初中数学函数三大专题复习

初中数学函数三大专题复习

目录

专题一一次函数和反比例函数 (1)

一、一次函数及其基本性质 (1)

1、正比例函数 (1)

2、一次函数 (1)

3、待定系数法求解函数的解析式 (2)

4、一次函数与方程、不等式结合 (3)

5、一次函数的基本应用问题 (5)

二、反比例函数及其基本性质 (7)

1、反比例函数的基本形式 (7)

2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8)

3、反比例函数的图像问题 (9)

4、反比例函数的基本应用 (11)

专题二二次函数 (13)

一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13)

1、二次函数的解析式及其求解 (13)

2、二次函数的基本图像 (14)

3、二次函数的增减性及其最值 (16)

4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16)

5、二次函数和不等式、方程的结合 (18)

二、二次函数的基本应用 (19)

1、二次函数求解最值问题 (19)

2、二次函数中的面积问题 (21)

3、涵洞桥梁隧道问题 (24)

4、二次函数和圆相结合 (26)

三、二次函数中的运动性问题 (27)

1、动点问题 (27)

2、折叠、旋转、平移问题 (33)

专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36)

1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36)

2、锐角三角函数的基本应用 (37)

专题一 一次函数和反比例函数

一、一次函数及其基本性质

1、正比例函数

形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。

（1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。

2、一次函数

形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。

随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0

D 、2

随堂练习：

1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ）

A 、第一、二、三象限

B 、第一、二、四象限

C 、第二、三、四象限

D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。

例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。

3、待定系数法求解函数的解析式

（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程。

（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程

、。

组，解方程，最终求出参数k b

=+的图象经过M(0，2)，(1，3)两点。

例题5：已知：一次函数y kx b

（1）求k、b的值；

=+的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值。

（2）若一次函数y kx b

随堂练习：

1、直线1y kx =-一定经过点（ ）。

A 、(1，0)

B 、(1，k )

C 、(0，k )

D 、(0，－1) 2、若点（m ，n ）在函数y =2x +1的图象上，则2m ﹣n 的值是（ ） A 、2 B 、-2 C 、1 D 、-1 3、一次函数24y x =-+的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A 、（0，4） B 、（4，0） C 、（2，0） D 、（0，2）

4、已知一次函数()0≠+=k b kx y 图象过点)2,0(，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4、一次函数与方程、不等式结合

（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察

（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。

例题1：已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为（ ）

A 、x <－1

B 、x > -1

C 、x >1

D 、x <1 随堂练习：

1、若直线42--=x y 与直线b x y +=4的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A 、84<<-b B 、04<<-b C 、4-b D 、84≤≤-b

2、结合正比例函数y =4x 的图像回答:当x >1时,y 的取值范围是( ) A 、y =1 B 、1≤y <4 C 、y=4 D 、y >4

例题2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与图象交于点M ，则点M 的坐标（ ） A 、（-1，4） B 、（-1，2） C 、（2，-1） D 、（2，1）

随堂练习：如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象l 1与y=k 2x+b 2的图象l 2相交于点P,则方程组?

??+=+=2211,

b x k y b x k y 的

解是（ ）

A 、???=-=3,2y x

B 、???-==2

,3y x C 、???==3,2y x D 、2

3x y =-??=-?

例题3：如图，直线y =kx +b 经过A （3,1）和B （6,0）两点，则不等式0＜kx +b ＜

x 3

1

的解集为________。

随堂练习：如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 。

5、一次函数的基本应用问题

例题1：如图,正方形ABCD 的边长为a ,动点P 从点A 出发,沿折线A →B 一D → C →A 的路径运动,回到点A 时运动停止.设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )

随堂练习：如图3，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5,4），AD =2.若动点F E 、同时从点O 出发，E 点沿折线DC AD OA →→运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度。设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）

例题2：某景区的旅游线路如图1所示，其中A 为入口，B ，C ，D 为风景点，E 为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km ）．甲游客以一定的速度沿线路“A →D →C →E →A ”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A 处时，共用去3h ．甲步行的路程s （km ）与游览时间t （h ）之间的部分函数图象如图2所示．

