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2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性精选教案理

2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性精选教案理
2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第14讲导数与函数的单调性精选教案理

第14讲 导数与函数的单调性

函数的导数与单调性的关系 函数y =f (x )在某个区间内可导,则

(1)若f ′(x )>0,则f (x )在这个区间内__单调递增__; (2)若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间内__单调递减__.

1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).

(1)若函数f (x )在区间(a ,b )上单调递增,那么在区间(a ,b )上一定有

f ′(x )>0.( × )

(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x )=0,则函数f (x )在此区间内没有单调性.( √ )

(3)导数为零的点不一定是极值点.( √ ) (4)三次函数在R 上必有极大值和极小值.( × )

解析 (1)错误.函数f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f ′(x )≥0,故f ′(x )>0是

f (x )在区间(a ,b )上单调递增的充分不必要条件.

(2)正确.如果函数在某个区间内恒有f ′(x )=0,则f (x )为常数函数.如f (x )=3,则f ′(x )=0,函数f (x )不存在单调性.

(3)正确.导数为零的点不一定是极值点.如函数y =x 3

在x =0处导数为零,但x =0不是函数y =x 3

的极值点.

(4)错误.对于三次函数y =ax 3

+bx 2

+cx +d ,y ′=3ax 2

+2bx +c .当Δ=(2b )2

-12ac <0,即b 2

-3ac <0时,y ′=0无实数根,此时三次函数没有极值.

2.函数y =12x 2

-ln x 的单调递减区间为( B )

A .(-1,1]

B .(0,1]

C .[1,+∞)

D .(0,+∞)

解析 函数y =12x 2-ln x 的定义域为(0,+∞),y ′=x -1x =(x -1)(x +1)

x ,令y ′≤0,

则可得0

3.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( B )

解析 由导函数图象知,x =0处导数最大,由几何意义知B 项正确.

4.已知函数f (x )=mx 3

+3(m -1)x 2

-m 2

+1(m >0)的单调递减区间是(0,4),则m =!!! 1

3

###. 解析 ∵f ′(x )=3mx 2

+6(m -1)x ,f (x )的递减区间为(0,4),则由f ′(x )=3mx 2

+6(m -1)x <0得0

?

Δ>0,f ′(0)=0,

f ′(4)=0

?m =1

3

.

5.函数f (x )=

sin x 2+cos x 的单调递增区间是 ??????2k π-2π3,2k π+2π3(k ∈Z ) ###. 解析 f ′(x )=

2cos x +1(2+cos x )2,由f ′(x )≥0得cos x ≥-1

2

∴x ∈?

?????2k π-2π3,2k π+2π3(k ∈Z ).

一 求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间的两种方法

方法一:(1)确定函数y =f (x )的定义域; (2)求导数y ′=f ′(x );

(3)令f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)令f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二:(1)确定函数y =f (x )的定义域;

(2)求导数y ′=f ′(x ),令f ′(x )=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根; (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间;

(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

【例1】 已知函数f (x )=x 4+a x -ln x -3

2

,其中a ∈R ,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))

处的切线垂直于直线y =1

2

x .

(1)求a 的值;

(2)求函数f (x )的单调区间.

解析 (1)f ′(x )=14-a x 2-1x ,f ′(1)=-3

4-a .

由题意,得-34-a =-2,解得a =5

4

.

(2)由(1)知,f ′(x )=14-54x 2-1x =x 2

-4x -5

4x 2

,f (x )的定义域为(0,+∞).由f ′(x )>0,得x 2

-4x -5>0(x >0),解得x >5;

由f ′(x )<0,得x 2

-4x -5<0(x >0),解得0

(a >0);

(2)f (x )=13x 3-12(a +a 2)x 2+a 3x +a 2

.

解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠0}.

f ′(x )=? ??

??x +a x ′=1-a x 2=1x 2(x +a )(x -a ). 要求f (x )的单调递减区间,不妨令f ′(x )<0,

则1

x

2(x +a )·(x -a )<0,解得-a

∴函数的单调减区间为(-a ,0)和(0,a ). (2)y ′=x 2

-(a +a 2

)x +a 3

=(x -a )(x -a 2

), 令y ′<0,得(x -a )(x -a 2

)<0.

