关于亚纯函数的正规性
关于亚纯函数的正规性
【摘要】：本文主要分两部分进行，分别对正规族理论和分担值方面的一些问题进行了讨论研究．其中第一部分从方明亮提出的一个关于正规族与例外函数的问题进行了研究,拓展了Zalcman等人在这方面的成果，获得的一个主要定理是：令k≥2是一个整数，(?)是区域D 上的一族亚纯函数，所有的零点至少k+1级，极点均为重级．h是一个D上不恒为0、∞的亚纯函数.若对任意的f∈(?)，f~(k)(z)≠h(z)．则(?)在区域D上正规．在本文的第二部分提出了关于分担值与周期函数的一个猜测：若f是一个超越亚纯函数，满足f(z)∈E(?)f(z+1)∈E，其中E是由三个互异的有穷复数构成的集合．是否一定有f为周期函数?在这方面上进行了一系列的讨论工作，并在附加条件的情况下得到了定理：如果f是一个有限级的超越整函数，f(z)与f(z+1)CM分担两个有穷复数，则f(z)一定以1为周期．在这一部分还对J．Langley 的一个结果进行了一些简单的讨论．【关键词】：正规族例外函数分担值周期函数
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：O174.52
【目录】：中文摘要6-7英文摘要7-9第一章绪论9-111.1引言9-101.2本文的主要研究内容10-11第二章正规族与例外函数11-232.1背景介
绍11-122.2主要结果介绍12-132.3一些引理13-182.4定理的证明18-23第三章分担值与周期函数23-323.1背景介绍23-253.2主要结果25-273.3定理的证明27-303.4一个其它的成果30-32第四章总结与未来研究展望32-34参考文献34-39致谢39-40 本论文购买请联系页眉网站。
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数 摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等． 关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理 The Discussion of Integral Function and Meromorphic Functions Abstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ． Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphic function;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem 1 整函数的概念 定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数． 设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有 ()0 ()0.n n n f z c z z ∞ == ≤<+∞∑ 定理1 设()f z 为一整函数，则 (1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ， (2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式 ()010.m m m c c z c z c +++≠
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基
函数知识点及例题(有答案)解读
集合与函数 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0，不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 5、熟悉命题的几种形式、
(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.
3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．
三角函数有界性
Tony Maths Tony 状元课堂 专业成就未来 三角函数有界性 1. 函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是 2. 已知x ∈R 2(1)1x x x x +++的值为 3. 已知22arcsin(1)arcsin(1)2a b π +--≥，则22arccos()a b -= 4. 已知22sin 2sin cos 4ααβ-+=，那么αβ+= 5. 已知2020cot 21sin 1 θθ+=+，那么2(sin 2)(cos 1)θθ++的值为 6.（2019松江一模15）将函数()2sin(3)4f x x π =+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的 图像，若12()()9g x g x ?=，其中12,[0,4]x x π∈，则12 x x 的最大值为 7.（2016闵行二模理18）若函数()2sin 2f x x =的图像向右平移?(0)?π<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|4f x g x -=的1x 、2x ，有12||x x -的最小值为6π，则?= 8.（2014年虹口区二模理17 文18）已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为 9.若实数,x y 满足()()()2221122cos 1,1x y xy x y x y ++--+-=-+则xy 的最小值为 10. 设12,αα∈R ，且121122sin 2sin(2) αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 11. 设ω为正实数，若存在a 、b ，2a b ππ≤<≤，使得cos cos 2a b ωω+=，则ω的取 值范围是 12.（2018金山12）若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββα βα--≥---+，则sin()2β α+= 13.（2020浦东一模12）如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++???+=?? ++???+=? 有实数解，则正整数n 的最小值是
函数与表达式练习题
