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2015届高考数学二轮专题训练：专题七第2讲概率、随机变量及其分布

第2讲概率、随机变量及其分布

考情解读 1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题．

1．随机事件的概率

(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率

P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.

(3)几何概型的概率 P (A )＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

2．条件概率

在A 发生的条件下B 发生的概率： P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

. 3．相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为

P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －

k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布

在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －

N －M

C n N

，k ＝

0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称下表：

为离散型随机变量X (2)离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．

(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．

D (X )＝(x 1－

E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 叫做随机变量ξ的方差． (4)性质

①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 7．正态分布

若X ～N (μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P (μ－σ

热点一古典概型与几何概型

例1 (1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．

(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78

思维启迪 (1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解．答案 (1)1

(2)C

解析 (1)任取两个数字(可重复)共有4×4＝16(种)排列方法，一个数字是另一个数字的2倍的

所有可能情况有12、21、24、42共4种，所以所求概率为P ＝416＝1

(2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知????

0≤x ≤40≤y ≤4

|x －y |≤2

，所以两串彩灯第一

次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×1

2×2×2

4×4＝12

16＝

. 思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

(1)(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是

6的概率为________．

(2)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．答案 (1)16 (2)2

解析 (1)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件总数共有C 7

10＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为C 36C 33＝20，故所求概率

P (A )＝20120＝16

(2)由?

????

1－x ≥0，x ＋3≥0，得f (x )的定义域为[－3,1]，由几何概型的概率公式，得所求概率为P ＝

1－(－3)3－(－3)＝23

热点二相互独立事件和独立重复试验

例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．

思维启迪本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解．

解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则P (E )＝P (A 1A

A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A

A 2A 3)

＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是0.38.

(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.6×0.6＝0.36，

P (B )＝0.5×0.6＝0.3，P (C )＝0.4×0.75＝0.3.

事件F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”．则F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即F ＝A B C ，

于是P (F )＝1－P (F )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4.

即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4. 思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解． (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．

(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B

在任意时刻发生故障的概率分别为1

和p .

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

，求p 的值；

(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝1

(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D .“系统A 在3次相互独立的检测中发生k 次故障”为事件D k . 则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥．依题意，得P (D 0)＝C 03(1－

110)3，P (D 1)＝C 13·110(1－110

，所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243

250

所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243

250.

热点三随机变量的分布列

例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，

答对每道乙类题的概率都是4

5，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求

X 的分布列和数学期望．

思维启迪 (1)利用对立事件求概率；(2)计算每个X 的值所对应的概率．

解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

因为P (A )＝C 36

C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.

(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.

P (X ＝0)＝C 02·????350·????252·15＝4125

； P (X ＝1)＝C 12·????351·????251·15＋C 02????350·????252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·????352·????250·15＋C 12????351·????251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·????352·????250·45＝36125

. 所以X 的分布列为

所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36

125

＝2.

思维升华解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值．

(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．

(1)(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割

为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的数学期望E (X )等于( ) A.126

125 B.65 C.168125

D.75

(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是

相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1

12，则随机变量X 的数学期

望E (X )＝________. 答案 (1)B (2)5

解析 (1)125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的数学期望 E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝6

(2)由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.

随机变量X 的分布列为

E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝5

概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：(1)基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的基本事件个数m ；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A 的概率可用“事件A 包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的

概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差.

真题感悟

1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C

解析取两个点的所有情况为C 25＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝3

.故选C. 2．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．

(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；

(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )

A ．p 1>p 2，E (ξ1)

B ．p 1

E (ξ2)

C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)

D ．p 1

E (ξ1)

答案 A

解析随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：

所以E (ξ1)＝

n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋n

m ＋n

， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1

n C 2m ＋n ＋3C 2m

C 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n

，

所以E (ξ1)

因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n

2(m ＋n )

，

p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1

n C 2m ＋n ·23＋C 2n C 2m ＋n ·1

3＝3m ＋n 3(m ＋n )

，

p 1－p 2＝n

6(m ＋n )>0，所以p 1>p 2.

