数列求和导学案

追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他。第2页

世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。第3页

追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他。第4页

专题28 数列求和(教学案)(原卷版)

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ． ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.

(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12????1 2n －1－12n ＋1. (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2 a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式； (2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和. (2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝? ????a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. 【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2n ，…的前n 项和S n 的值等于 ( ) A.n 2 ＋1－1 2n B.2n 2 －n ＋1－1 2n C.n 2 ＋1－1 2 n －1 D.n 2 －n ＋1－1 2n (2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π 2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0 高频考点二 裂项相消法求和 例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，若d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d

数列导学案

数列求和 教学目标： 熟练运用求和公式对等差、等比数列求和,能运用分组的方法将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求和。 一、导入： 我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。其中一项重要的内容就是数列的求和，它是数列知识的综合体现。求和题在高考试题中很常见，它主要考查我们有关数列的基础知识，分析问题和解决问题的能力。这节课我们将进一步研究数列的求和问题。 二、知识回顾： 1、等差数列和等比数列的前n 项和公式分别是什么？ （1）等差数列的前n 项和公式：___________________; （2）等比数列的前n 项和公式：①___________________; ②___________________ 三、探究 公式法 例1：(1)等比数列｛n a ｝各项都是正数，且187465=+a a a a ，则=+++1032313log ......log log a a a A 、12 B 、10 C 、8 D 、2 (2) 等差数列｛n a ｝中，3a =6，6a =3，则8S = 以上运用了公式法直接求和。运用公式时要注意以下问题：1、公式熟悉。2、明确首项和项数。3、等比数列中要特别注意使用条件。 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）

练习：求数列??????,22,,26,24, 2232n n 前n 项的和. 分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：{}n n a b ±的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. [例3] 求数列的前n 项和：231,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n 基本求和公式总结： （1）=++++n ......321_______ ____________; （2）=-++++)12(......531n __________ ___ （3）=+++++)12(......531n （4）=++++n 2 (842) （5）=++++n 2 (421) （6）=++++n a a a a (32)

数列求和知识点总结(学案)

数列求和 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n 项和公式 (2)分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广

2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和． 【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n

－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二 错位相减法求和 例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

数列求和公开课学案

数列求和专题 学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 【课前预习区】 1等差数列的前n 项和为_____________________________________________________ 2等比数列的前n 项和为_____________________________________________________ 题型一 公式法求和 1求=-++++12531n _________________________________________ 2求=++++n 2421 ____________________________________________ 3若,0≠a 则=++++n a a a a 32_________________________________ 【课堂交流区】 1.公式法求和小结： 题型二 分组求和 例1 若n a n n +=2，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结： 变式练习： 1.若,0≠a 且1≠a 则___________543215 432=-+-+-+-+-a a a a a 2.求和__________ )432()434()432(2 1 =?-++?-+?-n n 题型三 错位相减法

例2 求和：n n n S 333323132?++?+?+?= 方法小结： 变式1. 若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 例3 n n n a 3)12(-=若，求数列}{n a 的前n 项和n S . 变式2 若n n n a 2)12(-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 【课堂小结】 【课后巩固区】

江苏省宿迁市高中数学第20课时数列的求和导学案无答案苏教版必修5

数列的求和第20课时【学习目标】. 进一步熟练数列求和的各 种方法【问题情境】 n项和熟练运用各种方法求数列的前 【合作探究】项和的常用方法：求数列前n ）分组求和；（1）公式法；（2. ）倒序相加）拆（并）项法；（4）错位相减；（5（3 【展示点拨】2n22aas?2??1a??. 的前例1：数列n项和，求}a{n2n1n 111,,,,；：(1) 1,项和例2：求下列数列的前n s n n?1?1?22?1?2?33?11112,3,(n?), . , (2) 1n2284 【学以致用】 1.数列中，，，则这个数列的前n项和等于__________________. 4{a?a}a2a?1n n?n1 2.数列3，5，7，9，11，…的前n项和是120，则n=____________. a?_____________. 中，在等差数列3.，则}{a110s?6n111 1111????=__________________. 求和：4. 1)2)(310n1?4?(3n4?7?7? 3ns?a?a?aa?a?=________________. 项和，则 5. 数列的前 n73654n22222232100??34???599?1?26?=____________________. 6. 求和：333=_____________________. ．求和：3+33+333+…+7个n n23xx,xx,,,___________________. n项和为8. 数列的前x2007421.9. )?)?f((,求和:S?f)?xf()?f( x2008?2200820084