（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象； （2）求C ，E 两点间的路程；

（3）乙游客与甲同时从A 处出发，打算游完三个景点后回到A 处，两人相约先到者在A 处等候， 等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h ，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由。

随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A 、B 两厂，通过了解获得A 、B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/km t ?”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

（1）写出总运费y （元）与运往厂的煤炭量x （t ）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a 的代数式表示）

例题3：如图，直线y =kx -6经过点

A （4，0），直线y =-3x +3与x 轴交于点

B ，且两直线交于点

C 。 （1）求k 的值； （2）求△ABC 的面积。

（第2题）

图2

12图1

随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(0，b )(b >0)． P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P '（点P '不在y 轴上），连结PP '，P 'A ，P'C ．设点P 的横坐标为a ．

（1）当b ＝3时，①求直线AB 的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m )，求m 的值； （2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P'C 的交点为D ． 当P'D ：DC =1：3时，求a 的值；

（3）是否同时存在a ，b ，使△P'CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a ，b 的值；若不存在，请说明理由。.

二、反比例函数及其基本性质

1、反比例函数的基本形式

一般地，形如x

k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1

-

)0(<=

k x k y )0(>=k x

k

y

2、反比例函数中比例系数k 的几何意义

（1）过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

（2）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。 （3）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

例题1：点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线交双曲线1

y x

=于点Q ，连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）

A 、逐渐增大

B 、逐渐减小

C 、保持不变

D 、无法确定 例题2：如图，双曲线(0)k

y k x

=

>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。

随堂练习：

1、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数

221k k y x

++=的图象上。若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为

A 、1

B 、－3

C 、4

D 、1或－3

2、如图所示，在反比例函数2

(0)y x x

=

>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则

123S S S ++= 。

3、如图,直线l和双曲线

(0) k

y k

x

=>交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△B OD面积是S2、△P OE 面积是S3、则（）

A、S1＜S2＜S3

B、S1>S2>S3

C、S1=S2>S3

D、S1=S2

3、反比例函数的图像问题

（1）反比例函数的图像取决于比例系数。

（2）利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合

例题1：函数y ax a

=-+与(0)

a

y a

x

-

=≠在同一坐标系中的图象可能是（如图所示）

随堂练习：一次函数)0

(≠

+

=m

m

x

y与反比例函数

x

m

y=的图像在同一平面直角坐标系中是（）例题2：如图，正比例函数

1

2

y x

=的图象与反比例函数

k

y

x

=(0)

k≠在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM

?的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA PB

+最小.

x

y

O

A

B C

D

随堂练习：如图，直线y =2x ﹣6与反比例函数()k

y=x 0x

>的图象交于点A （4，2）

，与x 轴交于点B ． （1）求k 的值及点B 的坐标；

（2）在x 轴上是否存在点C ，使得AC =AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

例题3：已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2

x 的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2

时，x 的取值范围是( )．

A 、x ＞2

B 、－1＜x ＜0

C 、x ＞2，－1＜x ＜0

D 、x ＜2，x ＞0

随堂练习：

1、如图，反比例函数y 1=k 1x 和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1

x ＞k 2x ，则

x 的取值范围是

A 、-1＜x ＜0

B 、-1＜x ＜1

C 、x ＜-1或0＜x ＜1

D 、-1＜x ＜0或x ＞1

2、点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y

=

-3

x的图象上，

若x1

A、y3

B、y1

C、y3

D、y2

3、如图，一次函数y

1

=ax+b（a≠0）与反比例函数y

2

=()0≠k

x

k

的图象交于A（1,4）、B（4,1）两点，若

y

1

＞y

2

，则x的取值范围是

4、反比例函数的基本应用

例题1：如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知(2,0)

A-、(6,0)

B、(0,3)