押题精练

1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( ) A.521 B.27 C.13 D.821 答案 D

解析有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C 410＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A 为“取出球的编号互不相同，”

则事件A 包含了C 15·C 12·C 12·C 12·C 12＝80个基本事件，

所以P (A )＝80210＝821

2．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) A.16625 B.96625 C.624625 D.4625

答案 B

解析由题意得任取两球有C 26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为6C 26＝2

5，故4人中有3人

中奖的概率为C 34(25)3×35＝96

625

.故选B. 3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为1

2.据以往资料统计，第一场比赛

可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．

解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．

设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n (10n ＋70)

＝300. 解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，∴总决赛共比赛了5场．

则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为

C 14(12)4＝14

. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490. 又P (X ＝220)＝2·(12)4＝18，

P (X ＝300)＝C 14(12)4＝1

， P (X ＝390)＝C 25(12)5＝516，P (X ＝490)＝C 36

(12)6＝516. 所以，X 的分布列为

所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×5

＝377.5(万元)．

(推荐时间：50分钟)

一、选择题

1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.7

8 答案 D

解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78

2．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 答案 D

解析 P ＝4×4×sin 150°－π×124×4×sin 150°

＝1－π8.

3．已知Ω＝{(x ，y )|?

y ≥0，y ≤4－x 2

}，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2

有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈[π－2

2π，1]，则实数m 的取值范围为( )

A ．[1

2，1]

B ．[0，

] C ．[

，1] D ．[0,1]

答案 D

解析如图，由题意得m ≥0，根据几何概型的意义，知P (M )＝S 弓形S 半圆＝S 弓形

2π，

又P (M )∈[π－2

2π

，1]，

所以S 弓形∈[π－2,2π]．故0≤m ≤1.

4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A.310 B.29 C.78 D.79 答案 D

解析设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.

则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝7

30310

＝7

5．将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( ) A.6091，12 B.12，60

91 C.518，6091 D.91216，12

答案 A

解析根据条件概率的含义，P (A |B )的含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率．因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6－5×5×

5＝91(种)，“三个骰子掷出的点数都不相同且

只有一个3点”的情况共有C 13×5×4＝60(种)，所以P (A |B )＝

. P (B |A )的含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下，“至少有一个骰子掷出3点”的概率，所以P (B |A )＝C 13×5×46×5×4＝1

2，故选A.

6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ

解析因为ξ服从正态分布N (2,9)即μ＝2为图象的对称轴，而P (ξ>c )＝P (ξ

2＝2?c ＝3.

二、填空题

7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12

解析从10件产品中取4件，共有C 410种取法，取到1件次品的取法为C 13C 3

7种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 3

C 410＝3×35210＝12

8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案

解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，故所求的概率P ＝C 46????126＋C 56????126＋C 66????126＝1132.

9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1

5，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.

答案 25

解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则???

15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，

解得???

a ＝35

，b ＝1

5，

所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝2

10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝

????

－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n 是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________．答案

243

解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为23，结果为1发生的概率为1

3，

S 5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为C 15

·(23)1(13)4＝10

243. 三、解答题

11．一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)． (1)求取出的小球中有相同编号的概率；

(2)记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．

P (A )＝2(C 12C 13＋C 2

3)＋1C 4

7＝1935

. (2)随机变量X 的可能取值为3,4,6. P (X ＝3)＝1C 47＝1

，

P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24

C 4

7＝25

， P (X ＝6)＝C 36

C 47＝47

所以随机变量X 的分布列为

所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝179

12.(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要

求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为1

2，在D

上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为3

假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝1

记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝1

记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意得D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)

＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝3

，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为3

10.

(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝1

，

P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16

， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝1

，

P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215

， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝1

10.

可得随机变量ξ的分布列为所以

所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝91

13．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是2

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望． (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，X ～B (6，2

)

P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k

(k ＝0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为

E (X )＝

1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729

＝4. 或因为X ～B (6，23)，所以E (X )＝6×23＝4.

即X 的数学期望为4.

