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立体几何大题

立体几何

1.【2015高考新课标2,理19】(本题满分12分)

如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;

【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.

D

D 1

C 1

A 1 E

F

A B

C

B 1

A 1

A

B 1B

D 1D

C 1

C

F

E H

G

M

【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线;由交线的位置可确定公共点的位置,坐标法是求解空间角问题时常用的方法,但因其计算量大的特点很容易出错,故坐标系的选择是很重要的,便于用坐标表示相关点,先求出面α的法向量,利用

sin cos ,n AF θ=<>

求直线AF 与平面α所成角的正弦值.

2.【2015江苏高考,16】(本题满分14分)

如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥,1CC BC =,设1AB 的中点为D ,

E BC C B =11 .求证:(1)C C AA DE 11//平面;

(2)11AB BC ⊥. 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】

试题分析(1)由三棱锥性质知侧面11BB C C 为平行四边形,因此点E 为1B C 的中点,从而由三

A

B C

D E A 1

B 1

C 1

角形中位线性

又因为C C A ⊥B ,1CC ?平面11CC B B ,C B ?平面11CC B B ,1C CC C B = , 所以C A ⊥平面11CC B B .

又因为1C B ?平面11CC B B ,所以1C C B ⊥A .

因为1C CC B =,所以矩形11CC B B 是正方形,因此11C C B ⊥B . 因为C A ,1C B ?平面1C B A ,1C C C A B = ,所以1C B ⊥平面1C B A . 又因为1AB ?平面1C B A ,所以11C B ⊥AB . 【考点定位】线面平行判定定理,线面垂直判定定理

【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时,不要忽视面内两条线为相交线这一条件.证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.

3.【2015高考安徽,理19】如图所示,在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B ,

11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1,,A D E 的平面交1CD 于F.

(Ⅰ)证明:1//EF B C ;

(Ⅱ)求二面角11E A D B --余弦值

.

【答案】(Ⅰ)1//EF B C ;

【解析】

试题分析:(Ⅰ)证明:依据正方形的性质可知11////A B AB DC ,且11A B AB DC ==,,从

而11A B CD 为平行四边形,则11//B C A D ,根据线面平行的判定定理知1//B C 面1A DE ,再由线面平行的性质定理知1//EF B C .(Ⅱ)因为四边形11AA B B ,11ADD A ,ABCD 均为正方形,所以11,,AA AB AA AD AD AB ⊥⊥⊥,且1AA AB AD ==,可以建以A 为

原点,分别以1,,AB AD AA

为x 轴,y 轴,z 轴单位正向量的平面直角坐标系,写出相关的点的坐标,设出面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t = .由1111,n A E n A D ⊥⊥

得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.50

r s s t +=??-=?,(1,1,1)-为其一组解,所以可取1(1,1,1)n =- .同理

11A B CD 的法向量2(0,1,1)n =

.所以结合图形知二面角1E A D B --的余弦值

为1212||||||n n n n ?==? 试题解析:(Ⅰ)证明:由正方形的性质可知11////A B AB DC ,且11A B AB DC ==,所以

四边形11A B CD 为平行四边形,从而11//B C A D ,又1A D ?面1A DE ,1B C ?面1A DE ,于是1//B C 面1A DE

,又

1(1,1,1)n =- .设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =

,而该面上向量

111(1,0,0),(0,1,1)A B A D ==- ,由此同理可得2(0,1,1)n =

.所以结合图形知二面角1E A D B --

的余弦值为1212||||||n n n n ?==? .

【考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理;2.二面角的求解.

【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、

线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;求二面角,则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.

4.【2015江苏高考,22】(本小题满分10分)

如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯 形,2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;

(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长

【答案】(1

(2

【解析】

试题分析:(1)求二面角,关键求出两个平面的法向量,本题中平面PCD 法向量已知,故关键求平面PAB 的法向量,利用向量垂直关系可列出平面PAB 的法向量两个独立条件,再根据向量数量积求二面角余弦值(2)先建立直线CQ 与DP 所成角的函数关系式:设BQ BP λ= ,

则cos ,1)CQ DP λ<>=

≤≤

,再利用导数求其最值,确定点Q 坐标,最后利用向量

模求线段BQ 的长学优高考网

试题解析:以{}

,D,AB A AP

为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -,

则各点的坐标为()1,0,0B ,()C 1,1,0,()D 0,2,0,()0,0,2P .

