第二十一章 二次根式3
第二十一章 二次根式 测试5 二次根式的加减(二) 学习要求 会进行二次根式的混合运算,能够运用乘法公式简化运算. 课堂学习检测 一、填空题 1.当a =______时,最简二次根式12-a 与73--a 可以合并. 2.若27+= a ,27-= b ,那么a +b =______,ab =______. 3.合并二次根式:(1)=-+)18(50________;(2)=+-ax x a x 45________. 二、选择题 4.下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( ). A .ab 与2ab B mn 与 n m 11+ C .22n m +与22n m - D . 239 8b a 与4329 b a 5.下列计算正确的是( ). A .b a b a b a -=-+2))(2( B .1239)33(2=+=+ C .32)23(6+= +÷ D . 641426412)232(2-=+-=- 6.)32)(23(+-等于( ). A .7 B .223366-+- C .1 D .22336-+ 三、计算题(能简算的要简算) 7.?-12 1 ).2218( 8.).4818)(122(+- 9.).3 2841)(236215(-- 10.).32 18)(8321( -+
11..6)1242764810(÷+- 12..)18212(2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 13.(1)规定运算:(a *b )=|a -b |,其中a ,b 为实数,则=+7)3*7(_______. (2)设5=a ,且b 是a 的小数部分,则=-b a a ________. 二、选择题 14.b a -与a b -的关系是( ). A .互为倒数 B .互为相反数 C .相等 D .乘积是有理式 15.下列计算正确的是( ). A .b a b a +=+2)( B .ab b a =+ C .b a b a +=+22 D .a a a =? 1 三、解答题 16.?+?-2 2 1221 17.?-- + ?2 818)2 12(2 18..)21()21(20092008-+ 19..)()(22b a b a --+ 四、解答题 20.已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2-xy +y 2;(2)x 3y +xy 3的值. 21.已知25-=x ,求4)25()549(2++-+x x 的值.
苏教版八年级下册数学[《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算,会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释:0a ≥,即只有被开方数0a ≥时, 才有意义. 2.二次根式的性质 (1) ; (2);
(3). 要点诠释:(1) 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式,即a 2=(0a ≥), 如22212;;3x ===(0x ≥). (2)a 的取值范围可以是任意实数,即不论a . (3a ,再根据绝对值的意义来进行化简. (42的异同 a 可以取任何实数,而2中的a 必须取非负数; a ,2=a (0a ≥). 相同点:被开方数都是非负数,当a 2. 3.最简二次根式 (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数中不含有分母; (3)分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释:最简二次根式有两个要求:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释:判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开方数是否相同, 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 (1)乘除法法则: 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式: 0,0)a b =≥≥
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除21.2.1二次根式的乘法教案新版华东师大版
.21.2 二次根式的乘除 21.2.1 二次根式的乘法 理解a·b=ab(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简. 由具体数据发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算. 通过探究a·b=ab(a≥0,b≥0),培养特殊到一般的探究精神,培养学生对事物规律的观察发现能力,激发学生的学习兴趣. 重点 a·b=ab(a≥0,b≥0)及它的应用. 难点 发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0). 一、情境引入 1.填空: (1)4×9=________, 4×9=________; (2)16×25=________, 16×25=________; (3)100×36=________, 100×36=________. 参照上面的结果,用“>”、“<”或“=”填空. 4×9________4×9; 16×25________16×25; 100×36________100×36. 2.利用计算器计算填空. 2×3________6; 2×5________10; 5×6________30; 4×5________20. 二、探究新知 (学生活动)让3,4个同学上台总结规律. 教师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式,它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积. 一般地,对二次根式的乘法规定为 a·b=ab(a≥0,b≥0). 例1 计算: (1)5×7; (2)1 3 ×9; (3)1 2 × 6.
解:(1)5×7=35; (2)1 3 ×9= 1 3 ×9=3; (3)1 2 ×6= 1 2 ×6= 3. 三、练习巩固 1.直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是( ) A.3 2 cm B.3 3 cm C.9 cm D.27 cm 2.化简a-1 a 的结果是( ) A.-a B. a C.--a D.- a 3.等式x-1·x+1=x2-1成立的条件是( ) A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1 4.下列各等式成立的是( ) A.45×25=8 5 B.53×42=20 5 C.43×32=7 5 D.53×42=20 6 四、小结与作业 小结 1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 2.教师总结归纳二次根式的乘法规定 a·b=ab(a≥0,b≥0). 布置作业 从教材“习题21.2”中选取. 这节课教师引导学生通过具体数据,发现规律,导出a·b=ab(a≥0,b≥0),并学会它的应用,培养学生由特殊到一般的探究精神,培养学生对于事物规律的观察、发现能力,激发学生的学习兴趣.
