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09工程力学答案-第11章---压杆稳定

11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1

d l

mm m；（2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m；（3）16号工字钢，2

l=m

解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：

（1）圆形截面，25,1

d l

mm m：

0.025

20010

6437.8

???

===

N kN （2）矩形截面2400,1

h b l

===

m m

当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳

0.040.02

min(,)

y z y

I I I I

===，故：

0.040.02

20010

1252.7

???

===

N kN （3）16号工字钢，2

l=m

查表知：44

93.1,1130

y z

I I

cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1

μ=时

min(,)93.1

y z y

I I I I

===cm，故：

2298

2001093.110

459.4

ππ-

????

===

N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。

解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的

99.35

P P

σλ

=→===

（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于

λ可采用欧拉公式计算临界力。故

0.7

80.83 1.229

0.03

99.35

x P

l l

λλ

===>>

=→mm，

即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。

11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，331 1.09cr σλ=-。试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：（1）计算此钢材的判别柔度

①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22E

πσλ

=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：

92.64P λ===

②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：

33127452.291.09

s s a b σλ--=

== （2）绘制临界应力总图如图：

(MPa)

11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？

习题11-7图

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。

1 2.4

138.560.060xy xy z

i μλ??=

= ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。

0.5 2.4

103.920.04xz xz y

i μλ??=

③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(,)138.56xz xy λλλ==

④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ

22101.8P P P E πσλλ=→===

⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr

222362

(2101010)

(0.0600.040)259.10138.56cr cr E P A A

πσλ

π=?=????=

??=N kN

(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，

[][]

259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =

≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h

当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。故

1 2.4

1 2.40.5 2.4

0.5

0.5 2.4

h b h

→=→=

?==

补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？

F BC F N N BC

N CD

解：（1）各杆的临界力

222

.22

cr BD

EI EI

P P

a a

===

外

（2）求各杆的轴力与P的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，

NAB NBC NCD NDA

F F F F

===。研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。

第一种情况：

C:)

02450

x NCB NCB

F P F cos F

=→--=→=

∑压杆

B:()

02450

Y NBD NBC NBD NBC

F F F cos F P

=→--=→==

∑拉杆

令

,.22

NCB cr CB cr

EI EI

F P P P

a a

===?

外

第二种情况：

)

NCB

F=拉杆()

NBD NBC

F P

==压杆

.22

-==

NBD NBC cr BD

EI EI

F P P P

a a

ππ

===?

补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失

稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.

解：（1）计算柔度：

①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。

0.57

101.040.120xz xz y

i μλ??=

②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。

242.490.200xy xy z

i μλ??=

③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

max(.)242.49xz xy λλλ==

（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr

222112

(0.110)

(0.1200.200)40.28242.49cr cr E

P A A

πσλ

π=?=???=

??=N kN

补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为2

3102.3mm ?，试计算其临界力.

解：（1）矩形：

①计算柔度：23632 3.21010 3.2100.04b b --=??=?→=

0.530.53

129.90.04xz xz y

b i μλ???=

== 129.9>123=xz P λλ=

矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力

2211

322

2103,210N 374.34kN 129.9

cr E P A ππλ-??=?=??= （2）正方形截面：

①计算柔度：23633.21010 3.2100.057a a --=??=?→=

0.530.53

91.860.057xz xz y

b i μλ???=

== 06091.86<123=xz P λλλ=<=

正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力

63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=

（3）圆形截面： ①计算柔度：

23633.21010 3.2100.0644

d d π

--=??=?→=

0.530.53

94.000.06444

xz xz y

d i μλ???=

== 0=6094<123xz P λλλ<==

圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力

②采用直线经验公式计算其临界力

63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=?=-?=-????=

（3）圆环形截面： ①计算柔度：

2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 4

D D D π

α---=

-=??=?→=

0.530.53

54.990.0894

xz xz y

D i μλ???=

054.99<60=xz λλ=

圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力

()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=?=?=???=

补充4 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。其弹性模量210E G =Pa 。若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。

F N 图

（kN ）M 图

（kN m ）

解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。

()0sin 45122033.941kN A

NDC

NDC m F

F =→-+?=→==∑F

（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。内力图如图所示。

（3）对压杆进行稳定性校核。 ①求压杆的柔度

127.39l

μλ=

②求压杆临界力

对于Q 235钢材料为100P λ=，127.39>100P λ

λ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力

229

21010Pa 127.72MPa 127.39

cr E ππσλ??===

③校核压杆的稳定性

[][]66

322127.7210127.7210 1.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}4

cr cr w w w w NDC n n n F A σσπσ??=≥→===≥=????-

故，压杆的稳定性足够。

（4）对梁ABC 进行强度计算

梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。

查表可知14号工字钢的2

321.516cm

102cm z A W ==。则梁的最大拉应力为：

33max max

24101210Pa 11.154117.647MPa 128.8MPa 21.5161010210N z F M A W σ--??=+=+=+=?? 故，ABC 梁的的强度足够。