函数与表达式练习题 一、选择题 1、\,/,Mod,*四个算术符中.优先级最低的是（）. (A)\ (B) / (C) Mod (D) * 2.下列字符串常量中,最大的是（）. (A) "北京" (B) "上海" (C) "天津" (D) "广州" 3.表达式Int(8*sqr(36)*10^(-2)*10+0.5)/10的值是（）. (A) .48 (B) .048 (C) .5 (D) .05 4.表达式Val(".123E2CD")的值是（）. (A).123 (B) 12.3 (C) 0 (D) .123E2CD 5.系统符号常量的定义可以通过（）获得. (A)对象浏览器(B)代码窗口(C)属性窗口(D)工具箱 6.表达式(7\3+1)*(18\5-1)的值是（）. (A)8.67 (B)7.8 (C) 6 (D)6.67 7.表达式5^2Mod 25\2^2的值是（）. (A)1 (B)0 (C)6 (D)4 8.表达式25.28 Mod 6.99的值是（）. (A)1 (B)5 (C)4 (D)出错 9.下面表达式中,（）的运算结果与其他三个不同. (A) Exp(-3.5) (B) Int(-3.5)+0.5 (C) -Abs(-3.5) (D) Sgn(-3.5)-2.5 10.Int(100*Rnd(1))产生的随机整数的闭区间是（）. (A) [0,99] (B) [1,100] (C) [0,100] (D) [1,99] 11.产生[10,37]之间的随机整数的Visual Basic表达式是（）. (A) Int(Rne(1)*27)+10 (B) Int(Rnd(1)*28)+10 (C) Int(Rnd(1)*27)+11 (D) Int(Rnd(1)*28)+11 12.表达式Int(Rnd(0)+1)+Int(Rnd(1)-1)的值是（）. (A) 1 (B) 0 (C) 01 (D) 2 13.表达式Int( - 17.8) +Sgn(17.8)的值是（）. (A) 18 (B)-17 (C) -18 (D) -16
第一章 布尔表达式及其描述
第一章布尔表达式及其描述 布尔表达式是布尔代数上的按照一定规则形成的符号串。他是逻辑演算、逻辑电路总何等的有效形式化 符号描述。本章对布尔表达式相关的布尔代数、布尔函数以及布尔函数的规范式进行讨论；同时，讨论了 命题公式、逻辑电路和布尔表达式之间的联系，以及描述布尔表达式的真值表，决策树和二叉决策树。 1.1 布尔函数 布尔代数是英国数学家George Boole(乔治·布尔)19世纪提出来的将古典逻辑推理转化为符号数计算的技术。布尔代数是计算技术的自动化技术中逻辑技术的数学基础，因此布尔代数也成为逻辑代数。布尔函数是定义在布尔代数上的一类函数。 1.1.1 布尔代数 定义1.1.1 对于非空集合B(B中至少包含两个不同元素)，以及集合B上的二元运算“·”、“+”、一元代数“’”，集合B中的元素a，b，c∈B，称满足下述条件的多元组（B,+,·,’）为一个布尔代数： 交换律对任意a,b∈B，有: ①a·b = b·a ②a + b = b + a 分配律对任意a,b,c∈B，有: ③a·( b +c ) = (a·c)+(a·c) ④a + (b·c) = (a + b)+(a + c) 同一律 ⑤二元运算“+”存在单位元，称为布尔代数的零元，即存在0∈B，使得任意a∈B，有a+0=a; ⑥二元运算“·”存在单位元，称为布尔代数的单位元，即存在1∈B，使得任意a∈B，有a·1 = a 互补律对任意a∈B，存在a’∈B，满足： ⑦a·a’ = 0 ⑧a + a’ = 1 在上述定义中，元素a∈B所对应的a’∈B称为元素a的补元。为了简便起见，布尔代数（B，+，·，’）可简称为布尔代数B。在布尔代数B中，用来表示B中任意元素的符号称为布尔变量或者变元，而B中确定的元素称为布尔变量或常远。 定理1.1.1布尔代数B中的零元唯一。
连续函数性质
§ 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。 定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。 定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =， 则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合 函数g f 在点0x 连续。 证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。 （1）
又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>， 使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任 给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。 这就证明了g f 在点0x 连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从 而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<-
全纯函数
全纯函数 维基百科 全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。 解析函数（analytic function）一词经常可以和“全纯函数”互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。 全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数（entire function）。“在一点a全纯”不仅表示在a可微，而且表示在某个中心为a 的复平面的开邻域上可微。双全纯（biholomorphic）表示一个有全纯逆函数的全纯函数。 定义 若U为C的开子集而f : U→C是一个函数，我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable)，若极限 存在。 极限取所有趋向z0的复数的序列，并对所有这种序列差的商趋向同一个数 f '(z ). 直观上，如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0，则函数的像会0 从f '(z0) r方向趋近点f(z0)，其中的乘积是复数乘法。 这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的，并服从乘积，商和链式法则。 若f在U中每点z0复可微，我们称f在U上全纯。我们称f在点z0全纯，如果它在z0的某个邻域全纯。 下面是一个等价的定义。一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程. 例子 z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的。
所有z的三角函数和所有指数函数也是。 (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义)。 对数函数的主支在集合C - {z∈R : z ≤ 0}上全纯。平方根函数可以定义为 所以任何对数ln(z)全纯的地方，它也全纯。函数1/z在 {z : z≠ 0} 上全纯。 不是全纯的函数的典型例子有复共轭（complex conjugation）和取实部。 性质 因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看证明全纯函数解析。 若把C和R2等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。 在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。 柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 几个变量 多复变函数的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述： 一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。
连续函数的性质1