(1)因为D A ⊥平面PAB ,所以D A

是平面PAB 的一个法向量,()D 0,2,0A = . 因为()C 1,1,2P =- ,()D 0,2,2P =-

设平面CD P 的法向量为(),,m x y z = ,则C 0m ?P = ,D 0m ?P = ,即20220x y z y z +-=??-=?

令1y =,解得1z =,1x =.

所以()1,1,1m =

是平面CD P 的一个法向量.

P

A B

C

D

Q

从而D cos D,D m m m A ?A ==A

,所以平面PAB 与平面CD P

. (2)因为()1,0,2BP =- ,设()Q ,0,2λλλB =BP =-

(01λ≤≤),

【考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角

【名师点晴】1.求两异面直线a ,b 的夹角θ,须求出它们的方向向量a ,b 的夹角,则cos θ=|cos 〈a ,b 〉|.2.求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角.则sin θ=|cos 〈n ,a 〉|.3.求二面角α -l -β的大小θ,可先求出两个平面的法向量n 1,n 2所成的角,则θ=〈n 1,n 2〉或π-〈n 1,n 2〉.

5.【2015高考福建,理17】如图,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB ^平面BEC ,BE ^EC ,AB=BE=EC=2,G ,F 分别是线段BE ,DC 的中点.

(Ⅰ)求证://GF 平面ADE ; (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.

G F B

A

C

D

E

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

23

. 【解析】解法一:(Ⅰ)如图,取AE 的中点H ,连接HG ,HD ,又G 是BE 的中点,

1

GH AB GH=AB 2 所以,且,学优高考网

又F 是CD 中点,1

DF=CD 2

所以,由四边形ABCD 是矩形得,AB CD AB=CD ,,所以

GH DF GH=DF ,且.从而四边形HGFD 是平行四边形,所以//GF DH ,,又

DH ADE GF ADE 趟平面,平面,所以GF ADE 平面.

H

G

F

B A

C D

E

H

G F

B A

C

D

E

Q

(Ⅱ)如图,在平面BEC 内,过点B 作EC BQ ,因为BE CE BQ BE ^^,所以. 又因为AB ^平面BEC ,所以AB ^BE ,AB ^BQ

以B 为原点,分别以,,BE BQ BA

的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB ^平面BEC ,所以A=(B

0,0,2)为平面BEC

的法向量,

设(x,y,z)n = 为平面AEF 的法向量.又AE (2,0,-2)AF=(2,2,-1)= ,

由AE 0220,220,AF 0n x z x y z n ìì=-=镲眄+-=镲=?

?

,得,取2z =得=(2,-1,2)n . 从而A 42

cos ,A =,323

|||A |n B n B n B 狁==′×

所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为

23

. 解法二:(Ⅰ)如图,取AB 中点M ,连接MG ,MF ,又G 是BE 的中点,可知//GM AE ,

(Ⅱ)同解法一.

【考点定位】1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角. 【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法,直线和平面平行首先是利用其判定定理,或者利用面面平行的性质来证,注意线线平行、线面平行、面面平行的转化;利用坐标法求二面角,主要是空间直角坐标系的建立要恰当,便于用坐标表示相关点,求出半平面法向量夹角后,要观察二面角是锐角还是钝角,正确写出二面角的余弦值.

6.【2015高考浙江,理17】如图,在三棱柱111ABC A B C --中,90BAC ∠= ,2AB AC ==,

14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 为11B C 的中点.

(1)证明:1A D ⊥平面1A B C ;

(2)求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.

【答案】(1)详见解析;(2)1

8

-.