①当a <0时,不等式解集为{x |a

},此时函数的单调递减区间为(a ,a 2

); ②当0

,a ); ③当a >1时,不等式解集为{x |a

},此时函数的单调递减区间为(a ,a 2

); ④当a =0,a =1时,y ′≥0,此时,无单调递减区间.

综上所述,当a <0或a >1时,函数y =13x 3-12

(a +a 2)x 2+a 3x +a 2

的单调递减区间为(a ,

a 2);

当0

,a );当a =0,a

=1时,无单调递减区间.

二 已知函数的单调性求参数的范围

由函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或

f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为

求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围.

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题.

(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性,区间I 中含有参数时,可先求出f (x )的单调区间,令I 是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.

【例3】 已知函数f (x )=x 3

-ax -1. (1)若f (x )在R 上为增函数,求a 的取值范围; (2)若f (x )在(1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围; (3)若f (x )在(-1,1)上为减函数,求a 的取值范围; (4)若f (x )的单调递减区间为(-1,1),求a 的值; (5)若f (x )在(-1,1)上不单调,求a 的取值范围.

解析 (1)∵f (x )在R 上为增函数,∴f ′(x )=3x 2

-a ≥0在R 上恒成立.∴a ≤3x 2

对x ∈R 恒成立.

∵3x 2

≥0,∴只需a ≤0.又∵a =0时,f ′(x )=3x 2

≥0,f (x )=x 3

-1在R 上为增函数,∴a 的取值范围是(-∞,0].

(2)∵f ′(x )=3x 2

-a ,且f (x )在(1,+∞)上为增函数,

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第13课时函数模型及其应用

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33~36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃,山脚的温度是26 ℃,则此山的高为________m. 答案:1 900 解析:(26-14.6)÷0.6×100=1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件,若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%,则3年后的产量为________件. 答案:1 331 解析:1 000×(1+10%)3 =1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20,底边长y 是关于腰长x 的函数,则该函数的定义域为________. 答案:(5,10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系式为v =2 000ln ? ?? ??1+M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案:e 6 -1 解析:由2 000ln ? ?? ??1+M m =12 000,得1+M m =e 6,所以M m =e 6 -1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函 数关系为P =? ????t +20,0

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章-导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的: 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。 教学重点: 1、导数和微分的概念与微分的关系; 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则; 3、基本初等函数的导数公式; 4、高阶导数; 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点: 1、复合函数的求导法则; 2、分段函数的导数; 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1.直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s ??=??, 这个比值可认为是动点在时间间隔t ?t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t ?t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f ??的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t ??=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2.切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT , 直线MT就称为曲线C有点M处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000) ()(tan x x x f x f x x y y ??=??=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x ??=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令, x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x ??→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x ?y =f (x 0+?x )?f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ???+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域 第三章 (对应学生用书(文)、(理)9~10页 ) 1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)=x +1+12-x 的定义域为________. 答案:{x|x≥-1且x≠2} 2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)=(x -1)2-1,x ∈{-1,0,1,2,3}的值域是 ________. 答案:{-1,0,3} 解析:f(-1)=f(3)=3,f(0)=f(2)=0,f(1)=-1,则所求函数f(x)的值域为{-1,0,3}. 3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)=2x 5x +1 的值域为____________. 答案:? ?????y|y≠25 解析:由题可得f(x)=2x 5x +1=25-25(5x +1).∵ 5x +1≠0,∴ f (x)≠25 ,∴ 值域为? ?????y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________.(填序号) ① f(x)=x 0,g(x)=1x ; ② f(x)=x x ,g(x)=x ; ③ f(x)=x 2,g(x)=(x)4; ④ f(x)=|x|,g(x)=? ????x ,x ≥0,-x ,x<0.

