导数应用论文
导数的应用
目录
[摘要] (2)
一.引言 (2)
二．导数的概念 (2)
三．导数的求法 (3)
1．显函数导数 (3)
1．1导数的四则运算： (3)
1．2复合函数与反函数求导法则 (3)
1．3基本初等函数求导公式 (3)
2．隐函数导数 (4)
3．由参数方程所确定的函数求导法 (4)
4．分段函数的导数 (4)
四．导数的性质 (4)
五．导数的应用 (5)
1．导数在函数中的应用 (5)
1．1利用导数判断函数的单调性 (6)
1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7)
1．3利用导数求函数的极值和最值 (8)
1．4利用导数知识描绘函数图形 (13)
1．5利用导数求参数问题 (15)
2．导数在曲线中的应用 (16)
3．利用导数研究方程的根 (17)
4．应用导数证明不等式 (17)
5．导数在数列中的应用 (18)
6．利用导数求极限——洛必达法则 (19)
6．1“0
”型和“
∞
∞
”型 (19)
6．2其他形式 (20)
7．物理学中的导数 (20)
8．经济学中的导数应用 (21)
结束语： (22)
参考文献： (22)
[摘要]
导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识
本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用
[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用
一.引言
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：
①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。
③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。
二．导数的概念
1、定义：
0'0000
()()()()
()lim
lim lim
x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ?→?→→-?+?-===??- 左导数：0'00
00()()()()
()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x -
--
-?→?→→-?+?-===??- 右导数： 0
'00
00()()()()
()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x +
++
+?→?→→-?+?-===??- '''()()()f x A f x f x A -+∴=?==
可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件
连续是可导的必要条件
导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x
?→?→?+?-===??
2.导数的几何意义（图1）
曲线()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示为：曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线的斜率。即'0()tan f x α=（α是过A 点的切线的倾斜角）（如图1）
则，曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线方程为：'000()()
y y f x x x -=- 三．导数的求法
1．显函数导数 1．1导数的四则运算：
'
'
'
()u v u v ±=± '
'
'
()uv u v vu =+ '''2
()u u v v u
v v -=
1．2复合函数与反函数求导法则
'''x u x y y u = ()y u x -- 复合函数求导法则
'
'1
x y
y x =
（反函数求导法则） 1．3基本初等函数求导公式
'()0()c c =为常数； '1()x x ααα-=； ''()ln ,()x x x x a a a e e ==；
''11
(log ),(ln )ln a x x x a x
== ； '(sin )cos x x = ； '(cos )sin x x =- ； '
21(tan )cos x x =
； '
21(cot )sin x x =- ； (arcsin )'x =
；
(arccos )'x = ； 21(arctan )'1x x =
+ ； 2
1
(arccot )'1x x =-+。
2．隐函数导数
如方程(,)0F x y =，能确定()y y x =，只需对方程两边对x 求导即可。注意
()y y x =
3．由参数方程所确定的函数求导法
参数方程'
1(),(()0,()())()x t t x t t x y t ?φ??φ-=?≠==?=?存在反函数，则：y 为x 的复
合函数，1
[()]y x φ?-=，所以：''''''()
()
t x t x
t y t y y t x t φ?===
4．分段函数的导数
对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。
分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。
四．导数的性质
前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系
性质1：若函数()y f x =是偶函数且可导，则其导函数'()y f x =是奇函数。 证明：由()y f x =是偶函数，有()()f x f x -=
则：'00()()()lim
lim x x y f x x f x f x x x
?→?→?-+?---==??
'00()()()()
lim
lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x
?→?→-?--?-==-=-?-? 所以，'()y f x =是奇函数
同理：若函数()y f x =是奇函数且可导，则其导函数'()y f x =是偶函数。 性质2：若函数()y f x =是周期函数且可导，则其导函数'()y f x =也是周期函数。
证明：()y f x =是周期，有()()f x T f x +=
'00()()()lim
lim x x y f x T x f x T f x T x x
?→?→?++?-+∴+==??
'0()()
lim
()x f x x f x f x x ?→+?-==? 所以，'()y f x =是周期函数
性质3：若函数()y f x =可导且图象关于直线x a =对称，则其导函数'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称
证明：函数()y f x =图象关于x a =对称，有()(2)f x f a x =-
'0(2)(2)
(2)lim
x f a x x f a x f a x x
?→-+?---=?
