【试卷】高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2015-2016学年重庆市垫江高二上期末数学复习试卷（一）

文科

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．8πB．6πC．4πD．2π

2．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

4．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）

A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2

5．已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3 B．b=a3+

C．（b﹣a3）（b﹣a3﹣）=0 D．|b﹣a3|+|b﹣a3﹣|=0

6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A．18+2B．24+2C．24+4D．36+4

8．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的

倾斜角的取值范围是（）

A．（0，] B．（0，]C．[0，]D．[0，]

9．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）

A．B．C．D．

10．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）

A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]

11．已知函数f（x）满足f（π+x）=f（π﹣x），且当x∈（0，π）时f（x）=x+cosx，则f（2），f（3），f（4）的大小关系是（）

A．f（2）＜f（3）＜f（4）B．f（2）＜f（4）＜f（3）

C．f（4）＜f（3）＜f（2）D．f（3）＜f（4）＜f（2）

12．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=51，L=20，则S= （用数值作答）．（）

A．3，1，6；60 B．3，1，6；70

C．3，2，5；60 D．3，2，5；70

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若直线与直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数

m=．

14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．

15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的

中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．

16．观察下列等式：

（1+1）=2×1

（2+1）（2+2）=22×1×3

（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5

…

照此规律，第n个等式可为．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，求实数a的取值范围；

（2）设p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

18．已知O为坐标原点，点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点．

（1）求线段AB的最短长度；

（2）若线段AB的中点为M，求M的轨迹方程．

19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

20．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其

中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．

（Ⅰ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（Ⅱ）证明：对任意k，都有PA⊥PB．

22．已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．

（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

县高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．8πB．6πC．4πD．2π

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．

【分析】所得几何体是以底面半径1，高为1的圆柱，由此能求出所得几何体的侧面积．

【解答】解：将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，

所得几何体是以底面半径1，高为1的圆柱，

∴所得几何体的侧面积S=2π×1=2π．

故选：D．

【点评】本题考查几何体的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

2．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．

【分析】利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．

【解答】解：（1）充分性：

当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；

（2）必要性：

当直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：

a?2=2?1，即：a=1．

∴“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．

故选C．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；

根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；

根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；

根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．

【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；

若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；

若l⊥α，l∥β，则存在直线m?β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；

若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；

故选B

【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．

4．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）

A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；导数的概念及应用．

【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，求出a和b．

【解答】解：∵y=x2+ax+b，

∴y′=2x+a，

∵y′|x=1=2+a，

∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），

∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，

∴a=﹣1，b=2．

故选B．

【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．

5．已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3B．b=a3+

C．（b﹣a3）（b﹣a3﹣）=0 D．|b﹣a3|+|b﹣a3﹣|=0

【考点】平面向量的坐标运算．

【专题】分类讨论；平面向量及应用．

【分析】根据△OAB为直角三角形，讨论是OA⊥OB？还是OA⊥AB？OB⊥AB？

再利用平面向量的数量积，求出a、b的关系即可．

【解答】解：∵点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），

且△OAB为直角三角形，

∴当OA⊥OB时，=（0，b），=（a，a3），

∴?=ba3=0，∴b=0或a=0，此时不成立；

当OA⊥AB时，=（0，b），=（a，a3﹣b），

∴?=b（a3﹣b）=0，∴b≠0且a3﹣b=0；

当OB⊥AB时，=（a，a3﹣b），=（a，a3），

∴?=a2+a3（a3﹣b）=0，∴a≠0且+a3﹣b=0；

综上，a3﹣b=0或+a3﹣b=0，

即（b﹣a3）（b﹣a3﹣）=0．

故选：C．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【考点】双曲线的标准方程．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，

可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．

【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，

令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，

∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，

∴=2，

∵c2=a2+b2，

∴a2=5，b2=20，

∴双曲线的方程为﹣=1．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A．18+2B．24+2C．24+4D．36+4

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为=，代入棱柱的表面

积公式计算．

【解答】解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，

底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为=，

∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．

故选：C．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．

8．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得

≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．

【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，

则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，

即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，

故选：D．

【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

9．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）

A．B． C． D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质．

【专题】计算题；综合题；压轴题．

【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．

【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，

则有，

当直径通过AB与CD的中点时，，故．

故选B．

【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．

10．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）

A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]