D，反比例函数的图象经过点C．

（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．

随堂练习：已知一次函数m

x

y+

=

1

的图象与反比例函数

x

y

6

2

=的图象交于A、B两点，.已知当1

>

x时，2

1

y

y>；当1

0<

2

1

y

y<.

x

y

C

B

A

O

（1）求一次函数的解析式；

（2）已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积。

例题2：如图，点A 在双曲线y ＝

x

k

的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．

随堂练习：如图，M 为双曲线3

y x

=

上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y x m =-+于D 、C 两点，若直线y x m =-+与y 轴交与点A ，与x 轴交与点B ，则A D ·BC 的值为 。

专题二 二次函数

一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用

1、二次函数的解析式及其求解

一般的，形如),0(2

是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，

c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2

。已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式

()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。 （1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程

（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。 （4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2

过点（3,4），求函数

c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.

（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。 随堂练习：

1、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式

2、已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的

解析式

3、已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

4、已知函数的c bx ax y ++=2过点(1,3),且函数的对应方程的根是2和4，求方程132=++c bx ax 的解

5、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）

A 、1x =

B 、1x =-

C 、3x =-

D 、3x =

2、二次函数的基本图像

（1）二次函数2

y ax =的图像：一般地，抛物线2

y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点。当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

（2）二次函数2

()y a x h k =-+的图像：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；对称轴是直线x =h ；顶点坐标是（h ，k ）。

（3）二次函数2()y a x h k =-+与2y ax =图像的关系：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2

y ax =形状相同，位置不同。把抛物线2

y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2

()y a x h k =-+。平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。

（4）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像：一般地，我们可以用配方法求抛物线

2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点与对称轴。a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

2-+??? ?

?

+=++=，因此，抛物线

2

(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2b

x a

=-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a --。 例题1：把抛物线y =3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A 、y =3(x +3)2－2

B 、y =3(x +3)2+2

C 、y =3(x －3)2－2

D 、.y =3(x －3)2+2

例题2：已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，那么函数解析式为（ ）

A 、y =－x 2+2x +3

B 、y =x 2－2x －3

C 、y =－x 2－2x+3

D 、y =－x 2－2x －3

例题3：已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A 、(－2,1) B 、(2，1) C 、(2，－1) D 、(1，2)

随堂练习：

1、在同一平面直角坐标系内，将函数1422

++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）

A 、（1-，1）

B 、（1，2-）

C 、（2，2-）

D 、（1，1-）

2、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A 、2

3(2)3y x =++ B 、2

3(2)3y x =-+ C 、2

3(2)3y x =+- D 、2

3(2)3y x =-- 3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=c bx

x ++-

2

3

2的图像经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图像探索：当y >0时x 的取值范围。

例题4：关于x 的二次函数

y =x 2－2mx +m 2和一次函数y =－mx +n （m ≠0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）

随堂练习：

1、二次函数2

()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）

A 、第一、二、三象限

B 、第一、二、四象限

C 、第二、三、四象限

D 、第一、三、四象限 2、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

B 、

C 、

D 、

1

1

1

1

x

o y

y

o x y

o x

x

o

y

3、二次函数的增减性及其最值

（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增

大；在对称轴处取到最小值2

44ac b a

-，越靠近对称轴，函数值越小。

（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减

小；在对称轴处取到最大值2

44ac b a

-，越靠近对称轴，函数值越大。

例题1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（

）

A 、21y y <

B 、21y y =

C 、21y y >

D 、不能确定

例题2：设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2

(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）

A 、123y y y >>

B 、132y y y >>

C 、321y y y >>

D 、213y y y >> 随堂练习：已知二次函数y ＝－

12x 2－7x ＋15

2

，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A 、y 1＞y 2＞y 3

B 、 y 1＜y 2＜y 3

C 、y 2＞y 3＞y 1

D 、 y 2＜y 3＜y 1

4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

b

x 2-

=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧；③0

b

(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧。

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点(0，c )：

①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

0

b

。 例题1：已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：

20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

例题2：已知二次函数

的图象如图所示，有下列结论：①

；②abc ＞0；

③8a +c ＞0；④9a +3b +c ＜0。其中，正确结论的个数是( )。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 随堂练习： 1、已知二次函数

