专题八 几何代数综合型问题学生

专题八几何代数综合型问题

考点梳理：代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数几何综合题第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法。能更有效地解决问题。

一、课前导学

1、如图所示，点A的坐标为（2，0），点B在直线上运动，当

线段AB最短时，点B的坐标为（）

A、（0，0）

B、（，）

C、（1，－1）

D、（－1，1）

2、如图所示，抛物线与x轴交于点A、点B，

与y轴交于点C，若∠OAC=45°，则下列各式成立的是（）

A、B、

C、D、

3、如图所示，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F。

（1）求证：；

（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE

（m>0）的两个根，且菱形ABCD的面积为，求EG的长。

二、中考典例讲解

1、如图，二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴交点为Q。过Q

点的直线与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B。若

，求这个二次函数的解析式。

2、如图所示，在平面直角坐标系中，已知△PDC，以CD为直径作圆O交PD于点A，交PC于点B,，连结AB，BC和CD的长是方程的两根，且BC

（1）∠BAD的度数；

（2）线段AB的长；

（3）P点的坐标。

3、如图所示，已知A（8，0），B（0，6），C（0，－2）。连结AB，过点C的直线l与AB交于点P。

（1）如图（a），当PB=PC时，求点P的坐标；

（2）如图（b），设直线l与x轴所夹的锐角为α，且，连结AC，求直线l 与x轴的交点E的坐标及△PAC的面积。

4、已知动点P以2厘米/秒的速度沿图（a）的边框BCDEFA的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图（b）所示。若AB=6厘米，试回答下列问题：（1）图（a）中的BC长是多少？

（2）图（b）中的a是多少？

（3）图（a）中的图形面积是多少？

（4）图（b）中的b是多少？

代数综合问题(二)

代数综合问题（二） 数学竞赛也就是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能力，必须反复练习，在解各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法，更要找出最佳的方法，应当注意数学的思想与数学的美，不断提高我们的鉴赏能力，注意简捷明快，一针见血。 本讲中，我们选编了国内外一些值得欣赏的竞赛题，有些题多给几种解法，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试，以展现思维的过程，并且以资比较，尽力寻求完美的解法。希望参加数学竞赛的学生们多掌握些解题的思考方法，对数学的认识深度就会有所提高，随之而来，解题能力的增强就会有所突破，也就可能在各类数学竞赛中大显身手。以下是典型例题解析：

例1 已知函数= cue2 +&r +c(G > A > c)的图象上有两点 BQm2 ,/(wi2)> 满足 / + [/Si)+ /(皿2)]a + /(^1 )/(^2)= 0?/(l) = O t (1)求fCr)的 取值范围, (2)问能否得出fbn. +3) J(g+3)中至少有一个数为正数？证明你的结论. 分析由条件确定sb、c的取值符号，结合函数图象显示函数性质以使问题求解. 解因为满足 a z + Lf(g) + f(.m2)]a + ) f(m2 )=0. BP [a + /(加i )][a + /〈加2〉] = 0.

因此fSJ =—a或f(7刃2)=—a、即m\ 或加2是方程工)= — ci的一个实根，故△△ 0.即夕豪4a(a + c),而由/(I) = 0知丄= —(a + C),则 (a + c)2— 4a(a + c) =—3/ —Zac + c $ 0 * 即(3a — c) (a + c) W 0. 又因为a + b + c = 0,而aA b> c, 可知a>0,c<0,3a-c>0, 因此a + c ￡0,即6^0. 设/(工〉=ar2+6^+c = 0的两根为吗、氐，因为/(I) = a +b+ c = 0, 所以方程/(JT)= 0的一个根为1,另一 根为三，又因为a>0,c<0,所以三<0. a a 由于b> c且5 =—a— c 0 , 则—”可知2十7 因此2丢丨4一工2 |<3.所以fCz)的图 象被工轴所截线段长的取值范围为［2.3).