§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开 我们知道，如果?()z 在0z 的邻域内全纯，则?()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞ =；如果z 。是?(z)的一孤立奇点， 它可以在z 。的去心邻域展成Laurent 级数()n n n z z a ∑+∞ -∞ =-0。 亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。 设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即 ) () ()(z g Z h z f = . 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下 ()()...)(21z z z z a z g --= 由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式， ()()∑ ∞ -=k n k k k z z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数) 即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行
深入讨论。下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。由于tgz ＝ctg （2 π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法 即可。 我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。 因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得 ()()???+???---?=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 3 2121sin cos sin (1) 若12+=n m 是奇数，用公式()k k x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数 的偶次幂后，得 ()()x P x x n 2sin sin 12sin ?=+ （2） 其中()u P 为一个n 次幂整多项式。 如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式 ()()()()???? ??-???? ??-???? ? ?-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121) 从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。1 2,...,1 22,12+++=n n n n x πππ介于0与2 π之间， 且为递增序列，从而 .1 2sin ,...,122sin ,1 2sin 22 22 1+=+=+=n n u n u n u n π ππ
四类具有特殊性质的函数
§1 . 2四类具有特殊性质的函数 (一)教学目的: 理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质. （二）教学内容： 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法. （三）教学重点： 有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数. （四）教学难点： 有界函数的概念 教学建议： (1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性. （五）教学方法： 以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。 （六）计划课时：2课时. （七）教学过程： 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。 一、 有界函数 1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义。若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有
无界）.列表如下: 注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。 2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图： 3、举例如下 例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有 界，如下图所示： 说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈?>=?x x R x M 与有 例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x
运算符、布尔运算、表达式、标准函数
运算符、布尔运算、表达式、标准函数hb007 发表于 2006-3-22 19:24:26 一、运算符 1、算术运算符 例如： 4 + 5 = 9 8 - 3 = 5 2 * 3 = 6 12 * 2 4 = 408 5 / 2 = 2.5 34 / 12 = 2.83 5 div 2 = 2 123 div 4 = 30 5 mod 2 = 1 12 mod 5 = 2 2、逻辑运算符 它们的运算真值表如下： 3、关系运算符
例如：设a,b为标准数据类型的变量，则： a=b 如果a等于b结果为真，否则为假。 a<>b 如果a不等于b结果为真，否则为假。 ab 如果a大于b结果为真，否则为假。 a<=b 如果a小于等于b结果为真，否则为假。 a>=b 如果a在于等于b结果为真，否则为假。 例如： 5=5 结果为真。 5=10 结果为假。 false
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
布尔表达式的翻译程序设计
学号：0120910680328 课程设计 题目布尔表达式的翻译程序设计 学院计算机学院 专业软件工程 班级0903 姓名陈银 指导教师何九周 2012 年 1 月 2 日
布尔表达式的递归下降翻译程序设计 1引言 “编译原理”是一门研究设计和构造编译程序原理和方法的课程，是计算机各专业的一门重要的专业基础课。编译原理这门课程蕴含着计算机学科中解决问题的思路、形式化问题和解决问题的方法，对应用软件和系统软件的设计与开发有一定的启发和指导作用。“编译原理”是一门实践性较强的课程，要掌握这门课程中的思想，就必须要把所学到的知识付诸实践。而课程设计是将理论与实践相互联系的一种重要方式。 2概述 2.1设计题目 布尔表达式的递归下降翻译程序设计 2.2设计目的 课程设计是对学生的一种全面综合训练，是与课堂听讲、自学和练习相辅相成的必不可少的一个教学环节。通常，设计题中的问题比平时的练习题要复杂，也更接近实际。编译原理这门课程安排的课程设计的目的是旨在要求学生进一步巩固课堂上所学的理论知识，深化理解和灵活掌握教学内容，选择合适的数据逻辑结构表示问题，然后编制算法和程序完成设计要求，从而进一步培养学生独立思考问题、分析问题、解决实际问题的动手能力。 2.3设计任务内容 布尔表达式的文法： B → TB′ B′→ and T B′|ε T → FT ′ T′→ or FT′|ε F → not F |true｜false |（B）| i rop i 设计布尔表达式文法，给出该文法的属性文法，用递归下降分析法实现对布尔表达式的翻译，给出翻译的逆波兰式结果。