二次根式小结与复习
二次根式小结与复习 夏飞 【主要内容】 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上,引入一个符号“”.主要内容有:(1)二次根式的有关概念,如:二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等;(2)二次根式的性质;(3)二次根式的运算,如:二次根式的乘除法、二次根式的加减法等. 【要点归纳】 1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义. 2. 二次根式的性质: ① ② ③ ④ 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的加减: 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相
加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. (2)二次根式的乘法: (3)二次根式的除法: 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. (4)二次根式的混合运算: 先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算. 注意:进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成 假分数或真分数,不能写成带分数.例如不能写成. (5)有理化因式: 一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与;②与; ③与;④与. 说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化. 【难点指导】 1、如果是二次根式,则一定有;当时,必有;
第二十一章 二次根式
《第二十一章 二次根式》 练习题 一、填空题 1. ______个. 2. 当x = 时,二次根式1+x 取最小值,其最小值为 。 3. _____________ 4. = 5. 实数a 在数轴上的位置如图所示:化简 :1______a -=. 6. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2,则此边的高线长 . 7. 若()2240a c -+-=,则=+-c b a . 8. 计算:20102010)23()23(+-= 9. 已知2310x x -+=,则 = 10. = = =用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 . 二、选择题(每小题3分,共24分) 11. 下列式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 12. 下列二次根式中,x 的取值范围是2≥x 的是( ) A .2-x B .x+2 C .x -2 D .1x -2 13. 实数a b c ,,在 数轴上的对应点的位置如图所示,式子①0b c +>②a b a c +>+③bc ac >④ab ac >中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A . B . C. D . 15. 下列各式中,一定能成立的是( ) A .22)5.2()5.2(=- B .22)(a a =
C .1122-=+-x x x D .3392-?+=-x x x 16.设4a ,小数部分为b ,则1a b - 的值为( ) A.1- C.1 D.17. 把m m 1-根号外的因式移到根号内,得( ) A .m B .m - C .m -- D .m - 18. 2,则a 的取值范围是( ) A.4a ≥ B.2a ≤ C.24a ≤≤ D.2a =或4a = 三、解答题(76分) 19. (12分)计算: (1) 21418122-+- (2) 2)352(- (3) (4)28 4)23()21(01--+-?- 20. (8分)先化简,再求值:1 1212222--÷+++-+x x x x x x x ,其中23-=x . 21. (8分)已知:3x 22x y --+-=,求:4y x )(+的值。
章复习 第21章 二次根式
章复习第21章二次根式 一、二次根式 1、二次根式的概念 一般地,把形如______的式子叫做二次根式,“______”叫做二次根号,______叫做被开方数. 注:被开方数a可以是数,也可以是代数式(整式、分式),但a必须____________. 2、二次根式的意义与性质 ⑴意义:二次根式实际上就是指非负数a的____________. a≥是一个______数;②____________;③____________. (0) 注:①2(0) =≥可逆用平方根定义得出;②注意0 a a a<时,a-. 二、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法规定:__________________ 即:____________________________________. 注:①此规定可推广到多个二次根式的情况;②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用;③公式中的a,b既可以是数,也可以是代数式,但都必须是______数,因为负数____________. 2、二次根式的除法规定:__________________ 即:______________________________. 注:①一般地,两个二次根式相除,如果被开方数不能恰好整除时,应将分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0) =≥;②商的算术平方根的性质的限制条 a a 件“(00) ,”与积的算术平方根的性质的限制条件类似,但也有区别,因为分母不能为零, a b ≥> 所以被除式a必须是非负数,除式b必须是正数,否则性质不成立. 3、最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含______;②被开方数中不含____________的因数或因式. 注:①判断最简二次根式,应紧紧抓住最简二次根式的定义;②如果被开方数是多项式时,应先因式分解,再来判断;③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2,即每个因式的指数都为1. 三、二次根式的化简 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤: ①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式,然后利用分母有理化进行化简;②如果被开方数是整数或整式,先将它分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来. 四、二次根式的加减 1、同类二次根式
第21章 二次根式
第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 (一)知识准备: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么? 4、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y= 3x ,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC 中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB 边的长是__________. 4
A C 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________. ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称 .因此,一般地,我们把形如a≥0)?的式子叫做, ”称为. (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0 例1 1 x x>0) 、 、 、 1 x y + x≥0,y?≥0). 例2.当x 在实数范围内有意义? (四)知识梳理 1.非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a必须是非负数。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解(基础) 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算,会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式,如1 3, ,0.02,02 等式子,都叫做二次根式. 要点诠释:二次根式a 有意义的条件是0a ≥,即只有被开方数0a ≥时,式子a 才是二次根式,a 才有意义. 2.二次根式的性质 (1); (2) ; (3). 要点诠释:(1) 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式,即a 2 a =(0a ≥), 如2 2211 22); );)33 x x ===(0x ≥).
