2014年普通高等学校招生全国统一考试_大纲全国_数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

大纲全国文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2014大纲全国，文1)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()．

A．2 B．3 C．5 D．7

答案：B

解析：∵M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，

∴M∩N＝{1,2,6}，

∴M∩N中元素的个数为3，故选B.

2．(2014大纲全国，文2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()．

A．4

5

B．

3

5

C．

3

5

-D．

4

5

-

答案：D

解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O的距离为r

，则5

r==，

∴由余弦函数的定义，得

4

cos

5

x

r

α==-，故选D.

3．(2014大纲全国，文3)不等式组

(2)0

1

x x

x

>

??

?

<

??

+，

的解集为()．

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}

答案：C

解析：

(2)0

1,

x x

x

>

??

?

<

??

+，①

②

由①得，x＜－2或x＞0，

由②得，－1＜x＜1，

因此原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.

4．(2014大纲全国，文4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()．

A．1

6

B

．

6

C．

1

3

D

．

3

答案：B

解析：如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF

.

由题知，△ABC ，△ADC 为正三角形，设AB ＝2，则C E C F ==1

12

EF BD ==. ∴在△CEF 中，由余弦定理，得

222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==

?＝，故选B.

5．(2014大纲全国，文5)函数1)(1)y x =>-的反函数是( )．

A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1)

B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)

C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R )

D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R ) 答案：D

解析：由1)y =，得e 1y

1y

-，x ＝(e y －1)3， ∴f －

1(x )＝(e x －1)3.

∵x ＞－1，∴y ∈R ，即反函数的定义域为R . ∴反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R )，故选D.

6．(2014大纲全国，文6)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B

解析：由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，

∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2

＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2 ＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.

7．(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种 答案：C

解析：从6名男医生中选出2名有2

6C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，

故共有21

6565

C C 57521

??=

?=?种选法，选C. 8．(2014大纲全国，文8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )． A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案：C

解析：∵S 2＝3，S 4＝15，∴由等比数列前n 项和的性质，得 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，

即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63，故选C.

9．(2014大纲全国，文9)已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，

过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为则C 的方程为( )．

A ．22=132x y +

B ．2

2=13x y + C ．

22=1128x y + D ．22

=1124

x y + 答案：A

解析：∵2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的离心率为3

，

∴

c a =

，∴::a b c =又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，

△AF 1B 的周长为

∴4a =，∴a =

∴b =22

=132

x y +，选A. 10．(2014大纲全国，文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面

边长为2，则该球的表面积为( )．

A ．

81π4 B ．16π C ．9π D ．27π

4

答案：A

解析：由图知，R 2＝(4－R )2＋2，

∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴94

R =， ∴2

8181

4π4ππ164

S R ?

=表==，选A. 11．(2014大纲全国，文11)双曲线C ：22

22=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到

C 的焦距等于( )．

A ．2

B ．

C ．4

D ．答案：C

解析：∵e ＝2，∴

2c

a

=.

设焦点F 2(c,0)到渐近线b

y x a

= 渐近线方程为bx －ay ＝0，

=

∵c2＝a2＋b2

，∴b=

由2

c

a

=

2

=，∴

2

2

4

3

c

c

=

-

，

解得c＝2.∴焦距2c＝4，故选C.

12．(2014大纲全国，文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()．

A．－2 B．－1 C．0 D．1

答案：D

解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，

∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.

∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．

∴f[(x＋2)＋2]＝f(－x－2＋2)＝f(－x)＝－f(x)，

即f(x＋4)＝－f(x)．

∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)

＝－(－f(x))＝f(x)．

∴f(x)是以8为周期的周期函数，

∴f(8)＝f(0)＝0，

f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.

∴f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.故选D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2014大纲全国，文13)(x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 答案：－160

解析：由通项公式得363333

466

C(2)8C

T x x

-

=-=-，

故展开式中x3的系数为3

6

654

8C8160

321

??

=?=-

??

--.

14．(2014大纲全国，文14)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．

答案：

3

2

解析：∵y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝

2

13

2sin

22

x

??

--+

?

??

，∴当

1

sin

2

x=时，

max

3

2

y=.

15．(2014大纲全国，文15)设x，y满足约束条件

23

21

x y

x y

x y

-≥

?

?

+≤

?

?-≤

?

