二次函数压轴题 2014中考数学试题分类汇编

2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题（含答案）

1. 【试题】（2014年湖北孝感第25题）如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线243y x x =-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上．

（1）请直接写出下列各点的坐标：

A ☆ ，

B ☆ ，

C ☆ ，

D ☆ ；

（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．

①当线段PH =2GH 时，求点P 的坐标；

②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，

求△KPH 面积的最大值．

【解答】

（1）A （0，3），B （4，3），C （4，－1），D （0，－1）．

（2）①设直线BD 的解析式为(0)y kx b k =+≠，由于直线BD 经过D （0，－1），B （4，3），

∴134b k b -=??=+?，解得11k b =??=-?

，∴直线BD 的解析式为1y x =-． 设点P 的坐标为2(,43)x x x -+，则点H (,1)x x -，点G (,3)x ．

1°当1x ≥且x ≠4时，点G 在PH 的延长线上，如图①．

∵PH ＝2GH ，∴[]2(1)(43)23(1)x x x x ---+=--，

∴27120x x -+=，解得13x =，24x =．

当24x =时，点P ，H ，G 重合于点B ，舍去．

∴3x =．∴此时点P 的坐标为(3,0)．

2°当01x <<时，点G 在PH 的反向延长线上，如图②,PH ＝2GH 不成立． 3°当0x <时，点G 在线段PH 上，如图③．

∵PH ＝2GH ，∴[]2(43)(1)23(1)x x x x -+--=--，

∴2340x x --=，解得11x =-，24x =（舍去），

∴1x =-．此时点P 的坐标为(1,8)-．

综上所述可知，点P 的坐标为(3,0)或(1,8)-．

②如图④，令2430x x -+=，得11x =，23x =，∴E (1,0)，F (3,0)，∴E F ＝2． ∴132

AEF EF OA s ?==． ∵KPH ?∽AEF ?，∴2KPH AEF PH EF s s ????= ???

， ∴22233(54)44

KPH PH x x s ?==-+- ． ∵41<

． 2. 【试题】（2014年湖南益阳市第20题）如图，直线33

y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．

（1）求a ，k 的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ?是以AB

为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标．

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以

,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形

的边长．

【解答】

(1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴(1,0)A ，(0,3)B .

又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ，

∴0,43;a k a k +=??+=?解得1,1.a k =??=-?

即a ，k 的值分别为1，1-

.

（2）设Q 点的坐标为(2,)m ，对称轴2x =交x 轴于点F ，过点B 作BE 垂直

于直线2x = 于点E .

在Rt AQF ?中，22221AQ AF QF m =+=+，

在Rt BQE ?中，22224(3)BQ BE EQ m =+=+-.

∵AQ BQ =，∴2214(3)m m +=+-，∴2m =.

∴Q 点的坐标为(2,2).

（3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直.所以AC 应为正方形的对角线.

又对称轴2x =是AC 的中垂线，所以，M 点与顶点(2,1)P -重合，N 点为

点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2,1).

此时，1MF NF AF CF ====，且AC MN ⊥，

∴ 四边形AMCN 为正方形.

在Rt

?

3. 【试题】（2014年广东梅州市第23题）已知抛物线y= 8x 2－ 34

x －3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C 。

（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD+MC 的值最小，并求出点M 的坐标；

（3）设点C 关于抛物线对称的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P

四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【解答】

（1）A (4，0) 、D (－2，0)、C (0，－3)

（2）连接AC ，与抛物线的对称轴交点M 即为所求，直线AC 的解析式y=34

x －3， 对称轴是直线x=－2+42=1，把x=1代入y=34x －3得y=－94

`∴M (1，－94

) （3）如下图，当点P 与D 重合时，四边形ADCB 是梯形，此时点P 为(－2，0)；

直线AB 的解析式为y=32

x －6，过点C 作CP 1//AB ，与抛物线交于点P 1，

直线CP 1的解析式为y=32x －3，联立y= 38x 2－ 34

x －3，可得P 1(6，6)

4. 【试题】（2014年山东泰安市第29题）二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC⊥x 轴，垂足为点C （﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；

（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．

【解答】

（1）由题设可知A （0，1），B （﹣3，）， 根据题意得：，解得：，

则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N （x ，﹣x 2﹣

x+1），则M 、P 点的坐标分别是（x ，﹣x+1），（x ，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x 2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x 2﹣

x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN 的最大值为

； （3）连接MN 、BN 、BM 与NC 互相垂直平分，

即四边形BCMN 是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC ，且BC=MC ， 即﹣x 2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，

故当N （﹣1，4）时，MN 和NC 互相垂直平分．

5. 【试题】（2014年呼和浩特市第25题）如图，已知直线l 的解析式为y = 12

x –1，抛物线y = ax 2＋bx ＋2经过点A （m ，0），B （2，0），D ? ??

??1，54 三点．

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任

意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

【解答】