(2)a 的取值范围可以是任意实数,即不论a . (3a ,再根据绝对值的意义来进行化简. (42 的异同 a 可以取任何实数,而2 中的a 必须取非负数; a ,2=a (0a ≥). 相同点:被开方数都是非负数,当a 2 . 3. 最简二次根式 (1)被开方数是整数或整式; (2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.次根式. 要点诠释:最简二次根式有两个要求:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释:判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开方数是否相同, 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 (1)乘除法法则: 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式: 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式: 0,0)a b =≥> 要点诠释: (1)当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则,如 = (2)被开方数a 、b 一定是非负数(在分母上时只能为正数).≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后,将同类二次根式的系数相加减,被开方数和根指数不变,
2019-2020年九年级数学上册 第21章 二次根式复习教案 新人教版
2019-2020年九年级数学上册第21章二次根式复习教案新 人教版 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子;2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 教学重点和难点 重点:含二次根式的式子的混合运算. 难点:综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 教学过程设计 一、复习 1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各式成立的条件. 指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的,主要应用于化简二次根式.2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来. 指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除, 计算结果要把分母有理化. 3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式: 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子:
二、例题 例1 x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义: 分析: (1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (3)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (4)题的分子是二次根式,分母是含x的单项式,因此x的取值必须使二次根式有意义,同时使分母的值不等于零. x≥-2且x≠0.
解因为n2-9≥0,9-n2≥0,且n-3≠0,所以n2=9且n≠3,所以 例3 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a>0. 解因为1-a>0,3-a≥0,所以 a<1,|a-2|=2-a. (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0. 这些性质化简含二次根式的式子时,要注意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足这些条件的.
第21章 二次根式单元测试题(一)及答案
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题(每小题2分,共20分) 1.下列式子一定是二次根式的是( ) 2.若 b b -=-3)3(2,则( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x A .b>3 B .b<3 C .b ≥3 D .b ≤3 3.下面计算正确的是( ) A.3=3=2 35= D.2=- 4.若x<0,则x x x 2-的结果是( ) 5.下列二次根式中属于最简二次根 式的是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2 A .14 B .48 C . b a D .44+a 6. 已知y =,则2xy 的值为( ) 7.化简 6 151+的结果为( ) A .15- B . 15 C .152- D . 15 2 A .3011 B .33030 C .30330 D .1130 8.小明的作业本上有以下四题:
①24416a a =; ②a a a 25105=?; ③a a a a a =?=1 12;④a a a = -23。做错的题是( ) A .① B .② C .③ D .④ 9.若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同,则a 的值为( ) A .4 3- =a B .34 =a C .a=1 D .a= —1 10. 计算2 2 1-631 +8的结果是( ) A .32-23 B .5-2 C .5-3 D .22 二、填空题(每小题2分,共20分) 11.①=-2)3.0( ;②=-2 )52( 。12.二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13.若m<0,则332||m m m ++= 。14.=?y xy 82 , =?2712 。 15.1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16.比较大小: 。 17.计算3 393a a a a - += 。18.232 31+-与的关系 是 。 19.若35-= x ,则562++x x 的值为 。20.化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题(第21~22小题各12分,第23小题16分,共40分) 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围: (1)43-x (2) a 83 1 - (3)42+m (4)x 1-