答案:④ 解析:两个函数是否为同一函数,主要是考查函数三要素是否相同,而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的,故只须判断定义域和对应法则是否相同,④符合. 5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)=x 2-2x ,x ∈[a ,b]的值域为[-1,3],则 b -a 的取值范围是________. 答案:[2,4] 解析:f(x)=x 2-2x =(x -1)2-1,因为x∈[a,b]的值域为[-1,3],所以当a =-1 时,1≤b ≤3;当b =3时,-1≤a≤1,所以b -a∈[2,4]. 1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. (2) 求定义域的步骤 ① 写出使函数式有意义的不等式(组). ② 解不等式组. ③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出). (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零. ② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R . ④ y =a x ,y =sinx ,y =cosx ,定义域均为R . ⑤ y =tanx 的定义域为{x|x≠k π+π2,k ∈Z }. ⑥ 函数f(x)=x a 的定义域为{x|x≠0}. 2. 函数的值域 (1) 在函数y =f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域. (2) 基本初等函数的值域 ① y =kx +b(k≠0)的值域是R . ② y =ax 2+bx +c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac -b 24a ,+∞);当a<0时,值域为? ???-∞,4ac -b 24a . ③ y =k x (k≠0)的值域为{y|y≠0}. ④ y =a x (a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤ y =log a x(a>0且a≠1)的值域是R . ⑥ y =sinx ,y =cosx 的值域是[-1,1]. ⑦ y =tanx 的值域是R . 3. 最大(小)值 一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M); (2) 存在x 0∈I ,使得f(x 0)=M ,那么称M 是函数y =f(x)的最大(小)值. [备课札记]

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分 【内容提要】 1.导数的概念 设函数y =f (x )在x 0的某邻域(x 0-δ,x 0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时,相应地,函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-.若0→?x 时,极限x y x ??→?0lim 存在,则称函数y =f (x )在x =x 0处可导,称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数, 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时,改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数,记为)(0x f +'。 -→?0x 时,改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数,记为)(0x f -'。 2.导数的意义 导数的几何意义:)(0x f '是曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义:路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推,速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3.可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导,则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。 4.导数的运算 定理1(代数和求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则 v u v u '±'='±)( 定理2(积的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则 v u v u uv '+'=')( 定理3(商的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,且v (x )≠0,则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增, 在 (- ( 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ,导函数为 f '( x) , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1,3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】(I ) f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ,(下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ,到了分类讨论的时机,分 类标准是零) 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减; 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表: x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时, f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减; a a (II )由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由(I )知, f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机,分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个, 1)分类讨论的时机,也就是何时分类讨论,先按自然的思路推理, 由于参数的存在,到了不能一概而论的时候,自然地进入分类讨论阶段;(2)分类讨论的标准,要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是,最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 , 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数,求 a 的取值范围

2014年全国高考数学分类详解 第二章 函数与导数

第二章 函数与导数 一、函数及其表示 14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上 的解析式为f (x )=? ????x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 (一) 导数的概念(见§2.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)理解导数的概念及其几何意义,了解函数的可导性与连续性之间的关系。 (ⅱ)了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1. 用导数定义求证下列导数公式,并记忆下列公式(每题4分) (1)0)(='C (2)21 )1(x x - =' (3)x x 21)(=' (4)x x sin )(cos -=' (5)a a a x x ln )(=' (6)1 )(-='μμμx x (ⅱ)确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2.(6分)求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解:x y 1' = ,1)1(' ==k y ,所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3.(6分)求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解:4 3 x y =,41 ' 43-=x y ,4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ,即4 143+=x y (ⅲ)科技中一些量变化率的导数表示 4.填空题(每题4分) (1)若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =,则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T (2)若某地区t 时刻的人口数为)(t N ,则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 (ⅰ)分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 (1)(7分)|sin |x y =

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 )(1)(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ

可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.(06江西卷)对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -1) f ' (x ) ≥0,则必有( C ) A . f (0)+f (2)<2f (1) B. f (0)+f (2) ≤2f (1) C. f (0)+f (2) ≥2f (1) D. f (0)+f (2) >2f (1) 解:依题意,当x ≥1时,f ' (x )≥0,函数f (x )在(1,+∞)上是增函数;当x <1时,f ' (x )≤0,f (x )在(-∞, 1)上是减函数,故f (x )当x =1时取得最小值,即有f (0)≥f (1),f (2)≥f (1),故选C 2.(06全国II )过点(-1,0)作抛物线y=x 2+x +1的切线,则其中一条切线为 (A )2x+y +2=0 (B )3x-y +3=0 (C )x+y+1=0 (D )x-y+1=0 解:y '=2x +1,设切点坐标为(x 0,y 0),则切线的斜率为2x 0+1,且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0),因为点(-1,0)在切线上,可解得 x 0=0或-4,代入可验正D 正确。选D 3.(06四川卷)曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D (A )y=7x+4 (B )y=7x+2 (C )y=x-4 (D )y=x-2 解:曲线y =4x-x 3,导数y '=4-3x 2,在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1,所以切线方程是y=x-2,选D. 4.(06天津卷)函数f (x )的定义域为开区间(a,b ),导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D . 4个 解析:函数f (x )的定义域为开区间(a,b ),导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示,函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A. 5.(浙江卷)f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解:f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2),令f ' (x )=0可得x =0或2(2舍去),当-1≤x <0时,f ' (x )>0,当0

