个字？ 3. 同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？ 例题3.三(4)班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有29人。每人至少写完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？ 解题思路：解题过程： 根据题意画出右图： 图中重叠部分表示语文数学作业都做 完了的人数，把写完语文作业的人数和写 完数学作业的人数相加23+29＝52（人）， 比全部总人数多2－48＝4（人）。这多出的 4人既在写语文的人数中算过，也在写数学的人数中算过，即表示语文和数学作业都写完的人数。解：（23+29）－48 ＝52－48 ＝4（人） 答：语文和数学作业都写完的有4人。

图像分割方法综述matlab论文

图像分割方法综述 摘要：图像分割就是根据图像的某些特征或特征集合的相似性准则对图像进行分类，把图像空间分成若干个某些具有一致性属性的不重叠区域。它是图像分析和理解的基础，是计算机视觉领域中最困难的问题之一。图像分割的质量将直接影响着对图像的后续处理，所以图像分割被视为图像处理的瓶颈，具有十分重要的意义。人们很早就开始了对图像分割方法的研究，并且几十年来，这方面的研究从来没有间断过。到目前为止，已经有大量的关于图像分割的理论、技术、方法被人们相继提出并广泛应用。 关键字：图像分割；阈值；区域和边缘；交互式算法；纹理分割彩色图像分割 1.引言 图像分割是一项基于计算机技术的重要的图像分析和处理技术，从其产生至今，已经广泛的应用于各个领域，为人们的生产和生活中图像处理的水平提高做出了重大贡献。 2.国内外发展的状况 人工生命是一个快速发展的多学科交叉的研究领域，是计算机科学新的发展方向之一。目前，已经有科研人员尝试将人工生命应用到图像分割领域中。虽然目前使用人工生命进行图像分割的研究还比较少，但是这些相关研究成果表明将人工生命引入到图像分割中能获得有意义的成功，显示出了巨大的潜力。 在医学数据可视化方面，也有了许多硕果。如：医学图像如CT图像和MRI图像的三维重建、显示与分析处理；大脑生理形态分析，神经细胞中钙活性的可视化；计算机辅助外科手术模拟与计划等。其中值得一提的：如美国国家超级计算机应用中心利用远程的并列计算机资源，用体绘制技术实现了CT扫描三维数据的动态显示。其内容为显示一个狗心脏跳动周期的动态图像。 3.图像分割概述 人类感知外部世界的两大途径是听觉和视觉，尤其是视觉，因此图像信息是非常重要的一类信息。在一幅图像中，人们往往只对其中的某些目标感兴趣，这些目标通常占据一定的区域，并且在某些特性（如灰度、轮廓、颜色、纹理等）上和周围的图像有差别。这些特性差别可能非常明显，也可能很细微，以致人眼觉察不出来。计算机图像处理技术的发展，使得人们可以通过计算机来获取与处理图像信息。现在，图像处理技术已经成功应用于许多领域，其中，纸币识别、车牌识别、文字识别、指纹识别等已为大家所熟悉。 图像分割是指将一幅图像分解为若干互不交叠的、有意义的、具有相同性质的区域。好的图像分割应具有以下特征：（1）分割出来的各区域对某种性质（例如灰度、纹理）而言具有相似性，区域内部是连通的且没有过多小孔。（2）相邻区域对分割所依据的性质有明显的差异。（3）区域边界是明确的。 大多数图像分割方法只是部分满足上述特征。如果强调分割区域的同性质约束，则

第19讲 行程问题三-完整版

第19讲行程问题三 内容概述 运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑。在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律。 典型例题 兴趣篇 1.莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校，如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米？ 答案：每分钟159米 解析：注意到莉莉与莎莎两人同时从家出发，同时到达学校，而且两人在途中都没有停留，因此两人用去的时间相同．当运动时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系． 如图，莉莉步行从家到学校，走的路程是家与学校的距离．在相同的时间内，莎莎骑车到学校，又马上从学校返回家，再回到学校，经过的路程是家与学校距离的3倍，因此莎莎骑车的速度是莉莉步行速度的3倍，由于莉莉每分钟走53米，所以莎莎骑车的速度是每分钟53×3=159米． 2．小燕上学时骑车？回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟，求小燕往返都骑车所需的时间． 答案：30分钟 解析： 如图，因为小燕往返都步行需要70分钟，所以她步行从学校回到家需