【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．

【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），

即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即

解得或，

因为是下半圆故可知（舍），故

当直线过（0，3）时，解得b=3，

故，

故选D．

【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．

11．已知函数f（x）满足f（π+x）=f（π﹣x），且当x∈（0，π）时f（x）=x+cosx，则f（2），f（3），f（4）的大小关系是（）

A．f（2）＜f（3）＜f（4）B．f（2）＜f（4）＜f（3）C．f（4）＜f（3）＜f（2）D．f（3）＜f（4）＜f（2）

【考点】函数单调性的性质；不等关系与不等式．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用导数可判断f（x）在（0，π）上的单调性，由f（π+x）=f（π﹣x），可得f（4）=f（2π﹣4），借助单调性即可判断它们的大小关系．

【解答】解：当x∈（0，π）时，f′（x）=1﹣sinx≥0，

所以f（x）在（0，π）上单调递增，

由f（π+x）=f（π﹣x），得f（4）=f（π+（4﹣π））=f（2π﹣4），

而0＜2＜2π﹣4＜3＜π，

所以f（2）＜f（2π﹣4）＜f（3），即f（2）＜f（4）＜f（3）．

故选B．

【点评】本题考查函数的单调性及函数值的大小比较，属中档题，解决本题关键是把自变量的值转化到同一单调区间处理．

12．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=51，L=20，则S= （用数值作答）．（）

A．3，1，6；60 B．3，1，6；70 C．3，2，5；60 D．3，2，5；70

【考点】进行简单的合情推理．

【专题】计算题；对应思想；综合法；推理和证明．

【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；

（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S．

【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；

（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6

∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，

∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得

∴，∴S=N+L﹣1

将N=51，L=20代入可得S=60．

故选：A．

【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若直线与直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【专题】直线与圆．

【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．

【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为

直线2x+my﹣6=0的斜率为

∵两直线垂直

∴

解得m=1

故答案为：1

【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．

14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．

【考点】抛物线的应用．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．

【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，

将A（2，﹣2）代入x2=my，

得m=﹣2

∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，

故水面宽为2m．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．

15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题．

【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线

A1M与DN所成的角．

【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，

则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）

?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，

故答案为：90°．

【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．

16．观察下列等式：

（1+1）=2×1

（2+1）（2+2）=22×1×3

（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5

…

照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…?（2n﹣1）．

【考点】归纳推理．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．

【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：

（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），

每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，

由此可知第n个等式的右边为2n?1?3?5…（2n﹣1）．

所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．

故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．

【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，求实数a的取值范围；

（2）设p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．

【分析】（1）根据特称命题为假命题，转化为命题的否定为真命题，利用判别式△进行求解即可．（2）根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题p和q，再根据￢p是￢q的必要而不充分条件，可以推出p?q，再根据子集的性质进行求解；

【解答】解：（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，

即命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，

则判别式△=9a2﹣4×2×9≤0，

则a2≤8，

即﹣2≤a≤2，

即实数a的取值范围是[﹣2，2]．

（2）∵p：|4x﹣3|≤1；p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得≤x≤1，

由x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0得m≤x≤m+1，

若￢p是￢q的必要而不充分条件，

则￢q?￢p，￢p推不出￢q，可得p?q，q推不出p，

∴解得0≤m≤，验证m=0和m=满足题意，

∴实数m的取值范围为：m∈[0，]．

【点评】本题考查充分条件必要条件的应用以及命题真假性的判断和应用，本题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件，及集合间的包含关系，有一定的综合性．

18．已知O为坐标原点，点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B

两点．

（1）求线段AB的最短长度；

（2）若线段AB的中点为M，求M的轨迹方程．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．

【分析】（1）当弦AB长度最短时，AB⊥MC，即可求弦AB的长度；

（2）由题设知?=0，即可求M的轨迹方程．

【解答】解：（1）圆C的方程可化为x2+（y﹣4）2=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．

当AB⊥MC时弦AB最短，此时AB=4；

（2）设M（x，y），则=（x﹣4，y），=（2﹣x，2﹣y），

由题设知?=0，

故（x﹣4）（2﹣x）+y（2﹣y）=0，

即（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．

【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．

19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】综合题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．