(其中

，

，

)，关于这个二次函数的图象有如下

说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。以上说法正确的有( )．

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个 2、已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为2

1

-

=x 。下列结论中，正确的是（ ） A 、abc >0 B 、a +b =0 C 、2b+c >0 D 、4a 十c <2b 3、已知二次函数

的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b

中，其值大于0的个数为( )

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

5、二次函数和不等式、方程的结合

（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断2

=4b ac ?-的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中122b x a

-±?

=

、。 （2）二次函数和不等式的结合：在x 轴上方，则函数大于零；在x 轴下方，则函数小于零；在直线上方，说明2

ax bx c kx m ++>+；在直线下方，则说明2

ax bx c kx m ++<+。

例题1：如图，已知抛物线y 1=－2x 2＋2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2。例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0。下列判断：

①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；

④使得M =1的x 值是 或 .

)

B 、①④

C 、②③

D 、③④

例题2：二次函数2

y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2

0ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值

为（ ）

A 、-3

B 、3

C 、-5

D 、9

例题3：设二次函数c bx x y ++=2

，当1≤x 时，总有0≥y ；当31≤≤x 时，总有0≤y 。那么c 的取值范围是

A 、3=c

B 、3≥c

C 、31≤≤c

D 、3≤c

x y

O y 2

y 1 21-

22

随堂练习：

1、如图是二次函数2

y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是 A 、15x -<<

B 、5x >

C 、15x x <->且

D 、15x x <->或

2、如图所示是二次函数2

y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是 。 3、对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次

函数

(m 为实数)的零点的个数是( )

A 、1

B 、2

C 、0

D 、不能确定

二、二次函数的基本应用

1、二次函数求解最值问题

例题1：某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；

（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为

12)8(8

1

2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？

并求最大利润为多少？

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)

二次函数总复习经典练习题 1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( ) (A) 没有交点．(B) 只有一个交点． (C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点． 2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( ) (A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ． 3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ． 2 4．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( ) (A) 没有交点． (B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴． (C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴． (D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴． 5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a (A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3． b 6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( ) 7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ． 2 8．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ． 9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ． 10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：

(完整word版)初三数学函数专项练习题及答案

初三数学函数专项练习题及答案 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．函数y ＝x ＋2中，自变量x 的取值范围是 (A ) A ．x ≥－2 B ．x <－2 C ．x ≥0 D ．x ≠－2 2．已知函数y ＝?????2x ＋1（x≥0）， 4x （x ＜0）， 当x ＝2时，函数值y 为(A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点A (2，y 1)，B (4，y 2)都在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上，则y 1，y 2的大小关系为(B ) A ．y 1>y 2 B ．y 1

初中数学函数三大专题复习

初中数学函数三大专题复习 目录 专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (5) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37)

专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。

初中数学函数练习题(大集合)汇编

（1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数22)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x =≠）的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3 时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数22 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于12 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x = 在同一坐标系内的图象大致是（ ） (10)、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x =的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． 11、已知函数12y y y =-，其中1x y 与成正比例,22x y -与成反比例,且当1,1;3,5.2, x y x y x y =====时当时求当时的值 12、（8分）已知,正比例函数y ax =图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数k y x = 在每一象限内y x 随的增大而减小,一次函数24y x k a k =-++过点()2,4-. （1）求a 的值. （2）求一次函数和反比例函数的解析式. x y O x y O x y O x y O A B C D y x O A C B

中考数学专题训练函数综合题人教版

中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四）

5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3

初中数学函数知识点归纳(1)

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，

点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|= 2 12212)()(y y x x -+- 9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2 1 2y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。