'0()()
lim
()x f x x f x f x x
?→-?-=-=--? 且点'(,())a f a 在'()y f x =的图象上，所以'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称 同理：若函数()y f x =可导且图象关于点'(,())a f a 对称，则其导函数
'()y f x =图象关于直线x a =对称
五．导数的应用
1．导数在函数中的应用
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最
佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题
1．1利用导数判断函数的单调性
一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间
从图形直观分析：若在(,)a b 内，曲线上每一点
的导数都大于0，即'()0f x >，利用导数的几何意义知，在(,)a b 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即
函数()y f x =是单调递增的（如图2）。反之，
若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数()y f x =是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x
轴（此点的导数值为0，即'()0f x =）。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：
定理1：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则：
①若(,)x a b ∈时恒有'()0f x >，则()f x 在(,)a b 单调增加； ②若(,)x a b ∈时恒有'()0f x <，则()f x 在(,)a b 单调减少。 例1：求函数()cos sin (0)f x x x x x =-≥单调递增区间 解：因'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-，由'()0f x > 得(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈ 所
以
，
(
)
c o s
s f x x x x
x =-≥单调
递增区间为
(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈
例2：已知函数2()(0,)ax f x x e a e =≤为自然对数的底数，试讨论函数()f x 单调性。
分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。（此题是04年湖南高考题）
解：因'2()2(2)ax ax ax f x xe ax e x ax e =+=+，所以 （1）当0a =时，令'()0f x =得0x =；
若0x >，则'()0f x >，从而()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；
（2）当0a <时，令'()0f x =得0x =或2
x a
=-；
若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；
若20a a <<-
，则'()0f x >，从而()f x 在2
[0,)a -上单调递增； 若2a a >-，则'()0f x <，从而()f x 在2
[,)a
-+∞上单调递减。
1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点
在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下
降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图4所示的函数()y f x =的图形在区间(,)a b 内虽然是一直
上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：
定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）
那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？ 按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判定定理。
定理2：设函数()y f x =在区间(,)a b 上具有二介导数， ①当''()0f x <时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）
②当''()0f x >时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）
若曲线()y f x =呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x 增大时，切线斜率随之变小，说明一介导数函数'()f x 在(,)a b 上为减函数，由函数单调性判别法，必有''[()]0f x <，即
''()0f x <。说明：若曲线为凸性，必有''()0f x <。同理，若曲线为凹，必有''()0f x >。
从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。
定义2：若函数()f x 在点0x x =的左右邻域上凹凸性相反，则点00(,())x f x 叫做曲线的拐点（注意拐点不是0x ）
由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否异号，与该点一介、二介导数是否存在无关
例3、求函数43341y x x =-+的凹凸区间及拐点。
解：因'321212y x x =-，则''22
362436()3
y x x x x =-=-
令''0y =，得2
0,x x ==。所以
1．3利用导数求函数的极值和最值
（1）利用导数求函数的极值
函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。
定义2、设函数()f x 在点0x x =及其某邻域左右两
侧附近有定义，若对该邻域内的任意点x （0x x =）恒有0()()f x f x <，则0()f x 为极大值；若0()()f x f x >成立，则0()f x 为极小值。
应当注意：极值是一个局部概念，它只限于0x 的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。
极值点和导数的关系如何？由图6可知：
定理 2 若0x 是函数
()f x 的极值点，则'0()0f x =或
者'0()f x 不存在。
注意：①'0()0f x =是点0
x 为极值点的必要条件，但不是充分条件。如3y x =，'23y x =，'0|0x y ==但(0,0)点不是函数极值点；②函数()f x 在导数不存在
的点也可能有极值。如13
y x =，
'23
11
3y x
=?，'0|x y =不存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）
将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。
下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。
定理3（极限存在的充分条件之一） 设f 在0x 连续，在某邻域0(;)o U x δ内可导，
①若00(;)x x x δ∈-（0x 左侧）时'()0f x >，而00(;)x x x δ∈+（0x 右侧）
'()0f x <，则函数()f x 在0x 处取极大值0()f x
②若00(;)x x x δ∈-（0x 左侧）时'()0f x <，而00(;)x x x δ∈+（0x 右侧）时
'()0f x >，则函数()f x 在0x 处取极小值0()f x
③若0x 两侧'()f x 不变号，则()f x 在0x 处无极值。
该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。
例4、求函数2
33()2
f x x x =-的单调区间和极值
解：1'
3
()1f x x -
=-，当1x =时，'()0f x =；而0x =时'()f x 不存在。因此，
由表可见，函数在区间(,0]-∞，[1,)+∞单调递增；在区间(0,1)单调递减。