要70÷2=35分钟． 由于小燕上学时骑车，回家时步行需要50分钟，所以她骑车从家到学校需要50-35=15分钟，那么她往返都骑车需要15×2=30分钟． 3．萱萱和卡莉娅从距离32千米的两地同时出发相向而行，萱萱每小时走4千米，卡莉娅乘坐“飞天扫帚”，每小时飞12千米，她俩迎面相遇后，卡莉姬发现自己忘记带东西了，立刻返回出发点，再掉头向萱萱前进．请问：她们第二次相遇的地点距离卡莉娅的出发点多少千米？ 答案：12千米 解析：第一次相遇时卡莉娅走了32÷(4+12)×12=24(千米)． 从第一次相遇到第二次相遇，两人又合走了24×2=48(千米)． 这期间萱萱又往前走了48÷(4+12)×4=12(千米)． 因此第二次相遇点离卡莉娅的出发点24-12=12(千米)． 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点整培英学校派车去电视机厂接劳模来校作报告，往返需用1小时．实际上这位劳模在下午1点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达．问：汽车行驶速度是劳模步行速度的几倍？ 答案：8倍 解析： 如图，汽车下午2时从工厂出发，途中遇到迎面走来的劳模后立即返回，于2时40分回到工厂，汽车的速度不变，因此汽车遇到劳模的时间是2时20分，

三年级举一反三 第19讲 重叠问题

第19讲重叠问题 一、知识要点 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 二、精讲精练 【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起 是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行 彩旗共有8＋10－1=17面。 练习1： 1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？ 【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】根据题意，画出下图：

由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。 练习2： 1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？ 【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠 的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136 厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。 练习3： 1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。 中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？

词语的重叠偏误分析讲课笔记

词语的重叠偏误分析讲课笔记 词语的重叠偏误分析讲课笔记 关键词：词语的重叠偏误分析讲课笔记 AB式动词的重叠 1ABAB休息休息、练习 2AAB散散步、跳舞 VO动宾结构的:可插入…。离合词。 散了一会儿步 跳的是拉丁舞 天天=每天 孩子一天天长大。 你一天比一天漂亮！ 越来越=日益=越发 一个一个地：纷纷、陆续 动作方式 错：昨天我休息休息。 动词的重叠的作用是 短时、随意、尝试、缓和语气 形容词的重叠： 1少数：ABAB=偏正结构的/A比喻/B中心词。 错：很AB、很ABB、很AABB、很ABAB。 雪白雪白/笔直/通红/乌黑 2多数：AABB 漂漂亮亮。 对：很AB。 3不能重叠 名量结构的重叠 一个一个：动作的方式。 他们一个一个地站了起来。 个个=每个：都 形式动词+动词（两个字/不重叠/不带补语） 对……进行、加以、予以、给予 予以考虑 进行思考

《留学生汉语语法偏误分析》 第一讲 v 汉语词语的重叠 v 实例+规律 v 综合练习（15题） 1）多认识一些中国朋友，这样可以练习一练习口语。 2）就让他骑骑一下你的摩托车吧。 3）你今天回家认真想了想吧。 4）他们每天早上都在公园里散步散步。 5）这个星期一天天都有人来报名参加下个月的演讲比赛。 6）这种菜你没吃过吧，吃了吃看，味道怎么样？ 7）最近没什么事，你就再休息了休息，病好了以后再来上班。 8）我每天早晨都来公园跑跑步，锻锻炼炼身体。 9）我们公司星期星期都有人出差到南京。 10）我们俩在教室的门口聊天聊天。 11）我们大家要想一想一个办法。 12）他是一位聪聪明明的中学生。