初中数学 函数专题练习及答案

对称轴、顶点、平移： 1.抛物线()2 13y x =--+的顶点坐标为 ． 2.抛物线2 1y x =-的顶点坐标是（ ） A ．(01)， B ．(01)-， C ．(10)， D ．(1 0)-， 3.抛物线2 26y x x c =++与x 轴的一个交点为(10)，，则这个抛物线 的顶点坐标是 ． 4.二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B . 2 C. 1- D. 1 5.已知二次函数2 2 2y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值为________． 6.抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D . 1=x 7.将抛物2 (1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ． 8.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A . 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 图像交点、判别式： 9..已知抛物线2 (1)(2)y x m x m =+-+-与x 轴相交于A B ，两点，且线段2AB =，则m 的值为 ． 10.已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 ． 11.若抛物线2 2y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 12.已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A . 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A

° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A

x

(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22

初中数学函数基础知识专项训练及答案

初中数学函数基础知识专项训练及答案 一、选择题 1．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +????=-????????（k 是正整数）．例：3133144()f ????+=-=???????? ．则下列结论正确的个数是（ ） （1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）() 0f k =或1． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中所给的定义，依次作出判断即可． 【详解】 解：111(1)00044f +????=-=-=???????? ，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++????????????+=-=+-+=-=???????????????????????? ，正确； 当k=3时，414(31)11044f +????+=-=-=???????? ，而(3)1f =，错误； 当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确； 正确的有3个， 故选：C ． 【点睛】 本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键． 2．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确． 故选D ． 3．如图所示，菱形ABCD 中，直线l ⊥边AB ，并从点A 出发向右平移，设直线l 在菱形

中考数学专题练习函数含答案

中考数学专题练习函数含 答案 The document was prepared on January 2, 2021

《函数》 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2．线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （﹣1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （﹣3，1）的对应点F 的坐标为( ) A ．（﹣8，﹣2） B ．（﹣2，﹣2） C ．（2，4） D ．（﹣6，﹣1） 3.函数1 x y x = +中的自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．1x ≠- C ．0x > D ．x ≥0且1x ≠- 4. 若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ） B.－2 D. －1

5. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限 C ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4） D ．函数的图象向下平移4个单位长度，可以得到2y x =-的图象 6. 对于函数x y 6 = ，下列说法错误的是 （ ） A. 图像分布在一、三象限 B. 图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大 D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小 7. 关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为(1，2-) B ．对称轴是直线1x = C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小

8. 设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数x k y = 图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 ． 10.在平面直角坐标系中，与点M （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 . 11.一次函数62+=x y 的图象与x 的交点坐标是 . 12．反比函数k y x =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 13．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 . 14.小明放学后步行回家，如果他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图，他步行回家的平均速度是 米/分钟． 15.如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x =≠的图象上一点，AB y ⊥轴于 B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为 .

初中数学函数图像专题

中考专项复习三（函数及其图象） 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（ ）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（ ） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（ ） Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙： 函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x