试题分析:(1)根据条件首先证得AE ⊥平面1A BC ,再证明1//A D AE ,即可得证;(2) 作1A F BD ⊥,且1A F BD F = ,可证明11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角,再由 余弦定理即可求得111

cos 8

A F

B ∠=-

,从而求解. 试题解析:(1)设E 为BC 的中点,由题意得1A E ⊥平面ABC ,∴1A E AE ⊥,∵AB AC =, ∴AE BC ⊥,故AE ⊥平面1A BC ,由D ,E 分别11B C ,BC 的中点,得1//DE B B 且

1DE B B =,从而1//DE A A ,∴四边形1A AED 为平行四边形,故1//A D AE ,又∵AE ⊥

平面11A BC ,∴1A D ⊥平面11A BC ;(2)作1A F BD ⊥,且1A F BD F = ,连结1B F ,

由AE EB ==

1190A EA A EB ∠=∠= ,得114A B A A ==,由11A D B D =,

11A B B B =,得11A DB B DB ???,由1A F BD ⊥,得1B F BD ⊥,因此11A FB ∠为二面角

11A BD B --的平面角,由1A D =,14A B =,190DA B ∠= ,得BD =,

1143A F B F ==

,由余弦定理得,111

cos 8

A F

B ∠=-.

【考点定位】1.线面垂直的判定与性质;2.二面角的求解

【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解,属于中档题,在解

题时,应观察

各个直线与平面之间的位置关系,结合线面垂直的判定即可求解,在求二面角时,可以利用

图形中的位置

关系,求得二面角的平面角,从而求解,在求解过程当中,通常会结合一些初中阶段学习的

平面几何知识,

例如三角形的中位线,平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等,在复习时应

予以关注.

7.【2015高考山东,理17】如图,在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为

,AC BC 的中点.

(Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;

(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥= ,45BAC ∠= ,求平面FGH 与平面

ACFD 所成的角(锐角)的大小.

【答案】(I )详见解析;(II )60 【解析】

试题分析:(I )思路一:连接,DG CD ,设CD GF O = ,连接OH ,先证明//OH BD ,从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ;思路二:先证明平面 //FGH 平面

ABED ,再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .

(II )思路一:连接,DG CD ,设CD GF O = ,连接OH ,证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -,利用空量向量的夹角公式求解;思路二:作HM AC ⊥ 于点M ,作MN GF ⊥ 于点N ,连接NH ,证明MNH ∠ 即为所求的角,然后在三角形中求解. 试题解析:

(I)证法一:连接,DG CD ,设CD GF O = ,连接OH , 在三棱台DEF ABC -中,

2,AB DE G =为AC 的中点

可得//,DF GC DF GC =学优高考网 所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点 又H 为BC 的中点 所以//OH BD

又OH ?平面,FGH BD ?/平面,FGH 所以//BD 平面FGH .

证法二:

在三棱台DEF ABC -中, 由2,BC EF H =为BC 的中点

因为 BD ?平面 ABED 所以 //BD 平面FGH (II )解法一:

设2AB = ,则1CF = 在三棱台DEF ABC -中,

G 为AC 的中点

由1

2

DF AC GC =

= , 可得四边形DGCF 为平行四边形, 因此//DG CF 又FC ⊥平面ABC 所以DG ⊥平面ABC

在ABC ?中,由,45AB BC BAC ⊥∠=

,G 是AC 中点, 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直,

以G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -

所以(

)

)()

()0,0,0,,,0,0,1G B C D

可得()

,H F ?

???

故()

,GH GF ?==???

设(),,n x y z =

是平面FGH 的一个法向量,则学优高考网

由0,0,

n GH n GF ??=???=??

可得00x y z +=??+= 可得平面FGH

的一个法向量(1,n =-

因为GB 是平面ACFD

的一个法向量,)

GB =

所以1

cos ,2

||||GB n GB n GB n ?<>===?

所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60 解法二:

作HM AC ⊥ 于点M ,作MN GF ⊥ 于点N ,连接NH 由FC ⊥ 平面ABC ,得HM FC ⊥ 又FC AC C = 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥

所以MNH ∠ 即为所求的角

所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60 .

【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角的求法;3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.

【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质,全面考查立几何中的证明与求解,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法,要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.

8.【2015高考天津,理17】(本小题满分13分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,

12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.