高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用

第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30~32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)=x 3 -15x 2 -33x +6的单调减区间为______________. 答案:(-1,11) 解析:f′(x)=3x 2 -30x -33=3(x -11)(x +1),由(x -11)(x +1)<0,得单调减区间为(-1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)=e x -ax 在x =1处取到极值,则a =________. 答案:e 解析:由题意,f ′(1)=0,因为f′(x)=e x -a ,所以a =e. 3. (选修22P 34习题8)函数y =x +sinx ,x ∈[0,2π]的值域为________. 答案:[0,2π] 解析:由y′=1+cosx ≥0,所以函数y =x +sinx 在[0,2π]上是单调增函数,所以值域为[0,2π]. 4. (原创)已知函数f(x)=-12x 2 +blnx 在区间[2,+∞)上是减函数,则b 的取值范 围是________. 答案:(-∞,4] 解析:f′(x)=-x +b x ≤0在[2,+∞)上恒成立,即b≤x 2 在[2,+∞)上恒成立. 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90°角,再焊接而成,则该容器的高为________cm 时,容器的容积最大. 答案:10 解析:设容器的高为xcm ,即小正方形的边长为xcm ,该容器的容积为V ,则V =(90- 2x)(48-2x)x =4(x 3-69x 2+1080x),00;当10

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3,则() A.a-2b=0B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 答案 D 解析y′=3ax2+2bx,据题意, 0、1 3是方程3ax 2+2bx=0的两根 ∴-2b 3a= 1 3,∴a+2b=0. 2.当函数y=x·2x取极小值时,x=() A. 1 ln2B.- 1 ln2 C.-ln2 D.ln2 答案 B 解析由y=x·2x得y′=2x+x·2x·ln2 令y′=0得2x(1+x·ln2)=0 ∵2x>0,∴x=- 1 ln2 3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则() A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0, ∴b>0,f′(1)=3-3b>0,∴b<1 综上,b的范围为0<b<1 4.连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是() A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点 B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点 C.x=-1不是函数f(x)的极值点 D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>-1时,f′(x)>0 x<-1时,f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(-∞,-1)单减,在(-1,+∞)单增,∴x=-1为极小值点.

5.函数y =x 33+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是( ) A .-173 B .-103 C .-4 D .-643 答案 A 解析 y ′=x 2+2x -3. 令y ′=x 2+2x -3=0,x =-3或x =1为极值点. 当x ∈[0,1]时,y ′<0.当x ∈[1,2]时,y ′>0,所以当x =1时,函数取得极小值,也为最小值. ∴当x =1时,y min =-173. 6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象,如右图所示,则( ) A .x =1是最小值点 B .x =0是极小值点 C .x =2是极小值点 D .函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知,x =0,x =2为两极值点,x =0为极大值点,x =2为极小值点,选C. 7.已知函数f (x )=12x 3-x 2-72x ,则f (-a 2)与f (-1)的大小关系为( ) A .f (-a 2)≤f (-1) B .f (-a 2)

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值,则常数c= 6 ; 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二:利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程: (1)曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线;(2)曲线y x2 过点P(3,5)的切线; 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值,求f (x) 的表达式; (Ⅰ)若函数 y =f (x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y =f (x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围(Ⅲ)若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值,且f (-2) =-4 . (1)求函数y =f (x) 的表达式; (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值; 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) . f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切,切点横坐标为2,且f(x)在x = 1 处取极值,(1)若 a, b 的值; 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 (2)当b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 点.题型四:利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( 6.如右图:是 f(x)的导函数, D )

3 (A ) (B ) (C ) (D ) y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8.方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 (1)求函数 f (x ) 的单调区间、极值. (2)若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时,恒有| f ' (x ) |≤ a ,试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f (x )=x3+ax2+bx +c 在 x =- 3 与 x =1 时都取得极值(1)求 a 、b 的值与函数 f (x )的单调区间 (2)若对 x ∈〔-1,2〕,不等式 f (x ) 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x 0 ≥1, f (x ) ≥1,且 f ( f (x 0 )) = x 0 ,求证: f (x 0 ) = x 0 .

高考数学第二章函数与导数第3课时函数的单调性

第二章函数与导数第3课时函数的单调性第三章(对应学生用书(文)、(理)11~12页) 1. (必修1P54测试4)已知函数y=f(x)的图象如图所示,那么该函数的单调减区间是

________. 答案:[-3,-1]和[1,2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中,在区间(0,2)上是单调增函数的是________.(填序号) ① y =1-3x ;② y=-1x ;③ y=x 2 +1;④ y=|x +1|. 答案:②③④ 3. (必修1P 44习题4改编)函数y =f(x)是定义在[-2,2]上的单调减函数,且f(a +1)2a , 解得-1≤a<1. 4. (必修1P 44习题3改编)函数y =(x -3)|x|的单调递减区间是________. 答案:???? ??0,32 解析:y =(x -3)|x|=?????-x (x -3),x<0,x (x -3),x ≥0, 画图可知单调递减区间是??????0,32. 5. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)=mx 2 +x +m +2在(-∞,2)上是增函数,则 实数m 的取值范围是________. 答案:???? ??-14,0 解析:当m =0时,f(x)=x +2,符合;当m≠0时,必须?????m<0,-12m ≥2,解得-1 4≤m<0.综 上,实数m 的取值范围是-1 4 ≤m ≤0.

1. 增函数和减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数.(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间). 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法:利用定义严格判断. (2) 利用函数的运算性质. 如若f(x)、g(x)为增函数,则:① f(x)+g(x)为增函数;② 1 f(x) 为减函数(f(x)>0); ③ f(x)为增函数(f(x)≥0);④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤ -f(x)为减函数.

高三数学重点知识:导数及其应用

2019年高三数学重点知识:导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识:导数及其应用,以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识,轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行,则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1);(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3,直线x=1,x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案: 2.答案:6 3.解:的定义域为. 当时,;当时,;当时,.

从而,分别在区间,单调增,在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案:6 5.答案:(1) 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义:与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心,2为半径的四分之一个圆,其面积即为(图略) 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重

2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示课时训练

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示 1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个. ① A =N ,B =N *,f :x →y =|x -2|; ② A ={1,2,3},B =R ,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; ③ A =[-1,1],B ={0},f :x →y =0. 答案:2 2. 已知函数y =f(x),集合A ={(x ,y)|y =f(x)},B ={(x ,y)|x =a ,y ∈R },其中a 为常数,则集合A ∩B 的元素有________个. 答案:0或1 解析:设函数y =f(x)的定义域为D ,则当a ∈D 时,A ∩B 中恰有1个元素;当a ?D 时,A ∩B 中没有元素. 3. 若f(x +1)=x +1,则f(x)=___________. 答案:x 2-2x +2(x ≥1) 解析:令t =x +1,则x =(t -1)2,所以f(t)=(t -1)2+1. 4. 已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数,且φ????13=16,φ(1)=8,则φ(x)=________. 答案:3x +5 x (x ≠0) 解析:由题可设φ(x)=ax +b x ,代入φ????13=16,φ(1)=8,得a =3,b =5. 5. 已知函数f(x)=3x -1,g(x)=? ????x 2-1,x ≥0,2-x ,x<0.若x ≥1 3,则g(f(x))=________. 答案:9x 2-6x 解析:当x ≥1 3 时,f ()x ≥0,所以g(f(x))=(3x -1)2-1=9x 2-6x. 6. 工厂生产某种产品,次品率p 与日产量x(万件)间的关系为p =? ?? 1 6-x ,0c (c 为常数,且0c 解析:当x>c 时,p =23,所以y =????1-23·x ·3-23·x ·32=0;当0

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