高考热点之球与几何体的切、接问题及近年常考题
球与几何体的切、接问题及近年常考题
王宪良
一、理清位置，学会画图
1、正方体的内切球
2、球与正方体的棱相切
3. 正方体的外接球
分别作图如下
说明：
1.正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a
R =
； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=
。 3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 作截面图得，圆O 为矩形
C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=。
二、解决球心位置和半径大小的常用方法
1. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
2
2
c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2
2
22c b a R ++=
【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为有三条棱两两垂直，所以可补成球内接长方体。 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长
所以：四面体外接球的直径为AE 的长，即：22224AD AC AB R ++=
1663142
2
22=++=R 所以2=R
所以球的表面积为ππ1642==R S
2. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，
10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ，因为22
210517=+ 所以知
222PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：
在ABC Rt ?中斜边为AC ； 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP ==
所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心， 52
1
==
AC R 所以该外接球的体积为3
500343ππ==R V
3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
A
C
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?
∠
该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系
)000(，，A )002(，，B )200(，，D
由平面知识得 )031(，
，-C
设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知
222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++
解得
1
31===z y x 所以半径为
5
13122
2=++=）（R
【注】空间两点间距离公式：2
21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
4. 棱锥的内切、外接球问题
【例题】：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．
正四面体的表面积22
34
34a a S =?
=表． 正四面体的体积222
212
34331BE AB a AE a V BCD A -=??=- 322212
233123a a a a =???? ??-=
BCD A V r S -=?表31
，a a
a
S V r BCD A 1263122332
3
=?
==∴-表
C
y
图1
在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22
233r a R +???
? ??=，得a R 46
=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正
四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4
3h
，从
而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。
另外，记住以下结论，会对解题有帮助：
三、常考题训练
答案：
几何体与球的切接问题专项练习
v1.0 可编辑可修改 A O' O B E D C A 空间几何体的三视图与球专项练习 专题一.空间几何体的三视图 1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________ 2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A.81 B.71 C.61 D.5 1 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形， 侧视图 是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2222(2R)a b c =++ 练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 222OA OE AE =+,其中OA=R
v1.0 可编辑可修改 o A B 2233 3323AE AD AB AB ==? = 求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C === 求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ?=++?= 1 sin 2ab C 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) （A ）2a π （B ）27 3 a π （C ）2113a π （D ）2 5a π 2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π B ． 3π4 C ．π2 D ．π4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长方体半径算法相同 练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==， 2BC =O 的表面积等于（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球 (1)正棱锥与圆锥外接球 B A C H O H A C O H O 222222(PH R)OB OH BH R AH =+?=-+ 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3 4 ） 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面 积．
【必考题】高三数学下期末试题(含答案)(2)
【必考题】高三数学下期末试题(含答案)(2) 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对 称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i + D ．12i -+ 3．设函数()()21,04,0 x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 1 3 B ． 12 C ． 23 D ．56 7．已知向量a v ，b v 满足2a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ）
A ． 22 B ． 23 C ． 2 D ． 2 8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x > B ．0x …或2x -… C ．0x <或2x > D ．1 2 x - …或3x … 10．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ． 534 B ． 532 C ． 53 D ． 13 11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ． 43 π B ． 83 π C ． 163 π D ． 203 π 12．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A ．1 B 2C 3 D ．2 二、填空题 13．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．函数()22,0 26,0 x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?的零点个数是________． 15．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 16．已知函数sin(2)()22y x ??ππ =+-<<的图象关于直线3 x π=对称，则?的值是________． 17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为 3 3 ，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．
球与各种几何体切、接问题专题(一))
球与各种几何体切、接问题 近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 一、球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1、 球与正方体 （1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =. （2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有22r a =. 2
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =. 图3 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径 12,22 AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 2、 球与长方体 例2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求 222MC MB MA ++的值．
数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.
