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第2课时用待定系数法求二次函数解析式同步练习

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式

要点感知用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：

(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；

(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；以下有三种特殊情况：

①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为______.

②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为______. ③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为______，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标.

(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)、(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为______.

预习练习1-1 若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：

则二次函数的解析式为______.

1-2 已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数的解析式为______.

1-3 已知二次函数y=-2

1x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.则这个二次函数的解析式为______.

知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式

1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为______.

2.已知二次函数y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0.求这个二次函数的解析式.

知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式

3.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )

A.y=2(x+1)2+8

B.y=18(x+1)2-8

C.y=92(x-1)2+8

D.y=2(x-1)2-8

4.已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式.

知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式

5.如图所示，抛物线的函数表达式是( )

A.y=21x 2-x+4

B.y=-21x 2-x+4

C.y=21x 2+x+4

D.y=-2

1x 2+x+4 6.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______.

7.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )

A.y ＝x 2-x-2

B.y ＝-21x 2-21x+2

C.y ＝-21x 2-21x+1

D.y ＝-x 2+x+2

8.二次函数y=-x 2+bx+c 的图象的最高点是(-1，-3)，则b ，c 的值分别是( )

A.b=2，c=4

B.b=2，c=-4

C.b=-2，c=4

D.b=-2，c=-4

9.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(-1，0)，B(0，-3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为______.

10.(杭州中考)设抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______.

11.(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当PA+PB 的值最小时，求点P 的坐标.

12.(宁波中考)已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式.

挑战自我

13.(河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 九个格点.抛物线l 的解

析式为y=(-1)nx 2+bx+c(n 为整数).

(1)n 为奇数，且l 经过点H(0，1)和C(2，1)，求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线上的顶点；

(2)n 为偶数，且l 经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在抛物线上；

(3)若l 经过这九个格点中的三个，直接写出满足这样条件的抛物线条数.

参考答案

要点感知

(1)y=ax 2+bx+c ； (2)y=a(x-h)2+k ； ①y=ax 2. ②y=ax 2+c.

③y=a(x-h)2，

(3)y=a(x-x 1)(x-x 2).

预习练习1-1 y=-2x 2-12x-13. 1-2 y=-8

x 2+2x+1.

1-3 y=-21x 2+4x-6.

1.y=x 2-x-

2.由题意，得a+b+c=0,a-b+c=6,c=1.解得a=2,b=-3,c=1.

∴二次函数的解析式为y=2x 2-3x+1.

3.D

4.依题意，设y=a(x-h)2+k.将顶点坐标(4,-1)和与y 轴交点(0,3)代入，得3=a(0-4)2-1.解得a=

41. ∴这条抛物线的解析式为y=

1(x-4)2-1. 5.D

6.y=x 2-x-2.

7.D

8.D 9.y ＝x 2-2x-3. 10.y=81x 2-41x+2或y=-81x 2+4

3x+2. 11.

(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)，∴设y=a(x-1)2+4.

∵抛物线过点B(0，3)，∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.

∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x 2+2x+3.

(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，-3)，连接AE 交x 轴于点P .

设AE 解析式为y=kx+b ，则k+b=4,

b=-3,解得k=7,b=-3.∴y AE =7x-3.

∵当y=0时，x=73，∴点P 的坐标为(7

3，0). 12.(1)∵A(1，0)，B(3，0)，

∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3).

∵抛物线过(0，-3)，∴-3=a(-1)×(-3).解得a=-1.∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.

∵y=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1，∴顶点坐标为(2，1).

(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x 2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x 上.

挑战自我

13.(1)因为n 为奇数，则抛物线解析式为y=-x 2+bx+c.

将H(0，1)和C(2，1)代入上式，得b=2，c=1.

所以抛物线解析式为y=-x 2+2x+1.

化为顶点式为y=-(x-1)2+2，其顶点坐标为(1，2)，

所以顶点所在的格点为E.

(2)因为n 为偶数，则抛物线的解析式为y=x 2+bx+c.

将A(1，0)和B(2，0)代入上式，得b=-3，c=2.

所以抛物线解析式为y=x 2-3x+2.

将x=0代入上式可得y=2，所以F 点在该抛物线上，H 点不在该抛物线上.

(3) 8.

人教版九年级数学上册课时同步练习：22.3实际问题与二次函数(一)

课时同步练：22.3实际问题与二次函数（一）一．选择题 1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（） A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 2．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（） A．4米B．5米C．2米D．7米 3．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h ＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（） A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m 4．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）

A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（） A．37.5°B．40°C．52.5°D．55° 6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（）

九年级数学_二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型例 6 如图1，抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ，

二次函数单元检测试卷(含答案)

二次函数检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________姓名：__________得分：__________ 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（） A．y＝1 x2B．y＝2x＋1 C．y＝x 2＋x－2 D．y2＝x2＋3x 2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是（） A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2) 3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是（）A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．下列函数中，当x>0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2D．y＝－(x－1)2 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x …－2－10123… y …50－3－4－30… 二次函数图象的对称轴是（） A．直线x＝1 B．y轴C．直线x＝1 2D．直线x＝－ 1 2 7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（） A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（）

9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（） A ．y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60) B ．y ＝－1 2x 2－10x ＋1200(0＜x ＜60) C ．y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0＜x ＜60) D ．y ＝－1 2 x 2－10x ＋1250(x ≤60) 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝1 2x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 第10题图第12题图 11．抛物线y ＝－x 2＋6x －9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（） A ．(－6，0) B ．(6，0) C ．(－9，0) D ．(9，0) 12．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点为B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（） A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．当a ＝时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数． 14．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a (x －h )2＋k 的形式为 . 15．已知A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2的图象上两点，则y 1 y 2. 16．若抛物线y ＝x 2－2x ＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

北师大版九年级数学下册2.2 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质(同步练习)

2.2 二次函数的图象与性质第2课时二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质 1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____. 2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的. 5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____. 7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( ) A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2 与y ＝-ax+b 的图像可能是( ). 10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12 x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4. 11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.

二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型

北师大版九年级数学下第二章《二次函数》单元测试题(含答案).doc

第二章二次函数单元测试一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 ) 1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 2 2．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 － 1 － 1 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) 5 3 A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝2 3．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 () A．±1 B． 0 C． 1 D．－1 图 8－Z－1 c 4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1 所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 () 图 8－Z－2 为 5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为() x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)

图 8－Z －3 6．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分，图象过点 (－ 3，0)，对称轴 ① b 2 ＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5 为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ， C － 1 ，y 2 为函数图象上的两点，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ( ) 2 A ．②④ B ．①④ C ．①③ D ．②③ 图 8－Z －4 7．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ( ) A ．( 2， 2) B ．(2，2) C ．( 2，2) D ．(2， 2) 二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 ) 8．函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时， x ＝ ________． 9．将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为 ____________ ． 10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为 y ＝－ 1 2 2 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.

二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。一、已知三点求二次函数的解析式当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得： ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a 故所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函

二次函数与一元二次方程同步练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程同步练习题(含答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程（1）附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).

6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5

九年级数学二次函数几种解析式的求法素材

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)

高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]，都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2

求二次函数解析式分类练习题

求二次函数解析式分类练习题类型一：已知顶点和另外一点用顶点式例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式．练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．

2、已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数的最小值为1，则m= 。 8、m 为时，抛物线的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4．若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y