(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝32

81. 答教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281

文科数学专题概率与统计(专练)高考二轮复习资料含答案

专題16概率与统计(押题专练〉 1 12 1 ?围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为7都是白子的概率是35.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( ) 1 12 A : B. 35 7 17 C D. 1 35 【答案】 C 【解析】设如中取出2粒都是黒子彷事件直「从中取出2粒者卩是白子彷事件B 「任竜取出2粒恰好是同一色悄事件C f 则C=AUB,且事件A 与B 互斥-所叹PQ=P(A)+P(B)=昇||二￥即任青取出 -粒恰好是同一色的概率为紧 n 1 2?若［0 , n ］，则sin ( 0 + 3)>5成立的概率为( ) 2 C 3 D 1 【答案】B n n 4 n n 1,口 n n 5 n n 【解析】依题意，当 0 € ［0, n ］时，0 +-3€［§，丁］，由 sin （ 0 +~3）>2得"3 w 0 + _3<_^，。三 0 <2. n 1 因此，所求的概率等于二十n =二，选B 3?在｛1,3,5｝和｛2,4｝两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被 4整除的概率是( ) 1 1 A 3 B -2 C 1 【答案】D 【解析】所有的两位数为 12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45 ，共12个, 能被4整除的数为12,32,52，共3个， 3 1 故所求概率P = ；7=匚.故选D 12 4 4.在平面区域｛(x , y)|0 w x w 1, 1w y w 2｝内随机投入一点 P,则点P 的坐标(x , y)满足y w 2x 的概率 1 A 3 1 B-2

1 1 X - X1 S阴影2 2 5.在区间［0,1］上随机取一个数x，则事件“ log°.5（4x —3）>0”发生的概率为（ 1 1 C3 D-4 【答案】D 【解析】因为log o.5（4x —3）>0,所以0<4x —3< 1,即|

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

高考数学之概率大题总结

1（本小题满分12分）某赛季, 甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛, 他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分, 求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：2222222981026109466++++++=, 236112136472222222=++++++） 2在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为5月1日至30日, 评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1, 第三组的频数为12, 请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？ (3)经过评比, 第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖, 问这两组哪组获奖率高？ 3已知向量()1,2a =-r , (),b x y =r ．（1）若x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足1a b =-r r g 的概率；（2）若实数,x y ∈[]1,6, 求满足0a b >r r g 的概率．

4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支, 该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计, 统计结果如下表所示：（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果, 计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支, 若将上述频率作为概率, 试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 5为研究气候的变化趋势, 某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度, 如下表：（1）若第六、七、八组的频数t 、m 、 n 为递减的等差数列, 且第一组与第八组的频数相同, 求出x 、t 、m 、n 的值；（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期, 分别记它们的平均温度为x , y , 求事件“||5x y ->”的概率． 6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5 所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 频率分数 90100110120130 0.05 0.100.150.200.250.300.350.4080 70

全国卷文科数学概率统计汇总

概率统计高考题 1.[2016.全国卷3.T5] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（） A. 158 B. 81 C. 151 D. 30 1 2.[2016.全国卷2.T8] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） A. 710 B. 58 C.38 D.310 3.[2015.全国卷1.T4] 如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 103 B.15 C.110 D.1 20 4.[201 5.全国卷2.T3]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（） A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 5.[2013.全国卷1.T3]从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（） A. 12 B.13 C.14 D.1 6 6.[2012.全国卷.T3]在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（） A. -1 B.0 C. 1 2 D. 1 7.[2011.全国卷.T6]有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. 13 B. 12 C.23 D.34 8.[2014.全国卷1.T13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

全国统考2022高考数学一轮复习高考大题专项六概率与统计学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习：概率与统计高考大题专项(六) 概率与统计考情分析一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法. 二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查. 三、考查难度稳定高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调. 典例剖析题型一相关关系的判断及回归分析【例1】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图. x50100150200300400 t906545302020

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节概率及其计算考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。五、互斥事件的概率 1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。题型归纳及思路提示题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数基本事件总数。例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2）若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

高三文科数学统计概率总结

高三文科数学统计概率总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

统计概率考点总结【考点一】分层抽样 01、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（） 02、A、101 B、808 C、1212 D、2012 03、某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________. 04、一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。 05、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（） 06、A．11 B．12 C．13 D．14 07、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为() 08、A．26, 16, 8B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 【考点二】频率分布直方图（估计各种特征数据） 01、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间, 频率分布直方图所示. 02、(I)直方图中x的值为________; 100,250内的户数为_____. 03、(II)在这些用户中,用电量落在区间[) 04、下图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10]内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为