3设计环境与工具 Visual C++ 4设计原则 4.1基本方法 在本程序中，输入一段布尔语句，使用递归下降的方法得到其推到过程，并利用递归下降翻译的方法的到四元式序列，最终根据生成的四元式序列分析得到逆波兰式。 4.2属性文法 B → TB′ B’.in=T.type B′→ and T B′ B’.in=T.type addtype(and,entry,B.in) B′→εB’.val=ε T → FT T.in=F.type. T′→ or FT′ T’.in=F.type addtype(or,entry,B.in) T′→εT’val=ε F → not F F.val= not.F.val F → true F.val=true F → false F.val=false F →（B） F.val=B.val F →i rop i F.val=i.lexval rop i.lexval addtype(i，entry，l.in) 5简要的分析与概要设计 在该程序中，总共包括3个主要功能，第一个功能是对输入的布尔语句进行递归下降的分析，从而得出从文法到该布尔语句的推导过程，第二个功能是使用递归下降的方法，该布尔语句的四元式序列，第三个功能对四元式序列进行扫描并分析每个四元式的结构特点，并据此将四元式转化为逆波兰式。 main 函数的流程图如下：
函数的有界性和最值
第一节：函数的有界性和最值 一、有界性 定义1：设A 为函数()f x 定义域的子集，若M ?，使得x A ?∈有()f x M ≤(或()f x M ≥)， 则称()f x 在A 上有上(或下)界.称M 为它的一个上(或下)界. 定义2：设A 为函数()f x 定义域的子集，若()M x ?，使得x A ?∈有()()f x M x ≤(或()()f x M x ≥)，则称()f x 在A 上有上(或下)界函数.称()M x 为它的一个上(或下)界函数. 二、最值 略 三、例题讲解 例1、求证函数11()sin f x x x =在1(0,)2 x ∈上无上界. 证明：对于任意的0M >，只需证明01(0,)2 x ?∈使得()f x M >. 为此：取001,,()(2)sin(2)2,22222 x k N f x k k k k N k ππππππππ++=∈=++=+∈+ 要使得：2,2k M k N ππ++>∈，只需要1()22k M ππ>-，可取1[()]122 k M ππ=-+ 故函数11()sin f x x x =在1(0,)2x ∈上无上界. 例2、(北约2010) 1=的实根的个数. 3== 5== 所以：方程左边3521=- +≥>，从而方程无实根. 例3、2(),,f x x px q p q R =++∈，若()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值为M ，则M 的最小值为 . 解：11max ()x M f x -≤≤=，(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥= 则4112(1)(1)22M p q p q q p q p q q ≥+++-++-≥+++-+-=
连续函数的性质
§2 连续函数的性质 (一) 教学目的： 掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容： 连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求： 1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质． 2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别． (三)教学建议： 1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性 ———————————————————————————— 一 连续函数的局部性质 根据函数的在0x 点连续性，即)()(lim 00 x f x f x x =→可推断出函数)(x f 在0x 点的某邻域)(0x U 内的性态。 定理4.2（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。 定理4.3（局部保号性）若函数)(x f 在0x 点连续，且0)(0>>αx f ，则对任意αα<'<0存在0x 某邻域 )(,)(00x U x x U ∈ 时，0)(>'>αx f 定理4.4（四则运算性质）若函数则)(,)(x g x f 在区间I 上有定义，且都在I x ∈0 连续，则)(/)(,)()(,)()(x g x f x g x f x g x f ±（0)(0≠x g ）在0x 点连续。 例 因x y c y == 和连续，可推出多项式函数 n n n n a a x a x a x P ++++=--1)1(10)(
第三章：布尔代数分析与数字电路逻辑化简表示(不同的展开方式)
第二章：布尔代数及其分析 数字电路基于排列组合与数字集合论，和数理逻辑有一定距离。在逻辑函数的计算方面，使用数理逻辑的非计算，能够化简布尔表达式。布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现，并被命名为布尔代数。逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换. §1.布尔代数系统的基本内容 布尔代数系统建立在集合{0，1}上的运算和规则。布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介 数字函数表达式：12(,,...,)n Y F A A A =，其中：12,,...,n A A A 称为输入变量，Y 叫做输出变量，F 称为逻辑函数，表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。 def1在二值集{0,1}E =中，逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。 注：布尔变元可用大写字母，也可用小写字母表示，但是一定要保持一致性。 def2从n E 到E 的函数被称为n 度布尔函数，其中n E =011{,,...,,,01}n i x x x x E i n -<>∈≤≤- 说明：n 度布尔函数与n 元组逻辑函数是一个概念，定义域是()n In E 。 2布尔代数的基本运算和复合运算 表1：布尔代数与，或，非运算真值表 说明：①与运算表示只有全部输入变量都为1时，输出变量为1；其它输入变量组合，得到得输出都为0。②或运算表示只有全部输入变量都为0时，输出变量为0；其它输入变量组合，得到得输出都为1。③非运算是一元逻辑函数，实现集合的求补运算，输出变量的值是输入变量相对全集E 的补元.01;10.== 从真值表1可见,与,或运算有相同之处,函数值的划分集合中,两个子集形式相同:一个子集有三个输入序偶,另一个子集只有一个序偶元素.引入补元概念后,可以研究输入序偶之间的关系.建立与，或运算可能存在的对应关系，用到复合运算，见下表； B 分析：