13）他特别喜欢干净，床单总是雪雪白白的。 14）听完这个笑话，一个一个的学生笑了起来。 15）为了我们的友谊，这次我让步让步。 16）我们每次都谈话谈话就回宿舍。 17）咱们商量一商量，到底买哪种股票比较好。 18）昨天我去学校图书馆找了找看，没有这本书。 规律小结（1） v 形容词： v AA，ABB，AABB，ABAB v 动词： v A了A，A一A，AA，AA看 v ABAB，AAB v 量词、名词：AA 19）《红楼梦》我看过三遍，但每一遍遍都是半懂不懂。 20）对面走过来一位十分漂漂亮亮的姑娘。 21）妈妈端来了十分香喷喷的米饭。 22）马路边的这种树的树干很笔直笔直的，就好像站岗放哨的卫兵。 规律小结（2） 形容词重叠形式前面不能加程度副词 量词、名词的重叠形式前面不能加“每、各”等词语。

人教版小升初考试数学专题讲练：第19讲 追及问题

人教版小升初考试数学专题讲练：第19讲追及问题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧！ 一、解答题 1 . 客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，客车每小时行50.6千米，货车每小时行48.8千米，4.5小时相遇．甲、乙两地相距多少千米？ 2 . 明明一家去外婆家，路程大约有1000千米，耗油多少升? 3 . 小芳和小军住在同一条街上，小芳和小军放学后从学校同时回家，小芳每分钟行60米。小军每分钟行70米，5分钟后同时到家。小芳和小军两家相距多少米？ 4 . 两地相距600km，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，4小时后相遇，甲乙两辆汽车的速度比是2:3，甲乙两车的速度各是多少？（用两种方法解答） 5 . 甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车的速度是甲车速度的，两车相遇后甲车继续行驶3.2小时到达B地，A、B两地相距多少千米？ 6 . 李叔叔从某城市乘火车去北京用了16小时，火车每小时行驶147千米．该城市到北京有多少千米？ 7 . 解方程。 （1）4×3.2+3x=14.9 （2）4：x= ： （3）6x-6.25=5.75

（4）：10=6：x 8 . 张明和王红两人相约同时从相距840米的两家出发去新华书店，7.5分钟后两人在书店门口相会。张明每 分钟走57米，王红每分钟走多少米？ 9 . 小轿车比大客车每小时多行驶多少千米? 10 . 小胖3分钟走了360米，小亚5分钟走了550米，小亚和小胖谁的速度快？ 11 . 小丽从自己家到刘老师家走了16分钟，接着又以同样的速度走了11分钟到学校。刘老师家离学校有多 远？小丽从学校直接回家需要多少分钟？ 12 . 长沙到北京的路程是1560千米，一辆慢车以每小时110千米的速度从长沙开往北京,同时一辆快车以每小时150千米的速度从北京开往长沙,两车相遇时快车行了多少千米? 13 . 小民以每小时20千米的速度行使一段路程后，立即沿原路以每小时30千米的速度返回原出发地，这样往返一次的平均速度是多少？ 14 . 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车每小时行80km，与乙车的速度比为4∶5，2小时后两车共行全程的，A、B两地相距多少千米？ 15 . 小明从家骑车经过博物馆到游乐园，全程需2小时，如果他以同样的速度从家骑车直接到游乐园，可以 省多长时间？ 16 . 钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？

升第八讲容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题 导入 文氏图■■■■■■■■■■■■■■■ 文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的. 维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员. 维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列 ? 简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原 理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前， 莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维 恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20 世纪初曾享有很高的声誉. 除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机， 当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次. 什么是容斥原理? 这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠. 比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱 喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行. 比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.

第一讲 合(1和2)

高中数学 第一讲 集合(一) 1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。 2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判 断 和证明两个集合包 4.会判断简单集合的相等关系 ⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念； ⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析： 1.集合的基本概念及表示方法。 2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析： 1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。 3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 4.集合的交、并的性质。 三．知识要点精讲 1.集合的概念 ⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。 ◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。 怎样理解集合的“确定的”性呢？ 其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。 例1 判断下列对象能否构成集合。 １.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师 ◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。 通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。 例2 已知{ }12,12-∈a a ，则a ＝ . ◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。 这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。 注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。 例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若 P={}5,2,0，Q={ }6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 2.集合的分类及表示方法 ⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。 这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示： 自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；