(I)求证://MN 平面ABCD ;

(II)求二面角11D AC B --的正弦值;

(III)设E 为棱11A B 上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1

3

,求线段1A E 的长

【答案】(I)见解析;

(II)

(III) 2-.

【解析】如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得

(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -,

N

1

D

,又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点,得11,,1,(1,2,1)2

M N ??- ???

.学优高考网

N

D

(I)证明:依题意,可得(0,0,1)n = 为平面ABCD 的一个法向量,50,,02MN ??

=- ??

? ,

由此可得,0MN n ?=

,又因为直线MN ?平面ABCD ,所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-= ,设1(,,)n x y z =

为平面1ACD 的法向量,则

1110

n AD n AC ??=???=??

,即22020x y z x -+=??=?,不妨设1z =,可得1(0,1,1)n = , 设2(,,)n x y z = 为平面1ACB 的一个法向量,则21200

n AB n AC ??=???=??

,又1(0,1,2)AB = ,得 20

20

y z x +=??

=?,不妨设1z =,可得2(0,2,1)n =-

【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应用.

【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应用.将立体几何向量化,体现向量工具的应用,即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题,是向量的最大优势,把空间一些难以想象的问题转化成计算问题,有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题.

9.【2015高考重庆,理19】如题(19)图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面

,3,.,2

ABC PC ACB D E

π

=∠=

分别为线段,AB BC 上的点,

2 2.CD DE CE EB ====

(1)证明:DE ⊥平面PCD (2)求二面角A PD C --的余弦值。

题(19)图

P

C

E

D

B

A

【答案】(1)证明见解析;(2

. 【解析】

试题分析:(1)要证线面垂直,就是要证线线垂直,题中由PC ⊥平面ABC ,可知PC DE ⊥,

再分析已知由2DC CE CE ==

=得CD DE ⊥,这样与DE 垂直的两条直线都已找到,

从而可得线面垂直;(2)求二面角的大小,可心根据定义作出二面角的平面角,求出这个平面角的大小,本题中,由于2

ACB π

∠=

,PC ⊥平面ABC ,因此,,CA CB CP 两两垂直,可

以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,写出图中各点的坐标,求出平面APD 和平面CPD 的

法向量12,n n ,向量12,n n

的夹角与二面角相等或互补,由此可得结论.学优高考网

试题解析:(1)证明:由PC ⊥平面ABC ,DE ?平面ABC,故PC ⊥DE 由CE =2,CD =DE

得?CDE为等腰直角三角形,故CD ⊥DE 由PC CD =C ,DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线,故DE ⊥平面PCD (2)解:由(1)知,?CDE 为等腰直角三角形,∠DCE =4,

π

,如(19)图,过点D作DF

垂直CE 于F,易知DF =FC =EF =1,又已知EB =1,

故FB =2. 由∠ACB =

2,

π

得DF //AC ,

23DF FB AC BC ==,故AC =32DF =3

2

. 以C为坐标原点,分别以CA

CB CP , ,的方程为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标

系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(

3

2

,0,0), E(0,2,0),D(1,1,0),ED

=(1,-1,0),

(DP DA = 1

=(-1,-1,3),-1,0)2

设平面PAD 的法向量111n

=(x ,y ,z ),

从而法向量1n ,2n

的夹角的余弦值为121212cos ,||||n n n n n n ???=?

故所求二面角A -PD -C

. 【考点定位】考查线面垂直,二面角.考查空间想象能力和推理能力.

【名师点晴】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考虑使用综合几何方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合几何方法和空间向量方法都可以,但使用综

合几何方法要作出二面角的平面角,作图中要伴随着相关的证明,对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量,按照空间角的计算公式进行计算,也就是把几何问题完全代数化了,这种方法对运算能力有较高的要求.两种方法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用.

10.【2015高考四川,理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC 的中点为M ,GH 的中点为N

(1)请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线//MN 平面BDH (3)求二面角A EG M --的余弦值

.

【答案】(1)点F 、G 、H 的位置如图所示.

M

D

C A

B

E

F

H G

(2)详见解析.(3 【解析】(1)点F 、G 、H 的位置如图所示.

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