中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)

2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1

【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

一次函数代数几何综合问题

一次函数代几综合问题 一．填空题（共6小题） 1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若 以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是． 2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点， 使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为． 3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1）， C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段 PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交 于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q， 则点Q的坐标为． 4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直 线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴 的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…； 按此作法继续下去，则点A4的坐标为． 5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1 按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数 y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为． 6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B， △AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．

二．解答题（共24小题） 7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值； （2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标； （3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值． 8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上． （1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式； （2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S． ①求S与a的函数关系式； ②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由； （3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2

B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B

中考数学代数综合(一)

题型一：整数根问题 【例1】 已知关于x 的方程2220x x n --=有两个不相等的实数根． ⑴求n 的取值范围； ⑵若5n <，且方程的两个实数根都是整数，求整数n 的值． 【例2】 已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 例题精讲 代数综合（一）

【例3】 若m 为正整数且关于k 的方程2(1)(7)60m x m x +-++=有两个不同的正整数根，求m 的值． 题型二：数形结合思想 【例4】 已知：关于x 的一元二次方程012)1(22 =+++-m x m x ⑴求证：方程有两个实数根； ⑵设0

3OA OB =，请确定抛物线的解析式； ⑶将⑵中的抛物线沿x 轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：当直线y m =与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围． 【例6】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)23y mx m x m =--+-的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222y x =-，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23y ax bx c =++的解析式 【例7】 已知关于x 的一元二次方程2(2)210m x x +--=．

综合题研究 代数与图形综合问题(一)

综合题研究之代数与图形综合问题（一） 【考点知晓】 考查内容：代数与图形综合问题重点考查运用函数知识、方程的知识及几何知识.解决综合题的能力，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式，同时还要注意自变量的取值范围，它要求考生具有较强的分析问题的能力，会解答代数与几何的综合问题，具有拉大考生分数差距的作用. 考点评说：考查方式多为最后的压轴题，其难度较大，运算量较大，复习时要注意此类题型的训练. 【考题漫步】 例1（06，长春）P 为正比例函数y=2 3 x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）， （1）求⊙P 与直线x=2相切时点P 的坐标， （2）请直接写出⊙P 与直线x=2相交，相离时x 的取值范围. 思路分析：先求出⊙O 的圆心P 到直线x=2的距离，再根据直线和圆的位置关系中的圆心到直线的距离与半径的数量关系进行求解. 解：（1）过P 作直线x=2的垂线，垂足为A ， 当点P 在直线x=2右侧时，AP=x －2=3，得x=5，⊙P （5， 2 15） 当点P 在直线x=2左侧时，PA=2－x=3，得x=－1，⊙P （－1，－2 3） ⊙当⊙P 与直线 =2相切时，点P 的坐标为（5，215）或（－1，－2 3 ） （2）当－15时, ⊙P 与直线x=2相离 重要提醒:此题是一个动点问题,将一次函数与直线和圆的位置关系结合考查,学生容易忽略的是考虑点P 在直线x=2的左右两边的两种情况 触类旁通: (2005年·甘肃省)反比例函数y=－ x 8 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求⊙AOB 的面积.

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y

最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究 例1 已知抛物线 c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、 C （5，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式； （3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达 抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径 最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长． 例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 23y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，， ，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标． 例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧．． ），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点． （1） 求直线BC 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标； （3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．

例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234 54122+-++-- =m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值. 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (－2，0)、 B (6，0)，与y 轴交于点 C ，直线C D ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点． x y O 1 1

中考数学解析汇编37 代数综合型问题

代数综合型问题 11. （2012山东莱芜， 11，3分）以下说法正确的有： ①正八边形的每个内角都是135° ②27与 3 1 是同类二次根式 ③长度等于半径的弦所对的圆周角为30° ④反比例函数x y 2 - =，当x<0时，y 随的x 增大而增大 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个 【解析】正八边形的每个内角度数：180°?=?-?=? - 135451808 360，①正确 27=33， 31=33，27与3 1是同类二次根式，②正确 一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30°错误 反比例函数x y 2 -=，当x<0时，y 随的x 增大而增大，④正确 【答案】C ． 【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。对于一些多解问题，要做到思考问题全面. 7. (2012山东日照，7，3分)下列命题错误．．的是 （ ） A.若 a <1，则(a －1) a -11 =－a -1 B. 若2 )3(a -=a －3 ，则a ≥3 C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 D.81的算术平方根是9 解析：因为a <1，所以1-a>0，所以(a －1) a -11= (a －1)2 )1(1a a --=a a --11 a -1=-a -1,故A 正确；B 中有a －3≥0，a ≥3，故B 正确；因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，C 也正确. 81=9，9的算术平方根是3，所以D 错误. 解答：选D ． 点评：本题考查的知识点有2 a 的性质、算术平方根和中点四边形，运用2 a 时，先得2 a =|a|,再根据a 得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形的对角线有关，

初三数学代数几何综合题

代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)

(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.