在0x =处有极大值(0)0f =，在点1x =处有极小值1
(1)2
f =-。
若函数的二介导数存在，有如下的判定定理；
定理4（极限存在的充分条件之二） 设'()0f x =，''()f x 存在， ①若''()0f x >，则0()f x 为()f x 的极小值； ②若''()0f x <，则0()f x 为()f x 的极小值；
③若''()0f x =，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定。
因为''()0f x >，则曲线在0x 点的左右两侧呈凹状，因此0()f x 为极小值；反之，若''()0f x <，则曲线在0x 点的左右两侧呈凸状，因此0()f x 为极大值。
例5、求函数23()(1)1f x x =-+的极值。
解：如图8，因为'22()6(1)f x x x =-，令'()0f x =，得驻点1,0,1x =-。所以，
''22222()6(1)62(1)26(1)(51)f x x x x x x x =-+?-?=--
又因为''(0)60f =>，所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =。 因为''''(1)0(1)f f -==，则定理应用定理4失效。下面利用定理3。
当1x <-时，'()0f x <；当10x -<<时，'()0f x <， 所以函数()f x 在1x =-处无极值
同理函数在1x =处去极值 （2）利用导数求函数的最值 在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题。
假定函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：①找出可能为极值点的函数值（即区间内使'()0f x =或'()f x 不存在的所有点的函数值）；②计算出端点处的函数值(),()f a f b ；③比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值，其中最小的就是函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值。
最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）。
例6、求函数sin(2)y x x =-在区间[,]22
ππ
-上的最大、最小值。
解：'()2cos(2)1f x x =-，令'()0f x =即2cos(2)10x -=解得12,66
x x ππ
=-=，
x 变化时'()f x ，()f x 的变化如下表：
由上表可知最大值是
2
，最小值为2-
例7、已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论。
解：'2()[2(1)2]x f x x a x a e =+--，由'()0f x =，得
1,2121)x a x x =-<(0)a ≥，x 变化时'()f x ，()f x 的变化如下表：
当(0)a ≥时，121,0x x <-≥。而当0x <时，()(2)0x f x x x a e =->；
0x =时，(0)0f =。
所以当1x a =-()f x 取得最小值。
（3）利用导数求函数值域
求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容---导数来求解值域
例8、求函数y = 解：函数的定义域为[2,)-+∞，
'
y =
=
又
=
可见当2x >-时，'0y >
所以y =[2,)-+∞上是增函数。而(2)1f -=-，
所以函数y =[1,)-+∞
（4）实际问题中导数的应用 例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函
数关系式x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）。
(1) 将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：w st =
因为2
2
210001000())w s t s s s
==-+，所以当21000()t s =时，w 取的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量2
1000()t s
=（吨）. (2)设甲方在索赔中获得的净收为v 元，则20.002v st t =-，将乙方获的最大
利润的年产量2
1000()t s
=代入上式，可得到甲方净忙收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式23
2
41000210000.002v st t s s
?=-=-，令0v '=得20s =.因当20s <时0v '>；当20s >时0v '<，所以当20s =时，v 可取最大值。故甲方向乙方要求
的赔付价格s 是20（元/吨）时，可获得最大净收入。
1．4利用导数知识描绘函数图形
为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。 （1）曲线的渐近线
定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线 若曲线()y f x =的定义域是无限区间，且有：lim ()x f x b →-∞
=，
或lim ()x f x b →+∞
=，则直线y b =为曲线()y f x =的水平渐近线。
垂直渐近线 若曲线()y f x =有：lim ()x c
f x -
→=∞，或l i m ()x c
f x +→=∞，则直线x c =为曲线()y f x =的垂直渐近线。
斜渐近线 若lim [()()]0x f x ax b →±∞
-+=成立，则y ax b =+是曲线的一条斜渐
近线。
下面介绍求,a b 的公式。 由lim [()()]0x f x ax b →±∞
-+=有：
()lim [
]0x f x b
x a x x
→±∞--=
所以 ()lim [
]0x f x b
a x x
→±∞--= 即 ()
lim x f x a x
→±∞=
将()
lim
x f x a x
→±∞
=求出并代入l i m [()(x f x a x b →±∞-+=即可确定l i m [()x b f x a x
→
±
∞
=- 例10、求曲线2
1
x y x =+的渐近线
解：（1）因2
1lim
1
x x x →-=∞+，所以1x =-是曲线的垂直渐近线 （2）由()lim
lim 11
x x f x x
a x x →∞
→∞===+ 和2lim[()]lim[
]lim 111
x x x x x
b f x ax x x x →∞→∞→∞-=-=-==-++ 可知1y x =-是曲线的斜渐近线
（2）函数图形的作法
导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现
能更好的反应出导数的各种性态。
描绘图形的一般步骤如下：
①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；
②求出'()f x ，''()f x ；
③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；
⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出()y f x =的图象。 例11、作函数2
4(1)
2x y x
+=
-的图形 解：函数的定义域为{|0,}x x x R ≠∈
'34(2)x y x +=-
，''
4
8(3)x y x +=
令'0y =，得2x =-；
令''0y =，得3x =-。列表如下：
又20lim[
2],2x x x
→-=∞∴=- 为曲线的水平渐进线 204(1)
lim[2],0x x x x
→+-=∞∴= 为曲线的铅垂渐进线
曲线经过(1，(1，(1,2)-，
(1,6)，(2,1)，2
(3,)9
-这几个点
通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）
1．5利用导数求参数问题
利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。
例12、（05湖北理）已知向量2
(,1)a x x =+ ，(1,)b x t =- ，若()f x a b =?在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.