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．

2018届高考数学第二轮考点梳理导学案23(45数列求和)

45数列求和 姓名 一、学习内容： 必修四68～72 二、课标要求： 能在具体的问题情景中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应 的问题（数列求和）． 三、基础知识： 数列求和的常见方法有： 1、 公式法：⑴ 等差数列的求和公式____________n S =，等比数列的求和公式 ____________n S = 2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和 （常见：等差+等比型或多个特殊数列混合在一起） 即：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和。 3、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项 之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：a n +a 1=a n-1+a 2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和． 4、错位相减法：适用于： “等差?等比”型 的数列求和． 特征：适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。 方法：给12n n S a a a =++ +各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式 和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和S n . 5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法 拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。把一个数列分成几个可直接求和的数列． 常见的拆项公式：

公开课学案(高三数列求和)

学习目标 学习过程 高考链接： 1.（2013年第三题）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （ ） 2.（2013年第十六题）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 3. （2012年第五题）已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 4.（2012年第十六题）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 5.（2011年第十七题） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且2 12326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前n 项和. 6.（2010年第十七题） 典型例题： 例1 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2 ++???+ ++的值 . 变式训练：（1（2）2 21f(x)+= x ，则_________)6()5(......)4()5(=+++-+-f f f f \ 总结：适用于____________________________________的数列求和 例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2， a 3(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{ b n }满足：b n ＝a n ＋ln （ 12 a n ），求数列{ b n }的前n 项和S n . 总结：适用于____________________________________的数列求和 例3 已知当x ＝5时，二次函数bx ax x f +=2 )(取得最小值，等差数列{}n a 的前n 项和n S ＝f(n)，2a ＝－7.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n a 2 b n = ，

等差数列前n项和1-导学案(公开课)

§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？

问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】

1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

《数列求和---错位相减法》导学案

《数列求和---错位相减法》导学案 导学目标： 1.掌握等比数列的前n 项和公式。 知识梳理 等比数列的通项公式 等比数列的前n 项和公式 自我检测 一﹑求下列等比数列的前n 项和 ⑴2,2,2,; ⑵232,2,2,; 二﹑求下列式子的值 ⑶1111+2482n ++ ⑷23411113333n ++++ 复习回顾：等比数列前n 项和公式是如何推导出来的？ 已知等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，求该数列的前n 项和n S 探究 错位相减法求和 例题：已知数列{}n a 通项2n n a n =?，求其前n 项和n S .

基础变式 ⑴.已知数列{}n a 通项3n n a n =?，求其前n 项和n S . ⑵．已知数列{}n a 通项()213n n a n =+?，求其前n 项和n S . ⑶．已知数列{}n a 通项()1412n n a n -=-?，求其前n 项和n S . 提高变式 ⑷．已知数列{}n a 通项()2213n n a n =+?，求其前n 项和n S . ⑸．已知数列{}n a 通项212n n n a -= ，求其前n 项和n S . 高考链接 （2012浙江19,14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22,,n S n n n N *=+∈数列{}n b 满足24log 3,n n a b n N *=+∈ ⑴． 求,n n a b ; ⑵． 求数列{}n n a b ?的前n 项和n T . 课后思考题 在数列{}n a 中，已知114a =，1141,23log ().4n n n n a b a n N a *+=+=∈ ⑴求证：数列{}n b 是等差数列; ⑵设数列{}n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n S .