，

，

，

则z＝x＋4y的最大值为

________．

答案：5

解析：画出x，y的可行域如图阴影区域．

由z ＝x ＋4y ，得144

z y x =-+. 先画出直线14y x =-

，再平移直线14

y x =-， 当经过点B (1,1)时，

z ＝x ＋4y 取得最大值为5.

16．(2014大纲全国，文16)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．

答案：

43

解析：如图所示，设l

与圆O ：x 2＋y 2

＝2相切于点B ，

l 2与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点C

，则OB ，OA =，AB =

∴1

tan 2

OB AB α=

==. ∴21

22tan 42tan tan 211tan 3

14

BAC ααα?

∠===

=--. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)(2014大纲全国，文17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1

－a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．

分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式． (1)可用定义证明b n ＋1－b n ＝2(常数)即可．

(2)利用(1)的结果，求出{b n }的通项公式及a n ＋1－a n 的表达式，再用累加法可求数列{a n }的通项公式．

(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得

a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即

b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，

所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是

1

1

1

()(21)n

n

k k k k a

a k +==-=-∑∑，

所以a n ＋1－a 1＝n 2

，即a n ＋1＝n 2＋a 1.

又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.

18．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1

tan 3

A =

，求B . 分析：先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系， 再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tan C .

根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ，即可求角B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =

，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2

C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]

＝－tan(A ＋C ) ＝

tan tan tan tan 1

A C

A C +-

＝－1， 即B ＝135°.

19．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.

(1)证明：AC 1⊥A 1B ；

(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1A 1－AB －C 的大小．

分析：解法一：(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，再由面面垂直证线面垂直，利用三垂线定理即得线线垂直．

(2)为利用已知，先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E .再由三垂线定理，确定二面角A 1－AB －C 的平面角为∠A 1FD .最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值，

即可得出二面角的大小．

解法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识求解．

(1)设出A 1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为0，证明线线垂直． (2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标．利用向量夹角公式求二面角大小．

解法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ?平面AA 1C 1C ， 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .

又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .

连结A 1C .因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .

(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ?平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.

作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，

因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，1A E =.

因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故11A D A E ==作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F . 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，

故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．

由1AD =

=得D 为AC 中点，

1

25

AC BC DF AB ?=?=，11tan A D A FD DF ∠==

所以二面角A 1－AB －C 的大小为arctan 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .

由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．

(1)证明：设A 1(a,0，c )，由题设有a ≤2，A (2,0,0)，B (0，1,0)， 则(2,1,0)AB =-，(2,0,0)AC =-，1(2,0

)AA a c =-，，

11(4,0)AC AC AA a c =+=-，，1(1)BA a c =-，，．

由|12AA =

2=，

即a 2－4a ＋c 2＝0. ①

于是22

1140AC BA a a c ?=-+=，所以AC 1⊥A 1B .

(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则CB ⊥m ，1BB ⊥m ， 即0CB ?=m ，10BB ?=m .

因()0,1,0CB =，11(2,0

)BB AA a c ==-，， 故y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0.

令x ＝c ，则z ＝2－a

，m ＝(c,0,2－a )，点A 到平面BCC 1B 1的距离为

cos ,CA CA CA c ??

=

=

=〈〉m m m

.

又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c =代入①解得a ＝3(舍去)或a ＝1. 于是1(AA

=-．

设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，

则1AA ⊥n ，AB

⊥n ， 即10AA ?=n ，

0AB ?

=n ，

0p -=，且－2p ＋q ＝0.

令p =q =r ＝1，n =． 又p ＝(0,0,1)为平面ABC 的法向量，

故1

cos

||||4

?==〈，〉n p n p n p .

所以二面角A 1－AB －C 的大小为1arccos

4

. 20．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．

分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求． (2)由(1)分析k 的可能取值情况，比较即得结果．

解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，

D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，

E 表示事件：同一工作日4人需使用设备，

F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .

(1)122D A B C A B A B C =??+?+??，

P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()2

2C 0.5i

i P A ?＝，i ＝0,1,2，

所以122()()P D P A B C A B A B C =??+?+??

＝()()122()P A B C P A B P A B C ?????++

＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++

＝0.31.

(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1. 又E ＝B ·C ·A 2， P (E )＝P (B ·C ·A 2) ＝P (B )P (C )P (A 2) ＝0.06.

若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1. 所以k 的最小值为3.

21．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．

分析：(1)由于导函数的判别式含参数a ，因此要根据导数值的正负判断单调性，需对a 进行分类讨论．当判别式为正时，导函数有两根，为比较两根的大小，需对a 进行二重讨论．

(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式，注意对a ＞0或a ＜0进行讨论． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．

②由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根：

11x a -+=

，21x a

--=.