解：由向量的数量积定义，232()(1)(1)f x a b x x t x x x tx t =?=-++=-+++
'2()32f x x x t ∴=-++，又()f x a b =?在区间(-1,1)上是增函数，则'()0f x ≥
232t x x ?≥-在 (-1,1)上恒成立.
令2()32g x x x =-在区间[-1,1]上，则max ()(1)5g x g =-=， 故在区间(-1,1)上使()t g x ≥恒成立，
只需(1)t g ≥-即可，即5t ≥. 即t 的取值范围是[5,)+∞.
2．导数在曲线中的应用
曲线()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示为：曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线的斜率。即'0()tan f x α=。
利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题 例13、（2003全国高考题）已知抛物线21:2c y x x =+和抛物线22:c y x a =-+，当a 取何值时，1c 和2c 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。
解：函数22y x x =+的导数'22y x =+，曲线1c 在点2111(,2)p x x x +的切线方程是21111(2)(22)()y x x x x x -+=+-，即211(22)y x x x =+- （1）
函数2y x a =-+的导数'2y x =-，曲线2c 在点2
22(,)Q x x a -+的切线方程是2222
()2()y x a x x x --+=--，即2212y x x x a =-++ （2） 若直线l 是过P 和Q 的公切线，则（1）式和（2）式都是l 的方程
所以2
11
2
21(22)2y x x x y x x x a
?=+-??=-++?? 消去2x 得方程2112210x x a +++=，由于公切线仅有一条，所以当
48(1)0a
=-+= ，即12a =-时解得112x =-，此时公切线方程为1
4
y x =-。
例14、已知P 是抛物线24y x =上的动点，求过P 到直线50x y ++=的最小距离。
解：（如图10）由24y x =
得y =±
易知y =-上的点到直线50x y ++=的距离最小。
由y =-
得'y =，
于是曲线y =-上过点(,)p x y 且与直线
50x y ++=
平行的斜率为'1k y ===-，得1x =，则2y =-，
那么点(1,2)p 到直线50x y ++=
的距离为|= 故抛物线24y x =上的动点，求过P 到直线50x y ++=
的最小距离为
3．利用导数研究方程的根
例15、已知()ln ,()f x x g x x ==，是否存在实数k ，使方程
221
()(1)2
g x f x k -+=有四个不同的实数根，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。
解：令222211
()()(1)ln(1)22
h x g x f x x x k =-+=-+=
则3'
222
2(1)(1)
()111x x x x x x h x x x x x --+=-==+++ 令'()0h x =，得1,0,1x =-.当x 变化时，()h x 、'()h x 的变化关系如下表：
故存在(ln 2,0)2
k ∈-，使方程有4个不同的实数根
4．应用导数证明不等式
利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。
例16、若1x >-，证明：ln(1)x x +≤ 证明：令()ln(1)f x x x =+-
则'1()111
x f x x x =
-=-++， 又1x >-，则10x +>
则当10x -<<时，'()0f x >，()f x 为增函数 当0x >时，'()0f x <，()f x 为减函数 所以当0x =时，()f x 取得最大值
因此当1x >-时恒有()0f x ≤，即1x >-时，有ln(1)x x +≤
例17、（2004年全国卷理工22题）已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =，
0a b <<设证明：0()()2()()ln 22a b
g a g b g b a +<+-<-
证明：由()ln g x x x =有'
()ln 1g x x =+
设()()()2()2
a x
F x g a g x g +=+-
则''()ln 12[()]ln ln 22
a x a x
F x x g x ++=+-=- 当0a x <<时，'()0F x <，当x a >时，'()0F x >因此，()F x 在区间(0,)a 内是减函数，在区间[,)a +∞函数，在区间内为增函数，于是在x a =，()F x 有最小值()0F a =又b a >，
所以()()2()2a b
o g a g b g +<+-； 设()()()2()()ln 22a x
G x g a g x g x a +=+---， 则'''
()()2[()]ln 2ln ln()2
a x G x g x g x a x +=--=-+ 当0x >时，'()0G x <，因此()G x 在区间(0,)+∞内为减函数； 因为()0G a =，
b a >，所以()0G b <，
即：()()2()()ln 22
a b
g a g b g b a ++-<-。 综上述：0()()2()()ln 22
a b
g a g b g b a +<+-<- 5．导数在数列中的应用