中考数学专题训练 函数基础训练题

中考数学专题训练函数基础训练题(1) 1.函数y= x - 3 1 的自变量x的取值范围是；函数y=1 + x的自变量x的取值范 围是；抛物线y x =-+ 312 2 ()的顶点坐标是____________； 2.抛物线y＝3x2-1的顶点坐标为对称轴是； 3.设有反比例函数y k x = +1 ，(,) x y 11 、(,) x y 22 为其图象上的两点，若x x 12 <<时， y y 12 >，则k的取值范围是___________； 4.如果函数x x x f- + =15 ) (，那么= ) 12 (f________. 5.已知实数m满足m2－m－2=0，当m=_______，函数y=x m+（m+1）x+m+1的图象与x 轴无交点。 6.函数 3 1 - - = x x y的定义域是___________.若直线y=2x+b过点（2，1），则b= ； 7.如果反比例函数的图象经过点)3 ,2(- A，那么这个函数的解析式为___________. 8.已知m为方程x2＋x-6＝0的根，那么对于一次函数y＝mx＋m：①图象一定经过一、 二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一 定经过点（－l，0）；⑤y一定随着x的增大而增大；⑤y一定随着x的增大而减小。以 上六个判断中，正确结论的序号是（多填、少填均不得分） 9.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4； 乙：与X轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与Y轴交点的纵坐标也都是整数，且以 这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析 式：； 10.已知二次函数()0 2 1 ≠ + + =a c bx ax y与一次函 ()0 2 ≠ + =k m kx y的图象相交于点A（-2，4），B（8，2） （如图所示），则能使 1 y＞ 2 y成立的x的取值范围 是. 11.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 12.二次函数y=x2－2x+3的最小值为（）A、4 B、2 C、1 D、－1 13.有意义，则x的取值范围是( ) （A）x≤3 （B）x≠3 （C）x＞3 （D）x≥3 14.二次函数y＝x2＋10x－5的最小值为( ) （A）－35 （B）－30（C）－5 （D）20 15.已知甲，乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg) 之间的函数解析式分别为y=k1x＋a1和y＝k2x＋a2, 图 象如右，设所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1 , 乙弹簧长为y2则y1与y2的大小关系为( ) （A）y l＞y2（B）y1＝y2（C）y1＜y2(D)不能确定 16.函数y= 4 1 - x 中自变量x的取值范围是（） A．x4 - ≤ B. 4 - ≥ X C. x>-4 D. 4 - ≠ x 17.点P（－1，3）关于y轴对称的点是（） A. (－1，－3) B. （1，－3） C. （1，3） D. （－3，1） 18.函数y＝ 2 1 － x 中，自变量x的取值范围是（） A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. x≠－2 19.抛物线y＝x2－2x－1的顶点坐标是（） A.（1，－1） B.（－1，2） C.（－1，－2） D.（1，－2） 20.抛物线6 3 2- - =x x y的对称轴是直线（） 2 3 ) (= x A 2 3 ) (- = x B3 ) (= x C3 ) (- = x D 21.给出下列函数：(1)y=2x; (2)y=-2x+1; (3)y= x 2 (x>0) (4)y=x2(x<-1)其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A、（1）、（2）. B、（1）、（3）. C、(2)、(4). D 、（2）、（3）、（4） 22.如图，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图 象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快 者的速度比慢者的速度每秒快（） 23.A 2.5米Ｂ２米Ｃ１.5米 D 1米 24.当K＜0时，反比例函数y＝ x k 和一次函数y＝kx＋2的图象在致是图中的（）

初中数学所有函数的知识点总结

课题 §3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数 教学目标 1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 2、会用待定系数法确定函数的解析式 教学重点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学难点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学方法 讲练结合法 教学过程 （I）知识要点 （见下表：）

注：二次函数))((44)2(2 22 n x m x a a b a c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴a b x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解 例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3） （3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22 ，且抛物线过点（1，7）。 解：（1）设)0(2 ≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为 ?????-==-=?????-=++=++=++2 41 24162 241c b a c b a c b a c b a 解得 242-+-=∴x x y （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2 =--a ，得 2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y （3）∵抛物线对称轴为2=x ； ∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，+--B A ∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=- +++=，将（1，7） 代入方程可得1=a ∴所求二次函数为242 ++=x x y ， 例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0 解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2 ≠++=a c bx ax y 将三点坐标分别代入，可得方程组为： ?????=++-=+--=0 41658 c b a c b a c 解得?????-=-=-=821c b a 9)1(8222--=--=∴x x x y ∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x 又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，-∞

2020年中考数学函数专题训练(含答案)

2020年中考数学函数专题训练 【名师精选全国真题，值得下载练习】 1. 如图，已知A 、B 是反比例面数k y x = (k>0,x>0)图象上的两点，BC ∥x 轴,交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图 中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形0MPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为 【答案】A 2.坐标平面上，二次函数 362+-=x x y 的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？ A ． x ＝50 B ． x ＝－50 C ． y ＝50 D ． y ＝－50 【答案】Ｄ 3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米

【答案】D 4. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m 【答案】C 5. 一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式： 61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 【答案】C 二、填空题 1. 出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大. 【答案】4 2. 如图，已知函数x y 3-=与bx ax y +=2（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐

初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析)

初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析) 定点题型 定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因， 先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标. 解题思路： 这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变 量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简 消去变量即得定值。 一、直线过定点问题： 解法1：取特殊值法 给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点， 然后再将此点代入原方程验证即可。 例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。 解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得： （m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0 成立，所以该定点P为（1，-1）。 解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了 它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。 例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。 证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k 取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。 解法3：方程思想 若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方 程，然后利用系数为零求得。 例3：若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。 解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0 无论a，b为何值上式均成立，所以a，b 的系数同时为0，所以过定点（10，15）。 解法4：直线系观点 过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。 例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。 解：原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点 ．

中考数学专题训练函数基础训练题

中考数学专题训练 函数基础训练题2 1. 若抛物线y=x 2-6x+c 的顶点在x 轴上,则c 的值是 ( ) A. 9 B. 3 C.-9 D. 0 2. 已知一次函数y=k 1 x+b,y 随x 的增大而减小,且b>0,反比例函数,y=x k 2 中的k 2与k 1值相等,则它们 在同一坐标系中的图像只可能是 ( ) 3. 函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞-2 （B ）x ≥-2 （C ）x ＜-2 （D ）x ≤-2 4. 已知照明电压为220（V ）， 则通过电路中电阻R 的电流强度I （A ）与电阻R （Ω）的大小关系用图象表示大致是 （ ） 5. 已知甲，乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间 的函数解析式分别为y=k 1x ＋a 1和y ＝k 2x ＋a 2, 图象如右，设所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1 ,乙弹簧长为y 2则y 1与y 2的大小关系为( ) （A ）y l ＞ y 2 （B ）y 1＝y 2 （C ）y 1＜ y 2 (D)不能确定 6. 已知抛物线的解析式为()3142 +-=x y ，则这条抛物线的 顶点坐标是 . 7. 已知实数m 满足m 2－m －2=0，当m=___ ____，函数y=x m +（m+1）x+m+1的图象与x 轴无交点； 8. 已知m 为方程x 2＋x-6＝0的根，那么对于一次函数y ＝mx ＋m ：①图象一定经过一、二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一定经过点（－l ，0）；⑤y 一定随着x 的增大而增大；⑤y 一定随着x 的增大而减小。以上六个判断中，正确结论的序号是 （多填、少填均不得分） 9.函数y ＝4 1 -x 中自变量x 的取值范围是＿＿＿＿＿。 10．已知二次函数()021≠++=a c bx ax y 与一次函数()02≠+=k m kx y 的图象相交于点A （-2，4）， B （8，2）（如图所示），则能使1y ＞2y 成立的x 的取值范围是 . 11.对于反比例函数x y 2 - =与二次函数32+-=x y ，请说出它们的两个相同点 ① ，② ； 再说出它们的两个不同点① ，② . 12．函数23-= x y 的自变量x 的取值范围是 ； 13．如果反比例函数的图象经过点)3,2(-A ，那么这个函数的解析式为___________. 14．为了增强公民的节水意识，某制定了如下用水收费标准：每户每月的用水超过10吨时，水价为每 吨元，超过10吨时，超过的部分按每吨元收费，该市某户居民5月份用水x 吨（x ＞10），应交水费y 元，则y 关于x 的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿； 15．双曲线x k y = 经过点（-2，3），则k =_________； 16.已知二次函数2 2 24m mx x y +--=与反比例函数x m y 4 2+= 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m 的值是__________。 17.已知一次函数b kx y +=在3=x 时的值为5，在4-=x 时的值为9-，求这个一次函数的解析式。 18.已知一抛物线与x 轴的交点是A （-1，0）、B （m ，0）且经过第四象限的点C （1，n ），而m+n=-1，mn=-12，求此抛物线的解析式； 19.已知抛物线y=(m-1)x 2+mx+m 2-4的图象过原点,且开口向上, (1)求m 的值,并写出函数解析式; (2)写 出函数图象的顶点坐标及对称轴；