若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，

故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；

当x ∈(x 2，x 1)时f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数； 若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )＜0， 故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；

当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．

(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1,2)是增函数． 当a ＜0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得5

04

a -≤<. 综上，a 的取值范围是5,04??

-

????

∪(0，＋∞)． 22．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5

4

QF PQ =

. (1)求C 的方程；

(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

分析：(1)设出Q 点坐标，利用5

4

QF PQ =

列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .

(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．

直线l 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助

弦长公式得12|||AB y y =

-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得

34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4))． 由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．

解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p

=

. 所以8||PQ p =，08

||22p p QF x p =+=+.

由题设得858

24p p p

+=?，

解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .

(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，

212|||4(1)AB y y m =-=+．

又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为21

23x y m m

=-++. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得2

24

4(23)0y y m m

+

-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344

y y m +=-，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．

故MN 的中点为2

22223,E m m

m ??++- ???，

234

2

4(|||m MN y y m

+=-=. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于1

2

AE BE MN ==，从而

22211

||||||44

AB DE MN +=， 即2

2

222

22242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)????+++= ? ?????

++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.

所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

自主招生数学试题

自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)

（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）sin; (4) （sinx1+sinx2）0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：。 12.求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。 13.求所有满足 的非直角三角形（这里表示不超过的最大整数）

高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、 判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应 用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分 析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图 形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语 言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅 仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

高中自主招生数学试题

2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温

3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

最新全国新课标高考理科数学考试大纲

全国新课标高考文科数学考试大纲 I．命题指导思想 坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能. II．考试内容与要求 一.考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解 要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等. (3)掌握 要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

高考文科数学考试大纲

20XX年高考文科数考试大纲(新课标) 二、考试范围与要求 本部分包括必考内容和选考内容两部分。必考内容为《课程标准》 的必修内容和选修系列Ⅰ的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题。 （一）必考内容与要求 1.集合 （1）集合的含义与表示 （2）集合间的基本关系 （3）集合的基本运算 2．函胜概念与基本初等函效Ⅰ（指致函做、对数函致、幂函数) （1）函数（2）指数函数(3)对数函数（4）冥函数(5)函数与方程(6)函数模型及其应用 3.立体几何初步 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构. (2)点、直线、平面之间的位工关系 ①理解空间直先、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。 理解以下判定定理. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空空间图形的位置关系的简单命题。 4．平面解析几何初步 (2)圆与方程（3）空间直角坐标系 5.算法初步 6.统计 (1)随机抽样(2)用样本估计总体(3)变量的相关性 7.概率 (1)事件与概率 (2)古典概型 (3)随机数与几何概型 8.基本初等函数Ⅱ（三角函数） （1）任意角的概念、弧度制 （2）三角函数 9.平面向. (I)平面向量的实际背景及基本概念 （2）向量的线性运算 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 (4)平面向量的数量积 (5)向量的应用 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

2019年度高考文科数学考试大纲

-* 文科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P

(新课标)2020年高考数学考试说明 文

2020年高考文科数考试大纲(新课标) I.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩.按己确定的招生计划。德、智、体全面衡量.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2020年颁布的《普通搞好总课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。 数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考察考生对中学的基础知、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考察考生进入高等学校继续学习的潜能。 一、考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以卜简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步孩进行运其。处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这 一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在 有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模仿，会求、 会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识.知道知知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象。比较、判断，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2．能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 (1)空间想象能力:能根据条件作出正确的图形。根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志. （2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；该开始至把仅仅

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)

１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

2019高考文科数学考试大纲(最新整理)

文科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教 育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修 课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课 程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反 映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照 一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列 知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、 判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、 研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、 解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出 图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地 揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图 形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语 言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想 象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属 于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能 有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的 大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2010清华大学自主招生数学试题

2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相

2018年高考(全国卷)文科数学考试大纲

2018年高考（全国卷）文科数学考试大纲 2018年高考（全国卷）文科数学考试大纲 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的 逻辑关系,能够对所列 知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问

2018年高考（全国卷）文科数学考试大纲 题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用 等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学 知识对问题进行分析、 研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的 属性；概括是指把仅仅 属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得

2020高考数学考试大纲 文

2020高考数学考试大纲文 I.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2020年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容. 数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养. 数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能. 一、考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力 . 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判断，初步应用等. (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等. 2．能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. (1)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象