导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。
例18、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =- （1）求n a ；
（2）证明数列{}n a 是递减数列
解：（1）由已知有12n n
a n a -=-，即2
210n n a na +-=
得n a n =-±又0n a >
，所以n a n =-+（2
）令()f x x =-
则'()1f x =
-
1<，所以'()0f x <
所以()f x 是递减函数，则()f n 也是递减的 所以数列{}n a 是递减数列 例19
、已知数列，求此数列的最大项。
解：考察函数()f x =
1x ≥）
，则'()f x =
令'()0f x =，则10000x =，而1(10000)200f =，1
(1)1001
f =
而lim ()lim
0x x f x →+∞
→+∞==
将(10000)f ，(1)f 及lim ()x f x →+∞
比较知，()f x 的最大值为1(10000)200
f = 故该数列最大项为第10000项，这一项的值为
1
200
。 6．利用导数求极限——洛必达法则 6．1“00
”型和“∞∞
”型
定理 若函数()f x 与()g x 满足条件：（1）()
()
lim ()lim ()0()x a
x a x x f x g x →→→∞→∞==∞或，
（2）'
'
(),()f x g x 存在，且'
()0g x ≠，（3）''()
()
lim ()x a x f x g x →→∞ 存在
则必有：''()()
()()
lim lim ()()x a x a x x f x f x g x g x →→→∞→∞=
例20、求02lim sin x x x e e x
x x
-→---.
解：000022lim
lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x
x x x x e e x e e e e e e x x x x x
----→→→→--+--+====-- 6．2其他形式
洛必达法则只适应于“00”型和“∞
∞
”型，对于其他式子，需要经过一系列
变换转化为“00”型和“∞
∞
”型，在利用洛必达法则来求解。其步骤如下：（“→”
表示可转化为）
①0?∞型→1?∞∞或1
00?
②∞-∞型→1100-型，再经过通分→00
00
-?型。
③对于00型，1∞型，0∞型，先取对数→0?∞型，在利用①的方法求解。 例21、求下列极限
①lim (arctan )2x x x π
→+∞- ②111lim(
)1ln x x x
→-- ③1
11lim x x x -→ 解：①（0?∞型）2
21arctan 12
lim (arctan )lim lim 11
1
2
x x x x x x x x
x
π
π
→+∞→+∞→+∞-
-+-===- ②（∞-∞型）1
111ln 11lim(
)lim 1ln (1)ln 2
x x x x x x x x x →→-+-==--?
③(1∞
型)11ln ln lim
11111
1
lim lim x x
x x
x
x
x x x
e
e
e →----→→===
7．物理学中的导数
导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容
导数在解析几何中的应用论文
导数思想在解析几何的一个简单应用 导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。 下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程 解：设切点2 004x Q x ?? ?? ?， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x 故所求切线方程为2 00 0()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =± 所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。 【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=?求出斜率，写出 直线。 （变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42 =：的切线，求切线方程 解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2= 由x y 1/ - =，知抛物线在P 点处的切线斜率为1- 故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x 【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。 例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=?。当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。 ⑴求C 的方程 ⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。当21l l ⊥时，求直线l 的方程。 解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B ()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴= 则()() ()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=?