等差数列求和公式教学设计说明

等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。

学生对于公式的推导不容易接受，新课程标准也要求弱化推导，重在应用，因此，等差数列的前n项和的公式的推导不做重点讲解，只让学生简单了解。 四、教学方法 教学方法： 本着以学生发展为本，引导学生主动参与的原则，我主要采用讲授法、启发法和分组教学法；组织学生以小组为单位讨论、分析、探究，步步深入的学习，使学生在动手、动脑的过程中深化对所学容的理解，进而锻炼自己自主学习及分析问题、解决问题的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生在尝试探索中不断地发现问题，并在寻求解决问题的方法的尝试过程中获得自信心和成功感，并通过分组的方式来激发学生的竞争意识，使其始终处于思维紧的状态下，从而实现师生互动，学生乐学。以小组为单位组织教学的另一个目的是培养学生的合作意识及团队精神。 五、教学手段 多媒体辅助教学 七、教学过程分析 1、复习提问：（1’） 梯子的最高一级宽30cm，从上往下每一级比上一级宽10cm，问：第5级（自上向下数）有多宽？ 提问的目的是为后面等差数列的变形公式的推导打下基础。。

数列求和教学设计

时磊5说- 数列求和教学设计 鹿城中学田光海高三数学 一、教材分析 数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有 广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。 二、教法分析 基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。 三、学法分析 在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识 基础。在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 四、三维目标 1知识与技能 理解掌握各种数列求和的方法，学会解析数列解答题，提高解决中难题的能力? 2过程与方法 通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性 3情感态度与价值观 感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性 五、教学重点与难点 本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：重点：数列求和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重 要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了四种方法进行数 列求和，加深学生理解，突出重点。 难点：数列求和公式的推导及应用。在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。由此引入专题学习。

求数列通项公式(导学案)

数列的通项公式 教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用 1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时. 教 法:讨论、讲练结合. 第一课时 一．常用方法与技巧： （1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数. （2）运用好公式： 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥? 快速练习: 1.写出下面数列通项公式（记住）： 1,2,3,4,5,… = n a ______________. 1,1,1,1,1,… = n a ______________. 1,-1,1,-1,1,… = n a ______________. -1,1,-1,1,-1,… = n a ______________. 1,3,5,7,9,… = n a ______________. 2,4,6,8,10,… = n a ______________. 9,99,999,9999,… = n a ______________. 1,11,111,1111,… = n a ______________. 1,0,1,0,1,0,… = n a ______________. 2.求数列的通项公式的常用方法: (1).观察归纳法. 利用好上面的常用公式. (2).叠加法: 例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式 例2.11{}1 ,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式 (3)叠乘法: 1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列 .n a 通项公式 1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列 .n a 通项公式 (4).构造成等差或等比数列法: 1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列 .n a 通项公式 1 1n 1{}121 n n n a a a a a --== +例6.数列中，，，求数列 .n a 通项公式 三.巩固提高 1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 的值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+ 2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式 3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=， 若11 9 a = ，则36a = ． 3.已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则 n a = ． 5.已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，

高考数学《数列》专题 数列求和学案

第5课时 数列求和 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． 2．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ． 3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和． 4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列． 例1. 已知数列：1，??? ??+211，??? ??++41211，??? ??+++8141211，…，?? ? ??+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ． 解：∵ a n ＝1＋21＋ 41＋……＋121-n ＝??? ??-=--n n 21122 1121 1 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为： (2－1)，??? ??-212，??? ??-2212，??? ??-3212，…??? ??--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋??? ??-212＋?? ? ??-2212＋…＋??? ??--1 212n ＝2n －?? ? ??++++-122121211n ＝2n －21121 1-- n ＝2n －2??? ??-n 211 ＝121 -n ＋2n －2 变式训练1.数列 ,16 14,813,412,21 1前n 项的和为 （ ） 典型例题 基础过关