高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
球的高考题
1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为() A.ππ D. 【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解. 【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截 面圆的半径为R 1 ,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d= ;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R= ==1,代入球的体积公式得球的体积为. 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) π B.32 3 πππ 【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解. 【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为3,所以正3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )ππππ 【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利 用V O-ABC =V C-AOB 列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积. 【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体 积最大,设球O的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =1 3 ×1 2 R2×R=1 6 R3=36,故R=6,则球O的表面积 为 S=4πR2=144π. 4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ) π B.9π 2 π D. 32π 3
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π 27. 例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3 2所以球的半径为3.故该球的体积为π3 4. 2、求长方体的外接球的有关问题 例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
(完整版)空间几何体与球的切接问题
空间几何体与球的切、接问题 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） π12.A B.3 32π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体） 2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为 3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于 圆柱的外接球 4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为 类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱 5.已知三棱锥P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为 6.在三棱锥ABC P -中,ο120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。 圆锥的外接球
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ） A.481π B.16π C.9π D.427π 8.在三棱锥A -BCD 中ACD ?与?BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积 练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为 . 练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为 2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ 练习3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 P ABC -⊥PC ABC
第17讲高考必考题突破讲座细胞有丝分裂与减数分裂规律的解题策略讲练结合
第17讲高考必考题突破讲座(四) 细胞有丝分裂与减数分裂规律的解题策略 1．细胞分裂的曲线热图呈现 曲线解读：(1)图1、图2的实线和虚线分别表示有丝分裂和减数分裂过程中的细胞核内的染色体和DNA数目变化。 (2)图3和图4可表示有丝分裂或减数分裂过程中每条染色体中DNA含量的变化。 (3)图5的实线和虚线分别表示减数分裂和有丝分裂过程中染色单体数目的变化。
(4)图6实线和虚线分别表示有丝分裂和减数分裂过程中同源染色体对数的变化。 (5)图7实线和虚线分别表示二倍体生物有丝分裂和减数分裂过程中染色体组数的变化。 解题方法 1．“三结合”法图析细胞分裂的方式及特点 (1)结合不同分裂时期特点判断细胞分裂方式及时期 (2)结合染色体的奇、偶数识别细胞分裂方式 (3)结合细胞质的分裂情况作出判断
2．归纳细胞分裂的曲线类型及细胞分裂方式 染色体、染色单体 有同源染色体存在，但不出现同有同源染色体存在，出现同源染色3.直方图实质上是坐标曲线图的变形，反映的也是染色体、核DNA 和染色单体数量的变化。解题思路与坐标曲线图基本相同，但对染色单体的分析显得尤为重要。在直方图中，染色体和DNA 的含量不可能是0，但染色单体会因着丝点的分裂而消失，所以直方图中若表示的某物质出现0，则其一定表示染色单体。如下图所示：
答题步骤 1．从题干中获取有用信息，大致判断是考有丝分裂还是减数分裂，然后根据图像判断细胞分裂时期，或者根据曲线判断物质、结构的变化规律。 2．要看清纵坐标代表的含义。 3．要注意分析曲线变化的原因，并能与细胞分裂的各个时期相对应，还应想到每个时期细胞内的主要事件和特点。 规范答题 1．选择题在审视每个选项时尽量考虑全面，特别是细胞分裂方式未知的情况下。 2．文字叙述类题目要求回答原因时，要表述清楚，逻辑严密。 3．审题细致，答题严谨简练。 细胞增殖是遗传规律体现的基础，对理解遗传变异具有重要作用，当与DNA复制和染色体变异综合出题时，该类试题有以下几个命题角度。 角度一?细胞分裂图像的判断 以二倍体生物为例建立几个典型时期细胞分裂模型。抓住几个特殊时期染色体的行为及染色体和DNA的数量变化规律。 角度二?注意特殊的细胞分裂 1．雄蜂的减数分裂。 2．秋水仙素或低温作用后的有丝分裂与减数分裂。 3．减数分裂中染色体不分离的情况。 角度三?细胞分裂中相关数目的变化曲线图分析 1．染色体复制只能增加DNA含量，而不能改变染色体数目。 2．着丝点分裂只增加染色体数目，而不改变DNA含量。 3．染色体复制后才有染色单体，着丝点分裂后染色单体消失。 角度四?细胞分裂中各物质、结构柱状图 比较有丝分裂的分裂期、减数第一次分裂、减数第二次分裂，染色体∶染色单体∶DNA的比值有以下几种(以二倍体细胞为例)： 2N∶4N∶4N有丝分裂前、中期，减数第一次分裂
【必考题】数学高考试题含答案
【必考题】数学高考试题含答案 一、选择题 1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 5．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（ ） A ． B ．
C ． D ． 6．已知函数()32cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 7．2n n +
与球有关的切、接问题(有答案).