高中数学论文： 导数教学反思
高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思 新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。 问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？ 答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。 正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0 问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？ 答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值. 问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗？ 答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。 另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？ 答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？ 例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33 1)(x x f =上一点P
导数在因式分解中的应用(论文)
第19卷第5期长春师范学院学报2000年9月V ol.19 N o.5Journal of Chang Chun T eachers College Sep 2000 导数在因式分解中的应用 陈良云,徐晓宁 (东北师范大学数学系,吉林长春 130024) [摘 要]分解因式方法灵活多变,技巧性强,尤其是多元项式的因式分解更为复杂。目前,还没有一种统 一的方法可行。本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤,使多元多项式的分解变得简 单。 [关键词]因式分解;导数;多元多项式 [中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2000)05-0019-02引理:设f(x1,x2,……x n)为n元多项式,若存在某个x i,使f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)有公因式。则F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)有公因式。 证明:令[f′xi(x1,x2,…,x n),f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)]=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。即f′xi(x1,x2,…,x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)?h(x1,x2,…,x n);f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…, x n)=d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。 则:F(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)dx i =∫d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) h(x1,x2,…,x n)d xi =d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i 因此f(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)定理:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式,则f(x1,x2,…,x n)可以因式分解,且至少有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)。 证明:若f′xi(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n),由引理可知∫f′x i(x1,x2,…,x n)与f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)有公因式d(x1,x2,…,x i-1, 0,x i+1,…,x n)。而f(x1,x2,…,x n)=∫f′xi(x1,x2,…,x n)d x i+f(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)=d(x1, x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)∫h(x1,x2,…,x n)d x i+g(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n) 故n元多项式f(x1,x2,…,x n)能因式分解,且因式中含d(x1,x2,…,x i-1,0,x i+1,…,x n)公因子。 例1.因式分解:(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解若把y看作变量,x看作常量。 设f(y)=(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 则f′(y)=2(1+y)-4x2y-2x4(1-y) =2(1-x4)+(1-x2)2?2y [收稿日期]2000-04-05 [作者简介]陈云良(1973- ),男,四川邻水人,东北师范大学硕士研究生,从事基础数学研究。 ? ? 19
论文 浅谈导数的应用概论
浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分
Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words:Limit; Derivative; Differential
导数应用论文
导数的应用 吴泽国 目录 [摘要] (2) 一.引言 (2) 二．导数的概念 (2) 三．导数的求法 (3) 1．显函数导数 (3) 1．1导数的四则运算： (3) 1．2复合函数与反函数求导法则 (3) 1．3基本初等函数求导公式 (3) 2．隐函数导数 (4) 3．由参数方程所确定的函数求导法 (4) 4．分段函数的导数 (4) 四．导数的性质 (4) 五．导数的应用 (5) 1．导数在函数中的应用 (5) 1．1利用导数判断函数的单调性 (6) 1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7) 1．3利用导数求函数的极值和最值 (8) 1．4利用导数知识描绘函数图形 (13) 1．5利用导数求参数问题 (15) 2．导数在曲线中的应用 (16) 3．利用导数研究方程的根 (17) 4．应用导数证明不等式 (17) 5．导数在数列中的应用 (18) 6．利用导数求极限——洛必达法则 (19) 6．1“0 ”型和“ ∞ ∞ ”型 (19) 6．2其他形式 (20) 7．物理学中的导数 (20) 8．经济学中的导数应用 (21) 结束语： (22) 参考文献： (22) （版权所有）
[摘要] 导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以 解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学 生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的 广泛应用，现已成为高考的热点知识 本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学 中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 [关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用 一.引言 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考 查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以 导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问 题等，考题不难，侧重知识之意。 高考考查导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f (x )在x=x 0处的导 数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。 ③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合 等。 二．导数的概念 1、定义：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ?→?→→-?+?-===??- 左导数：0'0000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----?→?→→-?+?-===??- 右导数： 0'00 00()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++?→?→→-?+?-===??- '''()()()f x A f x f x A -+∴=?== 可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ?→?→?+?-===??