（I）由AB⊥平面PAD得平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质推出PH⊥平面ABCD；【分析】

（II）由AB⊥平面PAD，AB∥CD得CD⊥平面PAD，故AD⊥CD，因为E是PB中点，故E到平面BCF的距离为PH的一半，代入体积公式计算出棱锥的体积．

【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊥AD，PH?平面PAD，

∴PH⊥平面ABCD．

（II）∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，

∴CD⊥平面PAD，∵AD?平面PAD，

∴CD⊥AD，

∴S△BCF==，

∵E是PB的中点，PH⊥平面ABCD，

∴E到平面ABCD的距离h==，

∴V棱锥E﹣BCF=S△BCF?h==．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

20．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【专题】压轴题；导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；

（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，

∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，

∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4

∴f（0）=4，f′（0）=4

∴b=4，a+b=8

∴a=4，b=4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），

令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2

∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0

∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）

当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其

中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．

（Ⅰ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（Ⅱ）证明：对任意k，都有PA⊥PB．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】计算题；转化思想；参数法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）由题意，联立方程，从而解出点的坐标，从而求出直线方程即距离；（Ⅱ）利用参数法设P（2sinα，cosα）（0＜α＜），A（﹣2sinα，﹣cosα），C（2sinα，0），B（2sinβ，cosβ）（0＜β＜），从而利用向量法表示=（4sinα，cosα），=（2sinβ﹣2sinα，

cosβ），=（4sinα，2cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ﹣cosα），从而利用平面向量

及三角函数恒等变换化简即可．

【解答】解：（Ⅰ）当k=2时，直线PA的方程为y=2x，

，

解得，或；

故A（﹣，﹣），P（，），C（，0）；

故直线AB的斜率k==1，

故直线AB的方程为y=x﹣，

故点P到直线AB的距离d==．

（Ⅱ）证明：由题意，设P（2sinα，cosα）（0＜α＜），

则A（﹣2sinα，﹣cosα），C（2sinα，0），设B（2sinβ，cosβ）（0＜β＜），

∴=（4sinα，cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ），

∵A、C、B三点共线，

∴4sinα?cosβ﹣cosα（2sinβ﹣2sinα）=0，

即2sinαcosβ﹣cosαsinβ=sinαcosα，①

∵=（4sinα，2cosα），=（2sinβ﹣2sinα，cosβ﹣cosα），

∴?=4sinα?（2sinβ﹣2sinα）+2cosα（cosβ﹣cosα），

=4（2sinαsinβ﹣2sin2α+cosαcosβ﹣cos2α），

令2sinαsinβ﹣2sin2α+cosαcosβ﹣cos2α=t，

则2sinαsinβ+cosαcosβ=1+t+sin2α，②

①2+②2得，

（2sinαcosβ﹣cosαsinβ）2+（2sinαsinβ+cosαcosβ）2=（sinαcosα）2+（1+t+sin2α）2，

即4sin2αcos2β+cos2αsin2β+4sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，即4sin2α+cos2α=sin2αcos2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，

即3sin2α+1=sin2α（1﹣sin2α）+（1+t）2+2（1+t）sin2α+sin4α，

即3sin2α+1=sin2α+（1+t）2+2（1+t）sin2α，

即2tsin2α+（1+t）2=1，

故t=0或t=﹣2sin2α﹣2，

当t=﹣2sin2α﹣2时，?=4（﹣2sin2α﹣2），

此时A与B点重合，故不成立；

故?=4t=0，

故PA⊥PB．

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用，同时考查了平面向量的应用及三角函数的化简应用及转化的思想应用．

22．已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．

（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可；

（2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．

【解答】解：（1）设生产x件产品的平均成本为y元，则

（2分）（3分）

令y'=0，得x1=1000，x2=﹣1000（舍去）（4分）

当x∈（0，1000）时，y取得极小值．

由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，

因此要使平均成本最低，应生产1000件产品（6分）

（2）利润函数（8分）

（9分）

令L'（x）=0，得x=6000（10分）

当x∈（0，6000）时，L'（x）＞0

当x∈（6000，+∞）时，L'（x）＜0∴x=6000时，L（x）取得极大值，即函数在该点取得最大值，因此要使利润最大，应生产6000件产品（12分）

【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．