4 与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式： S ＝ 4πR 2；球的体积公式 V ＝43πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1) 正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a ，内切球的半径为 r ， 外接球的半径为 R ，取 AB 的中点为 D ，连接 CD ，SE 为正四面体的高，在 截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆．因为 (2) 正方体与球： ①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所 a 示．设正方体的棱长为 a ，则 |OJ|＝ r ＝ 2(r 为内切球半径 )． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆， 则 |GO|＝ R ＝ 22a. (3) 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正 方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． 即三棱锥 A 1-AB 1D 1 的外接球的球心和正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的外接球的球心重合．如图，设 正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时， CO ＝OS ＝ R ， OE ＝r ，SE R 2 －r 2 ＝|CE|2 ＝a 3，解得 R ＝ 46 a r ＝ 126 a. ③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC 1A 1的外接圆，则 |A 1O|＝ R ′ 3 ＝2a
3 AA 1＝ a ，则 R ＝ 23 a. ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 角度一：正四面体的内切球 1．(2015 长·春模拟 )若一个正四面体的表面积为 S 1，其内切 球的表面积为 S 2，则 S S1＝ 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． a 2＋ b 2＋ c 2 2 ＝l 42(l 为长方体的体对角线长 )．
高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020
内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再
专题3地球上的大气(2019高考题及模拟题)
专题03 地球上的大气 【2019年高考真题】 （2019年新课标全国卷Ⅱ）【冷热不均引起的大气运动】积云为常见的一类云，其形成受下垫面影响强烈。空气在对流过程中，气流携带来自下垫面的水汽上升，温度不断下降，至凝结温度时，水汽凝结成云。水汽开始凝结的高度即为积云的云底高度。据此完成6～8题。6．大气对流过程中上升气流与下沉气流相间分布，因此积云常常呈 A．连续层片状B．鱼鳞状C．间隔团块状D．条带状 7．积云出现频率最高的地带是 A．寒温带针叶林地带B．温带落叶阔叶林地带 C．亚热带常绿阔叶林地带D．热带雨林地带 8．在下垫面温度决定水汽凝结高度的区域，积云的云底高度低值多出现在 A．日出前后B．正午C．日落前后D．午夜 （2019年北京卷）【影响降水的因素】市地处豫西山地向黄淮海平原的过渡地带。图2为该市各观测点年平均降水量图。读图，回答第3题。 3．导致该市年平均降水量空间差异的主要因素是 A．太阳辐射B．海陆位置C．植被覆盖率D．地形条件 （2019年北京卷）【常见天气系统】图5为某日08时亚洲局部海平面气压分布图。读图，回答第7题。
7．图示区域 A．①地的风向为东南B．②地有大雾出现C．③地未来有强降水D．④地寒暖流交汇（2019年天津卷）【常见天气系统】读图1和图2，回答3～4题。
3．在形成图1所示降水分布状况的当天，最有可能出现的气压场分布形势是 A．甲B．乙C．丙D．丁 4．图2中所示的气压场分布形势，最可能出现在我国冬季的是 A．甲B．乙C．丙D．丁 （2019年卷）【常见天气系统】图3为“某月19日18时澳大利亚海平面等压线分布图”。读图回答7~8题。 7．该月最可能是 A．3月B．6月C．8月D．10月
与球有关的切、接问题(有答案)
与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43 πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ， 外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在 截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为 正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33 a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)正方体与球： ①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所 示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2 (r 为内切球半径)． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆， 则|GO |＝R ＝22 a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝ 32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1 的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设 AA 1＝a ，则R ＝32 a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2 ＝a 2＋b 2＋c 24＝l 2 4(l 为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的内切球 1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.
内切球和外接球问题专题复习
内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
【必考题】高考数学一模试题含答案
【必考题】高考数学一模试题含答案一、选择题 1．若 3 tan 4 α=，则2 cos2sin2 αα +=（） A．64 25 B． 48 25 C．1D． 16 25 2．已知 2 a i b i i + =+，,a b∈R，其中i为虚数单位，则+a b=（） A．-1B．1C．2D．3 3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（x，y） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a=（） A．0B．2C．4D．14 5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[) 2060 ,上的频率为0.8，则估计样本在[) 40,50、[) 50,60内的数据个数共有（） A．14B．15C．16D．17
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54钱 B ． 43 钱 C ． 32钱 D ．5 3 钱 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
几何体与球的切接问题专项练习
4. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形.则该几 何体的表面积为（） 练习：【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球空间几何体的三视图与球专项练习(A) 60 (B) 30 (C) 20 (D) 10 A.- B. C. D. 面上，则球O的表面积为 ___________ 8 （2）三棱柱、圆柱与外接 球 ①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点 3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A OA2 OE2 AE2 ,其中OA=R 2 2 . 3 3 5 AE - AD AB AB 3 3 2 3 求三角形ABC外接圆半径R:正弦定理 a sin A b sin B c si nC 2R 专题一.空间几何体的三视图 1. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，贝U该几何 体的体积是___________ 表面积是____________ A. 88 .158 专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球 2. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩 2 2.2 2 (2R) a b c 余部分体积的比值为（）
2.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A.n B. 3n C. - D.- 4 2 4 ②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法 方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同 ① 方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径 算法与长 方体半径算法相同 练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径.（正四面体外接球半径是高的 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面边长为2,求该球的表面 积. 练习：已知S,代B,C 是球0表面上的点， SA 平面ABC , AB BC , SA AB 1 , BC '.2,则球O 的表面积等于（ ） 求三角形ABC 内切圆半径r :面积法S ABC (a b c) r = absinC 2 2 2.锥体外接球 练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ,顶点都在一个球面上，则该 （1）正棱锥与圆锥外接球 球的表面积为（） OB 2 R 2 (PH R)2 AH 2 (A ) 4 (B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 3)
第21讲 高考必考题突破讲座——人口统计图的判读
第21讲高考必考题突破讲座——人口统计图的判读人口统计图主要用来反映人口构成(年龄、性别、文化、职业等)、数量变化、迁移状况等。每种图示的形式不同，其特点不尽相同，而且表现内容在侧重点上也有很大差异。 人口统计图是表示人口数值特征或时空变化的图像，能很好地考查考生对数据的理解能 力和运用能力、地理数据读取和分析能力等。近几年的高考题，对人口变化的考查较为频繁， 而人口统计图是最常用的载体。试题多以选择题形式出现。 1．常见人口统计图的判读 常见的人口统计图有柱状图、曲线图(折线图)、扇形图(饼状图)等。 (1)柱状图 图1某市部分年份人口数 柱状图以横轴表示时间、地点或事物类别，以纵轴表示数量，根据柱的高度可以比较事 物的数量变化。将两个或两个以上指标所表示的柱状图合并，可构成复合柱状图。分析柱状 图的一般思路： ①看图名，了解纵、横轴表示的内容，认清图例。出现多个纵轴时，更要仔细观察、辨析→②思考各项目之间的联系 →③对柱值的高低进行分析，从而揭示纵轴表示内容和横轴表示内容的关系 →④分析原因，提出建议 (2)曲线图(折线图) 曲线图(或折线图)表示地理事物在时间上或空间上的变化规律，能直观反映同一种地理 事物的变化趋势。判读时，主要根据线状统计符号的大体走向来分析统计对象的数值随时间 或空间的连续变化的规律，要特别注意曲线图中的高峰或低谷以及折线图中明显的转折点。
图2上海市近年来户籍人口自然增长率 (3)扇形图(饼状图) 图3人口受教育程度图4各大洲人口数量 扇形图通常把圆面划分为若干个扇形面，每个扇形承载一项数值，其大小用来表示相应数据项，可以用来反映某些地理事物局部与全部的比例关系。 扇形图和饼状图的判读步骤：①审清题意，阅读图名；②阅读图例和文字说明，明确图上反映了哪些地理事物；③分析这些地理事物的共同点和差异，在脑海中呈现相关的知识点； ④了解图中反映地理事物的数值特征，对数值进行排序。 2．平面正三角形坐标统计图的判读 (1)人口正三角形坐标统计图的特点 人口正三角形坐标统计图主要体现某地三个不同年龄阶段人口在总人口中的比重，一般分为0～14岁、15～64岁和65岁及以上三个阶段，可分别用来表示少年儿童、青壮年和老年人的比重，如图所示： (2)人口正三角形坐标统计图的判读方法 第一步，沿着三个坐标轴数值增大的方向画出三个箭头，如上图的①②③。 第二步，过图中标出的点，分别画出与上述三个箭头平行且延伸方向一致的三个箭头，如上图的④⑤⑥。
2018年高考理科数学专题十：与球体有关的问题 精品
2018年高考数学专题十：与球体有关的问题 一、高考趋势分析： 立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。 二、基础知识点拨： 1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径． 3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心” 考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。 三、高考试题精练 1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【考点】外接球表面积和椎体的体积． B O A C 2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A. 317 2 B ．210
C.132 D ．310 解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1 2AA 1 ＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ? ?? ??522＋62＝132. 3．(2018·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1 S 2 ＝________. 解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4· 34 ·a 2＝3a 2 ，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2 ＝πa 2 6，则S 1S 2＝3a 2 π6 a 2＝63π . 答案：63π 4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱 AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( ) A ．9π B ．3π C ．22π D ．12π 解析：选D 该几何体的直观图如图所示， 该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得a ＝2，在△PAC 中PC ＝ 22 22 2 ＝23，球的半径R ＝ 3，∴S 表＝4πR 2 ＝4π×(3)2 ＝12π. 四、典型例题精析
- 与球有关的切接问题(全面)
- 几何体的外接球与内切球讲解学习
- 球与几何体的切接问题PPT课件
- 球与各种几何体切、接问题专题[一]
- 几何体与球的切接问题专项练习
- 几何体与球的切接问题专项练习
- 球与几何体的切、接问题
- 简单几何体的外接球与内切球问题
- 球与各种几何体切、接问题专题(一))
- 球与几何体的切接问题
- 高中数学球与几何体的切接问题
- 几何体的外接球和内切球问题2019
- 球与各种几何体切、接问题专题
- 球与各种几何体切、接问题专题(一))
- 空间几何体的内切球和外接球问题
- 几何体与球的切接问题专项练习
- 几何体与球的切接问题专项练习
- (完整版)空间几何体与球的切接问题
- 解决几何体的外接球与内切球
- 球的切接问题