导数在不等式证明中的应用开题报告
集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表 设计（论文） 导数在不等式证明中的应用 题目 题目类型其它题目来源指导教师出题面向专业数学教育类 指导教师何晓霞职称副教授学位无从事专业大学数学教学 题目简介： 导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。 审核意见： 审核人签名： 年月日系（院）意见： 系（院）主任（院长）签名： 年月日 题目类型－－1、为结合科研；2、为结合生产实际；3、为结合大学生科研训练计划； 4、为结合学科竞赛； 5、模拟仿真； 6、其它 题目来源－－A.指导教师出题； B.学生自定、自拟
论文 题目 导数在不等式证明中的应用 年级四专业数学与应用数学学生 姓名 学号 主要内容： 利用导数的定义证明不等式 利用中值定理证明不等式 利用函数的单调性证明不等式 利用导数的几何意义证明不等式 利用函数的最值性(极值性）证明不等式 利用泰勒公式证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式 利用Jensen不等式证明不等式 利用导数的不等性证明不等式 利用偏导数证明不等式 主要任务及基本要求（包括指定的参考资料）： [1]华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社(下册) .156.293(上册) [2]扈志明,韩云端. 高微积分教程[M]. 北京:清华大学出版社, 1998 [3]刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报,2000 [4]朱士信.唐烁.宁荣健编.高等数学[M]上册.中国电力出版社,2007 [5]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报2000.03 [6]陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究2009 [7]马德炎.常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究2009 [8]陶伟.高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社2001 [9]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社2006 [10]李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期). 发出任务书日期：完成期限： 指导教师签名：专业主任签名： 年月日
导数在中学数学中的应用毕业论文
学号：0801174066导数在中学数学中的应用 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 08级1班 姓名：李松阳 指导教师：高福根 2012年05月
导数在中学数学中的应用 摘要导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理中学数学问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性。因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。 关键词导数;函数;切线;不等式;恒等式;数列;方程 Derivative and its application in middle school mathematics Abstract This article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle school mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of comparison, analysis and synthesis method. Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation
导数应用论文
导数的应用 摘要：导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识 本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 关键字：导数，初等数学，高等数学，应用 一.引言 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 高考考查导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。 ③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。 二．导数的概念 1、定义： 0'0000 ()()()() ()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ?→?→→-?+?-===??- 左导数：0' 00 00()()()() ()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x - -- -?→?→→-?+?-===??- 右导数： 0' 00 00 ()()()() ()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x + ++ +?→?→→-?+?-===??- '''()()()f x A f x f x A -+∴=?== 可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：' 00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ?→?→?+?-===??.
论文--浅谈导数的应用
. . 浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的涵和本质，使人们对导数的容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分
Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words: Limit; Derivative; Differential
导数的应用(论文)
导 数 的 应 用 武夷山一中 张俊玲 《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。近几年的高考 中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必 的。 一、预备知识 1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为 00000()()()lim lim x x x x f x x f x y y f x x x =?→?→+?-?' '===?? 2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为' f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限 由0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'= ? 令x 0＋△x 为x 则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 例1：求极限 2sin sin 2 2 lim x x x →-- 解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx 故原式=' f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度 若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''== 例2：质点的运动方程为s=t 3 ，（s 的单位:m ，t 的单位：s ） 求质点在t=3时的速度和加速度。 解：∵s=t 3 ∴s ′=3t 2 ，s ″=6t ∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ， 加速度为a=s ″/t=3=18m/s 2
浅谈导数及应用毕业论文
0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=?-?+=??=→→?→?； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f ' 过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-. 3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间的导函数，简称导数。此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 可导. 4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )
在点0x 处连续. 5. 依定义求导数的方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 6．几种常见函数的导数： 0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。 7．导数的四则运算法则： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+； [()]'()Cu x Cu x '=；' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 8． 复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或'x y =f ′(u ) ?′(x ). 9. 求导数的方法: (1)求导公式 (2)导数的四则运算法则 (3)复合函数的求导公式 (4)导数定义 10.导数的概念及运算的相关例题 例1（1）求曲线1 22+=x x y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t t t S +-=，求t=3时的速度 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y =f (x )在0x 处的导数就是曲线y =f (x )在点),(00y x p 处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间
导数在中学数学中的应用论文
导数在中学数学中的若干应用 摘要：导数作为高等教育中的内容，自从被引入高中数学教材以后，与导数有关的问题就成为了历年高考中的热点内容，本文摘取近几年的高考试题来探究导数在几何、函数、不等式证明中的应用． 关键词：导数 中学数学 应用 THE APPLICATION OF DERIVATIVE IN SENIOR MIDDLE SCHOOL Name:Sun Quan Student Number:200725020330 Advisor:Wang Daiming Abstract: Mathematics derivatives are an important part of higher education in mathematics. Problems related to mathematics derivatives have become a hot point in College Entrance Examination since it has been added to mathematics text book of senior middle school. This paper investigates the application of mathematics derivatives in geometry, mathematics function and attestation of mathematics inequality by selecting some test questions in College Entrance Examination papers in recent years. Key words: derivative; senior middle school;application 导数作为研究客观现实世界的物质运动变化的工具，在数学、物理等学科教学中有着广泛的应用．自从导数进入高中数学教材以后，与导数有关的问题就成了历年高考的热点．正确运用导数的思想方法与基本理论解决中学数学中的问题，成为了中学数学教师和学生重点关注的对象．本文运用导数的思想方法和基本理论，探讨导数在几何、函数、不等式证明中的应用． 1.导数在几何中的应用 导数的几何意义：函数f 在点0x 的导数 0'() f x 是曲线() y f x =在点00(, ()) x f x 处 的切线斜率．当 0'()0 f x >，表示切线与x 轴正向夹角为锐角；当 0'()0 f x <，表示切 线与x 轴正向夹角为钝角；当0'()0 f x =，表示切线与x 轴平行． 导数在几何中的应用主要与导数的几何意义有关，运用它可以很容易求出函数在任意一点的切线斜率及切线方程.
导数应用论文
导数的应用 目录 [摘要] (2) 一.引言 (2) 二．导数的概念 (3) 三．导数的求法 (4) 1．显函数导数 (4) 1．1导数的四则运算： (4) 1．2复合函数与反函数求导法则 (4) 1．3基本初等函数求导公式 (4) 2．隐函数导数 (4) 3．由参数方程所确定的函数求导法 (5) 4．分段函数的导数 (5) 四．导数的性质 (5) 五．导数的应用 (6) 1．导数在函数中的应用 (6) 1．1利用导数判断函数的单调性 (6) 1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (8) 1．3利用导数求函数的极值和最值 (10) 1．4利用导数知识描绘函数图形 (15) 1．5利用导数求参数问题 (18) 2．导数在曲线中的应用 (18) 3．利用导数研究方程的根 (20) 4．应用导数证明不等式 (20) 5．导数在数列中的应用 (21) 6．利用导数求极限——洛必达法则 (23) 6．1“0 ”型和“ ∞ ∞ ”型 (23) 6．2其他形式 (23) 7．物理学中的导数 (24) 8．经济学中的导数应用 (25) 结束语： (26) 参考文献： (26) （所有）
[摘要] 导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识 本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用 [关键字]导数初等数学高等数学应用 一.引言 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 高考考查导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。 ③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。
导数在高中数学的应用论文
导数在高中数学的应用 [摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题． [关键词]导数 新课程 应用 导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力． 一、 导数在高中数学新课程中的地位 《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻． （一）有利于学生更好地理解函数的性态 在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了． 如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如122 3 -+-=x x x y ，1--=x e y x 等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图 像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面． （二）有利于学生更好地掌握函数思想 数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性． 其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解
导数论文
导数的应用 微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分。导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。对此，我们开展了有关”导数的应用”的课题讨论, 主要对导数在函数中的应用进行简单的探讨。 我们知道，函数的性质有单调性、周期性、奇偶性、对称性等，对于函数的研究我们通常借助于它的图像。导数就是对函数的图像与性质的总结与拓展，且是研究函数单调性和求最值的重要工具。导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。所以，在学习了常规解决一些函数问题的方法后，我们探讨了有关对导数的应用，来解决函数问题。 早期导数概念 大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E 就是我们所说的导数f'(A)。 导数的定义： 设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称函数y = f(x) 在点x0 处可导,并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数,记为f'(x0) . 即导数第一定义 可表示为：f '(x0)=lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0) =lim[h→0] [f(x0+h)-f(x0)]/h =lim [Δx →0] Δy/Δx 设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义 可见导数是某种特殊的极限，是有限和无限之间相互转化的有力工具。 我们学习了以下几种在函数问题中对导数的应用: 1、运用导数判断单调性、求单调区间。 一般的，设函数y=f(x) 如果在某区间上导函数f’(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上导函数f’(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数。 注意：如果在某个区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常值函数。 函数的单调区间必定是它定义域的子集，所以在求函数单调区间时，先要确定函数定义域，在求出使导数的值为正或负的x的范围时，要与定义域求两者的交集。 基本步骤:（1）求定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f’(x)>0,及f’(x)<0解得单调性。 2、运用导数求函数极值。 一般的，设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近的所有的点，都有f（x）