代数几何综合题(含答案)

代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B

3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0

1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y

中考数学代数几何综合题2

中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 B

初中数学专题-代数综合题 课堂练习

代数综合题练习 一：方程存在整数根问题 1（昌平一模）已知关于x 的方程（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2=0． （1）讨论此方程根的情况； （2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值； （3）若抛物线y =（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 2（怀柔一模）已知：关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=. （1）a 取何整数值时，关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是整数； （2）若抛物线y =2(1)(1)20a x a x --++=的对称轴为x =－1，顶点为M ，当k 为 何值时，一次函数1 3 y kx k =+的图象必过点M . 3（房山二模23）已知：关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0. ⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数； ⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数 )0(≠= k x k y 上的一点（-1,3）， ①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y ②利用函数图象求不等式0>-kx x k 的解集.

4（顺义一模）已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的 整数根（a 为正整数）． 5（平谷二模23）已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标． 6（西城二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 211 24y x =+ 的顶点为M ，直线 2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线 211 24y x =+ 和直线2y x =于点A ，点B. ⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）； ⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数2 y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤21 24x + ，求a ，b ，c 的值.

中考数学冲刺拔高：代数几何综合问题--巩固练习(有答案)

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带)

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带) 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 以下是中国（）为您推荐的中考数学代数综合型问题试题整理汇集，希望本篇对您学习有所帮助。 中考数学代数综合型问题试题整理汇集 11.以下说法正确的有： ①正八边形的每个内角都是135° ②与是同类二次根式 ③长度等于半径的弦所对的圆周角为30° ④反比例函数，当x0，所以===-,故A正确;B中有a-3≥0，a≥3，故B正确;因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，c也正确.=9，9的算术平方根是3，所以D错误. 解答：选D.

点评：本题考查的知识点有的性质、算术平方根和中点四边形，运用时，先得=|a|,再根据a得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形的对角线有关，原四边形的对角线相等，则中点四边形是棱形;原四边形的对角线互相垂直，则中点四边形是矩形;原四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.反之也成立. 8、下列命题： ①方程的解是 ②4的平方根是2 ③有两边和一角相等的两个三角形全等 ④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 其中是真命题的有个 个个c2个个 【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质

【解答】：①漏了一个解;4的平方根是，不能用作三角形全等的判定 由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。正确的命题只有一个。故选择D 【点评】：对相关概念的准确理解和记忆，熟悉相关图形的性质，是解题的关键。 12.如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于c，D两点，分别过c，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接cF，DE.有下列四个结论： ①△cEF与△DEF的面积相等; ②△AoB∽△FoE; ③△DcE≌△cDF; ④. 其中正确的结论是 A.①② B.①②③ c.①②③④D.②③④ 【解析】根据题意可求得D，c，则F，∴△DEF的面积是：，

代数几何综合题含答案

，即t DH=﹣﹣（ ，∴，即

，∴t= ，即BM= t=t （t ，∴，即CN=t t=10t t t t t t 化简得：t t= t=． t=秒或t=秒时， °， DE= ，

＜ DFE=，∴∠ == MN ，即MN= BD﹣ （x ﹣

NF= MN MN+x=MN MN= AB BF ×x ＜=（=﹣ y= y=﹣、

争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015 分析：（1）令y=0，解方程x 2 ﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C 点坐标； （2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标． 解：（1）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴当y=0时，x 2 ﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x=0，y=﹣3． ∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）； （2）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上， ∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况： ①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x=1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）； ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当y=4时，x 2 ﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+，x 2=1﹣ ， ∴M 点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）． 综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：存在． 如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1． 由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2． ∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y=x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y=x+n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y=x ﹣3．∵点P 2在抛物线y=x 2 ﹣x ﹣3上， ∴x 2 ﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形． 综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．