第二十一章 二次根式教案
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3(a≥0,b≥0); a≥0,b>0)a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1.a≥0)a≥0)是一个非负数;2=a(a≥0) (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)
二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0);
1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a第21章二次根式练习题(已整理)
6 21 2 .2 A 石 B 辰 C 屈 D 血1 3 ?、a A 屆 B 73a 2 3 C 肩 D V a 4 4 25 A 5 B V 5 C 5 D 5 5 9 A 3 B 3 C 3 D 81 6 7a 2 b 1 0 (a b )2007 A 1 B 1 C 32007 D 32007 7 A ( 2)0 0 B 3 2 9 C 晶 3 D V 2 73 75 8 J x 1 x A x 1 B x l C x 1 D x 9 P A 、 斤 B C 3.2 D 1 1 P 1 1 亠 i i i 3 2 1O 1 2 3 10 9 A d 2 46 B v'2 C 珂'8 4血 D <4 42 <2 11 V20n n A 2 B 3 C 4 D 5 12 A 恵昭晁 B 恵爲 C 78 4D 7( 3)2 3 1 x ___________ J x 3 2 侮 ______________ 3 d 2x 6 x 3 .5 4 A B C 4 A B
7、观察下列各式: 8计算:晶 ___________________ : 9. 一个三角形的三边长分别为、、8cm,12cm,、、18cm ,则它的周长是 cm 10. 当 1 x<5时, ~x 5 ____________________ 。 三、解答题 1、计算:(n 1)°屁 的. 四.解答题。 1.如图:面积为48cm 2的正方形四个角是面积为3cm 2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子, 求这个长方体的底面边长和高分别是多少?(精确到 0.1 cm,、、3 1.732 ) 2. 当 1v x V 5 时,化简:.x 2 2x 1 . x 2 10x 25 3. 若最简二次根式3x 10 2x y 5和. x 3y 11是同类二次根式 ⑴.求x 、y 的值。 ⑵.求x 、y 平方和的算术平方根。 n (n > 1)的等式表示出来 3、 8+ (- 1)3 — 2X 4、1 10 (3 15 5.. 6) 2 5、(3.6 ^.2 )(3.6 42) & (、. 5 2)2 ( 5 1)(、. 5 3) 8. 48 54 2 1 73 请你将发现的规律用含自然数 2、 ,12 ,18 ,0.5 7, 2.12
第二十一章二次根式
30 30 九年级数学第二十一章二次根式测试题(A ) 时间:45分钟 分数:100分 一、选择题(每小题 2分,共20分) 1 .下列式子一定是二次根式的是( ) A . x-2 B . . x C . x 2 2 D . 、、x 2 -2 2.若,3匚b )2 =3-b ,则() A . b>3 B . b<3 C . b > 3 D . b < 3 3 ?若..3m -1有意义,则 m 能取的最小整数值是( ) A . m=0 B . m=1 C . m=2 D . m=3 A . 0 B . — 2 C . 0 或一2 D . 2 5. ( 2005 ?岳阳)下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A . B . ^48 C . J 旦 D .』4a+4 \ b 6.如果?? xx -6 二 $x (x -6),那么() A . x > 0 B . x > 6 C . 0< X W 6 D . x 为一切实数 7. ( 2005 ?湖南长沙)小明的作业本上有以下四题: ■- 3^ - 2^ _ a 。做错的题是( ) A .① B .② C .③ D .④ 11 1 &化简J —+—的结果为() 15 6 B . 30 330 若x<0 ,则 ① 16a 4 =4a 2 ; D . 30 11 的结果是 ) ④
9. (2005 ?青海)若最简二次根式,1 a与一4 - 2a的被开方数相同,则a的值为() 3 4 A.a 二 B. a 二一 C. a=1 D. a= 1 4 3 10 .(2005 ?江 西) 化简 、8 - ? 2(、. 2 - 2)得() A.—2 B. 2 - -2 C. 2 D. 4.2-2 _ 、 填空题(每小题 2 分,共 20分) 11 .①、(-0.3) 2 : = :②-』(2 - %5)2 = 。 1 12. 二次根式 _________________ ——有意义的条件是。*'x -3 13. 若m<0,贝U | m | , m2 3. m3= ________ 14. < x x - x2 -1成立的条件是_______________________ 15 ?比较大小:2 3 ________ 13。 16. . 2xy ?8y 二,? 12 ?? 27 二___________ 。 3 — 3 ■ a 17 .计算a〔' ■■- 9a ■ _______ = 。 \ a J3 18. - 1十与駅+込的关系是___________________ 。 -<2 19. _____________________________________________ 若x - .5 -3「x2■ 6x ■ 5 的值为 _____________________________________ 三、解答题(第21~22小题各12分,第23小题24分,共48分) 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围: