1.李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款,(1)在每年10%的单利下,求1994年1月1日的存款额。(2)在年利率8%的复利下,求1994年5月1日的存款额。 解:(1)5000×(1+4×10%)=7000(元)
(2)5000×(1+10%)4.33=7556.8(元)
2.把5000元存入银行,前5年的银行利率为8%,后5年年利率为11%,求10年末的存款累计额。 解:5000(1+8%)5×(1+11%)5=12385(元)
3.李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。(1)求在复利11%下1990年1月1日的现值。(2)在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。
解:(1)10000×(1+11%)-4=5934.51(元)
(2)10000×(1-11%)4=6274.22(元)
4.假设1000元在半年后成为1200元,求
⑴ )2(i ,⑵ i, ⑶ )
3(d 。
解:⑴ 1200)2
1(1000)
2(=+?i ;所以4.0)2(==i ⑵2
)2()2
1(1i i +=+;所以44.0=i ⑶n n m m n
d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()
(1)(;
所以, 13)3()1()3
1(-+=-i d ;34335.0)3(=d
5.当1>n 时,证明:
i i
d
d n n <<<<)
()
(δ。
证明:①)
(n d d <
因
为
,
+?-?+?-?=-=-3)
(3
2)(2)(10)()()(1)1(1n
d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n
)
(1n d
->
所以得到,
)
(n d
d <;
②
δ<)(n d )1()
(m
n e
m d
δ-
-=;m
m C m C m C m e
n
n
n
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
-
>-?+?-?+-
=-
1)()()(14
43
32
2
所以,
δ
δ
=--<)]1(1[)(m
m d n
③
)(n i <δ
i n i n n +=+1]1[)(, 即,δ
=+=+?)1ln()1ln()
(i n
i n n
所以,
)1()(-?=n n e n i δ
m m C m C m C m e n
n
n
n
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+>+?+?+?++
=1)()()(14
43
32
2
δ
δ
=-+>]1)1[()
(n
n i
n
④
i i
n <)
(
i n
i n
n +=+1]1[)
(,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+ 所以,
i i
n <)
(
6.证明下列等式成立,并进行直观解释:
⑴
n
m
m n m a v a a +=+;
解:i
v a n
m n m ++-=
1,i
v a m
m -=
1,
i
v
v i v v a v n
m m n m
n m +-=-=1
所以,n m n
m m m n m
m a i
v v v a v a ++=-+-=+1
⑵n
m
m n m s v a a -=-;
解:i
v
a n
m n
m ---=
1,
i
v a m
m
-=
1,
i
v v s v n m m n m
--=-
所以,n
m n
m m
m
n m
m
a i
v
v v s v a --=-+-=-1
⑶
n
m
m n m a i s s )1(++=+;
解:i i s
m
m
1)1(-+=,i
i i i i i s i m n m n m
n
m )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++
所以,n m m
n m m n m
m
s i
i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(
⑷n
m
m n m a i s s )1(+-=-。
解:(同上题)略。
7.某人今年30岁, 其计划每年初存300元,共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%,后20年为12%,求每年能取的养老金额。
解:2
10
220211012020210
301)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s -+++?-+=++?=
所以60岁时存款有
5.5975930030=?s (元)
由此知,
20
20s a X =?,可得X=7774.12(元)
8.某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%,求每次能够提取的最大金额。
解:
82.22880950001
20=?=?=?∞s i
X A X 。所以79.18304=X (元)
9.证明:
⑴
n
n n a s a i
a ?==
1δ
;
证明:
n
n n
n a i
i i v v a ?=?-=-=
δ
δδ
11
δδi i s =-+=1)1(1,所以n n a s a ?=1
⑵δ
δ
n n e a --=1; δ
δ
δ
δ
δ
δn n
n n
n e e i v a ----=
-=
+-=
-=
1)(1)
1(11
⑶
δ
δ
1
-=
n n e
s 。
证明:
δ
δ
δ
δ
δ1
1
)(1
)1(-=
-=
-+=n n
n
n e
e i s
10.假设每年第一年收付200元,以后每隔一年增加收付100元,增加到一次收付1000元时不在增加,并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%,求这一年金的现值。
解:
94
.436211000)1(8100
)1(1001000)(1001009881
91=??++-++=++=--∞
v i
i
i a
i a Ia a a
1.依据生命表的基础填充下表:
x
x l
x d
x p
x q
0 1000 100 0.9 0.1 1 900 150 5/6 1/6 2 750 150 0.8 0.2 3 600 300 0.5 0.5 4 300 180 0.4 0.6 5 120 120 0 1 6
3.已知)120
1(1000x
l x -=,计算: ⑴0l
,120l ,
33d ,3020p ,2030q ;
⑵25岁的人至少再活20,最多活25年的概率; ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。
解:⑴1000)120
1(10000
=-=l ;0)1201201(1000120=-=l 325
1201100034
3333=
?=-=l l d
9
7305030
20
==l l p ;3
.020
50202030=-=l l l q
⑵19
125504525
5
20=
-=l l l q
⑶
074646449.0)19
8()(3
3258025
55===l l p
4.若)(100000x
c x c l x
+-=,44000
35=l ,求:
⑴c 的值;
⑵生命表中的最大年龄; ⑶从出生存活到50岁的概率;
⑷15岁的人在40~50岁之间死亡的概率。
解:⑴44000)35
35
(10000035
=+-=c c l
。所以,c=90
⑵0)9090(100000=+-=x
x
l x
,所以,90=ω ⑶13
40500
50==l l p ⑷32155040151052=-=l l l q 。
5.证明并作直观解释:
⑴
x
m n x n x m
n p p q +-=;
证明:
x m n x n x
m
n x x n x x m n x n x x m n p p l l l l l l l q +++++++-=-=-= ⑵
n x x n x n
q p q +?=;
证明:n x x n n
x n x x n x x n x x n x n x x n
q p l l l l l l l l l q +++++++++?=?-=-=1
1
⑶n
x m x n x m
n p p p ++?=。
证明:n x m x n n
x m
n x x n x x m n x x m n p p l l l l l l p ++++++++?=?== 6.证明:
⑴
?
-++=x
x t x t x l dt l ωμ0;
⑵
?
-+=x
t x x t
dt p ωμ0
1;
⑶)(t x x x t x t p p x
+-?=??
μμ;
⑷t x x t x t p p t
+?=-??
μ。
证明:⑴x x
x x x x t x t x l l l l l dt l =-=-=?
--++++ωωωμ0
⑵?
??
--+-+-++++=-?-=?-=-=x
x x x x
x
t
x x x
t x t x x t x t x x t
l l l dl l dl l l l dt p ωωωωμ0
1)(1
111;
⑶
)()()()(2
t x x x t x
x t x t x x t x x t x x t x x t x x x t x x t
x x t p l Dl l Dl l l l Dl l Dl l l Dl l Dl l l x p x +++++++++-?=-=-=?-?=??=
??μμ
⑷t x x t t
x t x x t x x t x x t
x x t p l Dl l l l Dl l l x p t ++++++?=-?==??==??μ)(。 7.分别在死亡均匀分布,死亡力恒定和鲍德希假设下,用课本附表1给出的生命表计算:
⑴
25
4
1
q ;⑵40
2
15
q ;⑶
3
150
μ
。
解:⑴00030575.015.9565049802
.11641125252525
4
1=?=?=?=-=l d q t p q x t 略。
8.若774640=l ,768141=l ,计算
4
1
40μ
:
⑴死亡均匀分布假设; ⑵鲍德希假设;
⑶假设x l x
-=1001000。
解:⑴
008409068.0140
40
4
140
=?-=q t q
μ
;
⑵
008426834
.0,140
414
140
=∴=====-?-μμ
μ
μ
μe l l p t e p x
t
x t 可令
⑶
008444573
.0)1(14
140=--=x
x
q t q μ
。 9.证明在鲍德希规律下,x n q 与n 无关。
证明:
x
x s n x s n x s q x
x s x n
-=
++-+=-