A ．2212n n n ++ B ．12212+++-n n n C ．2212n n n ++- D ． 22 121n n n -+-+ 答案:B 。解析：2111(1)11234122222n n n n n S n +=+++++++=+- 例2. 求S n ＝1＋ 211+＋3211++＋…＋n ++++...3211． 解：∵ a n ＝ n ++++ 3211＝)1(2+n n ＝2(n 1－1 1+n ) ∴ S n ＝2(1－21 ＋21－31＋…＋n 1－11+n )＝1 2+n n 变式训练2：数列{a n }的通项公式是a n ＝ 11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（ ） A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 解：C .a n ＝11 ++n n ＝n n -+1， ∴S n ＝11-+n ，由11-+n ＝10，∴1+n ＝11， ∴n＝11 例3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21( *2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：取n ＝1，则a 1＝21)21( +a ?a 1＝1 又S n ＝2)(1n a a n +可得：2 )(1n a a n +＝2)21(+n a ∵a n ≠－1(n∈N *) ∴a n ＝2n －1 ∴T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n －1)·2 n ① 2T n ＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n －1)·2 n ＋1② ①－②得： ∴－T n ＝2＋23＋24＋25＋……＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2 1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋2 ∴T n ＝6＋(n －1)·2n ＋2 变式训练3.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.

广东省广州三中高中数学必修5导学案 第二章《数列的求和》复习

数列求和 学习目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2．能运用分组求和、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算； 一 、问题导学 （复习回顾） （1）等差数列求和公式：n S = =　 （2）等比数列求和公式：() ()11111n n na q S a a q q q ?=? =-?=≠?-?. （3）求和51 1 1 1 1 __________.1223344556S =++++=????? 【课内探究】 例1、求和：11111111135[(21)](2)S 13(21). 2482242n n n n S n n =++++-+=?+?++-?（）； 变式：已知 1 2n n a n -=?，求数列{}n a 的前n 项和n S .

例2、已知数列{}n a 的通项公式为1(2) n a n n = +，求它的前n 项和n S . 【总结提升】 1、公式法 2、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1n n c a a +?????? （其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ??=- ?++??，特别地当1k =时，()11111 n n n n =-++ （2 1k =，特别地当1k = =3、错位相减法 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法。若n n n a b c =?，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++ 则n qS = 122311n n n n b c b c b c b c -+++ ++ 两式相减并整理即得

数列求和学案

数列求和学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

6.4数列求和 考情分析 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 基础知识 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 2d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－ 1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 注意事项 1.一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 2.在利用裂项相消法求和时应注意： (1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项． 3.(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1； (3)1 n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 题型一 公式法求和 【例1】在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值． 解 在等比数列{a n }中，设首项为a 1，公比为q ，由a 3＝9，a 6＝243，得q 3＝a 6a 3 ＝2439＝27，∴q ＝3. 由a 1q 2＝a 3，得9a 1＝9，∴a 1＝1. 于是，数列{a n }的通项公式为a n ＝1×3n －1＝3n －1， 前n 项和公式为S n ＝1×(1－3n )1－3 ＝3n －12. 由此得a 9＝39－1＝6 561，S 8＝38－12＝3 280.

数列的求和导学案解析

数列的求和 高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标： （1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； (2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点） （3）熟记一些常用的数列的和的公式． 二、学习过程 数列求和的方法： 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=__________ ， 1+3+5+……+(2n-1)=_______ 2222123+++……+n = (1)(21)6 n n n ++等. 2、错位相减法： 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 若n n n c b a =?，其中{}n b 是等差数列，{}n a 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b a b a b a b a --=++++ 则n qS = 122311n n n n b a b a b a b a -+++ ++ 两式相减并整理即得 例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分） 已知 12n n a n -=?，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个