=ωω
1
)()1()(1)(
所以,x
n q
与n 无关。
1. 某人10岁买了定期生存保险,这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金,以附表2转换函数值计算这一年金现值。
解:
5.45522775.020002000200010
1
881018101088=?=-=?+++++N N N a (元) 2.证明下列等式成立,并解释其含义。
⑴
1+=x x x a
vp a ;
证明:111++=-=-==x x x x
x
x x x x a vp a
D D N D N a ⑵
11++=x x x a vp a
;
证明:
11+=-x x x a vp a
所以,
11++=x x x a vp a
⑶)1(::x n n
x n x E a a -+= ; 证明:
n x x
n
x x x
n X n x x x x n X x n x x x n n
x a
D N N D D N D N D D D N N
E a :1111:)()1()1( =-=+-+=
-+-=-++++++++++
⑷n x x n n
x n
a p v a +??=;
证明:n x x n n
n x n x x n n x
n x n x x n x n x x
n a p v D N p v E D N E D N a ++++++++??=??=?==111 ⑸n
m x x m m
m x m n x a p v a a :::++??+=;
证明:
m
n x x
n m x x x n m x m x x m x x n
m x x m m
m x x
n m x m x m x n m x m x x m n
m x x m m
x
m x x m x x
m n x x m n x a D N N D N N D N N a p v a D N N D N N E a p v D N N a D N N a ++++++++++++++++++++++++++++++++++=-=-+-=??+∴-=
-?=??-=
-=:111111::1
111:1
1:1
1:
⑹
11)1(--+=?x x x a i a
p
证明:
11
11111111)1(---------+=???=??=?=?x x x x
x x x x x x x x x x a i D p v N p D E N p D N p a p 3.某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。假设购买后次月开始给付,求k 值。
解:62
.33850000
)241126683.12(12)122112(121250)12(50
==+?=?-+?=?k k a k a k
4.给付50岁的人每月200元,第一次从60岁开始,共付10年的生存年金转换函数表达式。
解:
)24
13
(24002400240070605010)
12(10
:605010)12(50
1010a a E a E a
-+??=??=?
7.以转换函数表达下面变动年金的现值。对(x )第一年末给付1000元,以后每年比上年增加给付500元,,当年给付金额达到5000元时,又以每年1000元的幅度递减,直到1000元后保持不变,直到被保险人死亡为止。
解:1414
4
:998:1000)(1000)(500500++??+?++x x x a v Da v Ia v 8.假设对所有x ,有x x p r p )1(+=',证明以利率i 和x p '为基础计算的终身年金现值与以r
r i i +-=
'1和x p 为基础计算的终身年金现值相等。 解:以'
,x p i 为计算基础
t
x x x t
t t
x x x t t x
t
t x x p p p r i
p p p i tp v tE a ++++∞
=∞=??+?+=??+=?==∑∑∑∑ 1''1'1
'1)1()11()11( 以r
r
i i +-=
1'、x p 计算 t
x x x t t
x x x t
t x t
t x x p p p i
r p p p i tp v tE a ++++∞
=∞
=??++=??+=?==∑∑∑∑ 111
1)11()11(
1.假设10.0),115
1(1000=-=i x
l x
,求50岁的人投保100000元终身寿险的精算现值。
解:
)1(115
10001
+=-=++t l l d t x x x
∑=++??
=115
0150
50)]1([1
100000100000t t t v l A 2.某保单规定,若被保险人在投保后20年内死亡,则在第20年末给付1单位保险金,若被保险人在投保20年以后死亡,则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对(x )的保单精算现值的表达式。 解:
x
x t t
x t t t x
t t A q v
q v q v
A 2019
20
20
1
19
20
)(
)()(+=+=∑∑∑=∞
=+=
3.某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险,求这一保单的精算现值。
解:x n m x m x x t n
m m
t t n
x m
D M M q v A ++++=+-=
?=∑1
:
所以
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。